2023年浙江省杭州市余杭区、临平区、富阳区中考数学一模试卷及答案解析

2023年浙江杭州市余杭区、临平区、富阳区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）|﹣2|等于（）
A．﹣2B．﹣C．2D．
2．（3分）2022年杭州市的GDP达到18800亿元，用科学记数法表示“18800亿”正确的是（）
A．0.188×1013B．1.88×1012C．1.88×1013D．1.818×1014 3．（3分）下列计算正确的是（）
A．（﹣1）2023＝﹣2023B．﹣32＝9
C．D．（a3）2＝a6
4．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（）
A．90°B．180°C．120°D．270°
5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A＝（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，小宁连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息正确的是（）
A．这两周体温的众数为36.6℃B．第一周体温的中位数为37.1℃
C．第二周平均体温高于第一周平均体温D．第一周的体温比第二周的体温更加平稳
7．（3分）反比例函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2
＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以它的三边为边向外作正方形ADEB，正方形BKGC，正方形ACHF，过点C作CL⊥DE于点L，交AB于点M．若四边形LEBM 和四边形ACHF的面积分别是25，135，则AB的长为（）
A．160B．110C．4D．
9．（3分）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的．据统计，某十字
路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量，．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长为（）较为合理．
A．12秒B．16秒C．18秒D．24秒
10．（3分）有一列数，记为a1，a2，⋯，a n，记其前n项和为S n＝a1+a2+⋯+a n，定义
为这列数的“亚运和”，现有99个数a1，a2，⋯，a99，其“亚运和”
为1000，则1，a1，a2，⋯，a99这100个数的“亚运和”为（）
A．791B．891C．991D．1001
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2+x＝．
12．（4分）已知m+n＝1，m﹣n＝3，则m2+n2＝．
13．（4分）圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为度．
14．（4分）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为．
15．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，且过点A（1，n）和点
B（2023，n），则＝．
16．（4分）如图，D是△ABC的边BC上一点，△ADC沿AD翻折，C点落在点E处，AE 与BC相交于F点，若EF＝4，CF＝14，AF＝AD，则FD＝．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）解方程：．
18．（8分）近年来，随着人们健康睡眠的意识不断提高，社会各界对于初中生的睡眠时间是否充足越发关注．近日我市某学校从全校1200人中随机抽取了部分同学，调查他们平均每日睡眠时间，将得到的数据整理后绘制了如图所示的扇形统计图和频数分布直方图：
（1）本次接受调查人数为；图中a＝；b＝；c＝；
（2）教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》文件指出，初中生睡眠时间应达到9小时，试估算该校学生睡眠时间达标人数．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）用尺规作三角形ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．
20．（10分）已知y与x+m（m为常数）成正比例，且当x＝3时y＝5，当x＝1时y＝1．（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若点P（a，b）在（1）中函数的图象上，求4a2﹣b2﹣2b﹣3的值．
21．（10分）如图，正方形ABCD，E，F分别在边BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于点P．（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的长．
22．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若m＜﹣2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．
23．（12分）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H 运动的路径长是多少？
2023年浙江杭州市余杭区、临平区、富阳区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据绝对值的定义，可以得到|﹣2|等于多少，本题得以解决．【解答】解：由于|﹣2|＝2，故选：C．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义．
2．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：18800亿＝18800×108＝1.88×1012，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A．（﹣1）2023＝﹣1，故本选项不符合题意；
B．﹣32＝﹣9，故本选项不符合题意；
C．＝2，故本选项不符合题意；
D．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方等知识点，能熟练掌握有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方是解此题的关键，①（a m）n＝a mn，②当a≥0时，＝a．
4．【分析】先利用平行线的性质得到∠4+∠5＝180°，然后根据多边形的外角和为360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，从而得到∠1+∠2+∠3＝180°．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数），外角和永远为360°．也考查了平行线的性质．
5．【分析】由锐角的正弦、正切定义即可计算．
【解答】解：∵∠C＝90°，sin B＝＝，
∴令AC＝4x，则AB＝5x，
∴BC＝＝3x，
∴tan A＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦、正切定义．
6．【分析】根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．【解答】解：A．这两周体温36.6℃出现的次数最多，是4次，所以众数是36.6，故本选项符合题意；
B．第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项不符合题意；
C．第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.1+36.6+36.9）≈36.9（℃），第二周
平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7（℃），第一周平均体温高于第二周平均体温，故本选项不符合题意；
D．根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，故本选项不符合题意．故选：A．
【点评】本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据折线统计图准确获取信息是解题的关键．
7．【分析】先根据反比例函数的系数2＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝2＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴0＞y1＞y2、y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系．8．【分析】根据正方形的性质得到AB＝BE，AB∥DE，根据相似三角形的性质得到AC2＝AB•AM，四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ADEB是正方形，
∴AB＝BE，AB∥DE，
∵CL⊥DE，
∴CM⊥AB，
∴∠AMC＝∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CAM，
∴△ACM∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AB•AM，
∵四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135，
∴AC2＝25，BE•BM＝AB•（AB﹣AM）＝AB2﹣AB•AM＝135，
∴AB•AM＝AB2﹣135，
∴25＝AB2﹣135，
∴AB＝4（负值舍去），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．【分析】先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长．
【解答】解：∵右转车辆不受红绿灯限制，
∴南北走向直行占题四种走向流量的比例为：＝，
∴一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为＝16s，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用．10．【分析】根据“奥运和”的定义分析可得：现如果有99个数a1+a2+…
+a99，其“奥运和”为1000，即S1+S2+…+S99＝99×1000＝99000．同理根据定义求新数列1，a1，a2，…，a99这100个数“奥运和”．
【解答】解：∵，
∴对于原数列a1，a2，…，a99，由分析可得：S1+S2+…+S99＝99×1000＝99000，
对于新数列1，a1，a2，…，a99，
S1＝1，
S2＝1+a1，
S3＝1+a1+a2，
，
…
S100＝1+a1+a2+…+a99，
∴S1+S2+…+S99+S100＝1×100+（S1+S2+…+S99）＝100+99000＝99100，
∴T100＝＝991．
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，关键是找到S1+S2+…+S99+S100＝99100．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法．
12．【分析】先根据4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2进一步求出2mn的值，再根据m2+n2＝（m+n）
2﹣2mn求解即可．
【解答】解：∵m+n＝1，m﹣n＝3，
∴4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝1﹣9
＝﹣8，
∴2mn＝﹣4，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝1+4
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．13．【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【解答】解：∵圆锥的底面半径是2cm，
∴圆锥的底面周长为4π，
设圆心角为n°，根据题意得：＝4π，
解得n＝120．
故答案为：120．
【点评】考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
14．【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵共有369、396、639、693、936、963这6种等可能结果，其中正确的只有1种结果，
∴现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．【分析】根据A、B点纵坐标相同求出对称轴，再根据二次函数y＝x2+bx+c的图象与x 轴恰有一个交点，得Δ＝0，求出b、c数量关系，把（1，n）代入y＝x2+bx+c，求出n
的值，进而求出．
【解答】解：∵二次函数过点A（1，n）和点B（2023，n），
∴﹣＝，
∴b＝﹣2024，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
∴c＝，
把（1，n）代入y＝x2+bx+c，
得1+b+c＝n，
∴1﹣2024+10122＝n，
n＝（1012﹣1）2＝10112，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点个数、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
16．【分析】连接CE，延长AD交CE于点G，取CF中点H，连接GH，取DH中点M，连接GM，根据折叠的性质可得AC＝AE，CD＝DE，进而可得AG垂直平分EC，则GH 为△CFE的中位线，GH＝2，CH＝FH＝7，由等边对等角得∠AFD＝∠ADF，再根据对顶角相等，两直线平行内错角相等可得推出∠HDG＝∠DHG，则DG＝GH＝2，∠DMG ＝90°，DM＝MH，由等腰三角形的性质可得∠EDG＝∠CDG，以此可证明△EDG∽△
GDM，设FD＝x，则DE＝14﹣x，DM＝，根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【解答】解：连接CE，延长AD交CE于点G，取CF中点H，连接GH，取DH中点M，连接GM，如图，
根据折叠的性质可得，AC＝AE，CD＝DE，
∴AG垂直平分EC，
∴∠DGE＝90°，点G为EC中点，
∵点H为CF中点，
∴GH为△CFE的中位线，
∴GH∥EF，GH＝，CH＝FH＝，
∵EF＝4，CF＝14，
∴GH＝2，CH＝FH＝7，
∵AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴∠HDG＝∠ADF，
∵GH∥AB，
∴∠DHG＝∠AFD，
∴∠HDG＝∠DHG，
∴DG＝GH＝2，
∵点M为DH的中点，
∴∠DMG＝90°，DM＝MH，
∵CD＝DE，DG⊥EC，
∴∠EDG＝∠CDG，即∠EDG＝∠GDM，
∵∠DGE＝∠DMG＝90°，
∴△EDG∽△GDM，
∴，
设FD＝x（x＜14），则CD＝DE＝14﹣x，DH＝7﹣x，DM＝，
∴，
解得：x＝6或x＝15（舍去），
∴FD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，根据题意正确作出辅助线，构建合适的相似三角形解决问题是解题关键．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1，求解即可．
【解答】解：去分母，得2（3x﹣2）﹣6＝5﹣4x，
去括号，得6x﹣4﹣6＝5﹣4x，
移项，合并同类项，得10x＝15，
系数化为1，得x＝1.5．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．18．【分析】（1）根据8≤x＜9的人数和10≤x＜11的人数共占的百分比，求出调查的总人数，再用8≤t＜9的人数除以总人数，求出a；用总人数乘以9≤t＜10所占的百分比，求出b；同10≤t＜11的人数除以总人数，即可得出c；
（2）用总人数乘以该校学生睡眠时间达标人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次接受调查的人数为：（14+10）÷（1﹣10%﹣42%）＝50（人），
a＝×100%＝28%；
b＝50×42%＝21，
c＝×100%＝21%．
故答案为：50；28%；21；20%；
（2）根据题意得：1200×（42%+20%）＝744（人），
答：估算该校学生睡眠时间达标人数有744人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
19．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，可得CD＝，AD＝，在Rt△BCD中，可得CD＝BD＝，则根据AB＝AD+BD可得答案．
（2）分别作线段AC，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆即可；连接OC，OB，过点C作CD⊥AB于点D，由圆周角定理可得∠COB＝2∠A ＝60°，则△BOC为等边三角形，可得OC＝BC，在Rt△BCD中，可得BC＝＝2，
进而可得答案．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝＝，AD＝AC•cos30°＝＝，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝，
∴AB＝AD+BD＝．
（2）如图，⊙O即为所求．
连接OC，OB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OC＝BC，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BC＝＝2，
∴OC＝2，
即此外接圆的半径为2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理、解直角三角形、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、解直角三角形、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．20．【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据点P（a，b）在（1）中函数的图象上，可得2a﹣1＝b，进一步可得2a＝1+b，整体代入求4a2﹣b2﹣2b﹣3的值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x+m），
∵当x＝3时y＝5，当x＝1时y＝1，
∴，
解得，
∴y＝2（x﹣）＝2x﹣1；
（2）∵点P（a，b）在（1）中函数的图象上，
∴2a﹣1＝b，
∴2a＝1+b，
∴4a2﹣b2﹣2b﹣3
＝（1+b）2﹣b2﹣2b﹣3
＝﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
21．【分析】（1）根据正方形的性质得出AB＝BC，进而利用SAS证明△ABE≌△CBF即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：过P作PH⊥BC于H，
∵PH∥AB，
∴△PHE∽△ABE，
∴，
设HE＝a，PH＝3a，
∵PH∥BF，
∴△PHC∽△FBC，
∴，
即，
解得：a＝，
∴HE＝，PH＝，
在Rt△PHC中，PC＝
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等解答．
22．【分析】（1）计算自变量为0时的函数值得到A点坐标；把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线对称轴，从而得到B点坐标；
（2）求得二次函数的顶点坐标即可得到结论；
（3）利用抛物线与x轴的交点问题，可看作抛物线y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3），利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，顶点在第一象限，所以﹣4m﹣4＞0且当x＝1时，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，然后解m的不等式组即可得到m的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）与y轴交于点A，
即当x＝0时，y＝﹣4，
∴A（0，﹣4），
∵y＝mx2﹣4mx﹣4＝m（x﹣2）2﹣4m﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2
∴B（2，0）；
（2）∵y＝mx2﹣4mx﹣4的顶点坐标为（2，﹣4﹣4m），
∵m＜﹣2，
∴﹣4﹣4m＞0，
∴二次函数图象的顶点位于第一象限；
（3）∵方程mx2﹣4mx﹣4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线y＝mx2﹣4mx﹣4（a≠0）与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴﹣4m﹣4＞0，解得m＜﹣1，
当x＝1时，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，解得m≥﹣，
∴m的取值范围为﹣≤m＜﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23．【分析】（1）由＝＝，得AB＝BC＝AC，则△ABC是等边三角形；
（2）连接OC、OD、OE、EF，由△ABC是⊙O的内接正三角形，得∠BOC＝120°，则∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠OBE＝∠OCD＝30°，可证明△OBE≌△OCD，得OE ＝OD，∠BOE＝∠COD，可推导出∠EOD＝∠BOC＝120°，则∠OED＝∠ODE＝30°，
所以∠EDF＝60°，可证明∠CDE＝∠AFD＝120°﹣∠ADF，CE＝AD，即可证明△CDE ≌△AFD，得DE＝FD，则△DEF是等边三角形，由FH＝DH，NH＝MH，得FN＝MD；（3）延长BO交AC于点K，连接并延长KH交AB于点L，由BK平分∠ABC，得BK ⊥AC，AK＝CK，取OD的中点I，连接IK、IH，则K、H、O、D四点都在以OD为直径的圆上，所以∠OKH＝∠ODH＝30°，则KH∥BC，可知点H在过点K与BC平行的直线上运动，由∠OKC＝90°，∠OCK＝30°，OC＝2，得OK＝OC＝1，则AK＝CK
＝＝，再证明△ALK是等边三角形，KL＝AK＝，所以点H运动的路径长是．
【解答】（1）证明：∵点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，
∴＝＝，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：FN＝MD，
证明：如图1，连接OC、OD、OE、EF，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OBE＝∠OCD＝30°，
∵BE＝CD，
∴△OBE≌△OCD（SAS），
∴OE＝OD，∠BOE＝∠COD，
∴∠EOD＝∠COE+∠COD＝∠COE+∠BOE＝∠BOC＝120°，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
∵DH⊥EO交EO的延长线于点H，
∴∠DHE＝90°，
∴∠EDF＝60°，
∵∠CDE＝180°﹣∠EDF﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝
120°﹣∠ADF，
∴∠CDE＝∠AFD，
∵BC＝AC，BE＝CD，
∴CE＝AD，
∴△CDE≌△AFD（AAS），
∵DE＝FD，
∴△DEF是等边三角形，
∵EH⊥DF，
∴FH＝DH，NH＝MH，
∴FN＝MD．
（3）解：如图2，延长BO交AC于点K，连接并延长KH交AB于点L，∵∠OBC＝∠OBA＝30°，
∴BK平分∠ABC，
∴BK⊥AC，AK＝CK，
∴∠OKD＝∠OHD＝90°，
取OD的中点I，连接IK、IH，则IK＝IH＝IO＝ID＝OD，
∴K、H、O、D四点都在以OD为直径的圆上，
∴∠OKH＝∠ODH＝30°，
∴∠OKH＝∠OBC，
∴KH∥BC，
∴点H在过点K与BC平行的直线上运动，
∴线段KL就是点E从点B运动到点C时点H的运动路径，
∵∠OKC＝90°，∠OCK＝30°，OC＝2，
∴OK＝OC＝1，
∴AK＝CK＝＝＝，
∵∠A＝60°，∠AKL＝∠ACB＝60°，
∴∠ALK＝60°，
∴△ALK是等边三角形，
∵KL＝AK＝，
∴点H运动的路径长是．
【点评】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题。