高等数学积分学总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学》中的积分学总结
高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分）、二重积分、三重
积分、曲线积分（对弧长、对坐标）、曲面积分（对面积、对坐标）。 一、符号形式
1()b
a
I f x dx =⎰；2(,)D
I f x y d σ=⎰⎰；3(,,)I f x y z dV Ω
=⎰⎰⎰；
4(,,)C
I f x y z ds =⎰；5C
C
I F dr Pdx Qdy Rdz ==++⎰⎰；
6(,,)I f x y z dS ∑
=⎰⎰；7I F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
∑
∑
===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
二、共同点
2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值
三、不同点
四、重要联系及公式
4.1 Newton-Leibniz 公式：()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
4.2 Green 公式： 环量—旋度形式：
(
)C
D
D
Q P x y D
Pdx Qdy rotF kd F kd d σσ
σ
∂∂∂∂+==∇⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
通量—散度形式：
()C
D
D
Q
P
x y
D
Pdy Qdx F nd divFd d σσ
σ
∂∂∂∂-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4.3 Stokes 公式：
()()(
)C
Q
Q
R
P R
P y z
z x x
y Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndS
dydz dzdx dxdy
∑
∑
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∑
++==∇⨯=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4.4 Gauss 公式：
()Q
P
R x y
z Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdV
dV
∑
∑
Ω
Ω
∂∂∂∂∂∂Ω
++===∇=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
五、基本计算方法
5.1 定积分
方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论：（1）对称性与奇偶性：
02(),()()
()0
,()()a
a
a
f x dx f x f x f x dx f x f x -⎧-=⎪=⎨
⎪-=-⎩⎰⎰
（2）周期性：0
()()a T T
a
f x dx f x d x +=⎰⎰
（3）无界性：(),(),(),()A b
b A
a
a
f x dx f x dx f x dx f x dx -
++∞
-∞
⎰
⎰⎰⎰
2(,)D
I f x y d σ=⎰⎰，其中D 为平面有界区域。
3(,,)
I f x y z dV
Ω
=⎰⎰⎰，其中Ω为空间有界区域
（功或沿着曲线方向的流量）β→
(())())y t dt '++ )dr
dt
dt dt dr dt dr t dt ==((),)x t dt 5()Px t α'=+⎰
5.5 曲面积分 （流量或者通量）定侧（即选定∑g g p
d g p
d ∇±+”，否则取“-”
（往zox 面投影）或（往xoy 面投影）|g
g p d ||
g p d ∇
六、Green 公式
环量—旋度形式：
(
)C
D
D
Q P x y D
Pdx Qdy rotF kd F kd d σσ
σ
∂∂∂∂+==∇⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
通量—散度形式：
(
)C
D
D
Q P x
y
D
Pdy Qdx F nd divFd d σσ
σ
∂∂∂∂-===+
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
大前提：曲线C 分段光滑。 条件：① 曲线C 正向；
② 曲线C 封闭；
③ P 、Q 在C 及其内部具有一阶连续偏导数。 6.1 满足所有条件
直接使用Green 公式的两种形式之一进行计算皆可，效果相同。
6.2 若仅不满足条件①，则在C -上满足Green 公式的条件，在C -上的技术结果乘以（-1）即可。即有：
(
)C
D
D
C Q P x
y
D
Pdx Qdy Pdx Qdy rotF kd F kd d σσ
σ
-
∂∂∂∂+=-+=-=-∇⨯=--
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或
()C
D
D
C Q
P
x y
D
Pdx Qdy Pdy Qdx F nd divFd d σσ
σ
-
∂∂∂∂+=--=-=-=-+
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
6.3 若仅仅不满足条件②，则可采用添加光滑曲线1C 以便使用Green 公式。
添加时候，应注意：1）在1C C +以及1C C +内部应该满足Green 公式的条件，
2）1C 尽量简单且积分1
C Pdx Qdy +⎰容易计算。即有：