2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷(十七)理科数学

2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷（十七）
理科数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、 选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意) 1．已知复数，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知集合{}{}
A m m
B A ∈==2,4,2,1，则B A ⋃的所有元素之和为（ ） A ．21
B ．17
C ．15
D ．13
3．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是（ ）
A ．可以减少加法运算次数
B ．可以减少乘法运算次数
C ．同时减少加法和乘法的运算次数
D ．加法次数和乘法次数都有可能减少
4．设，满足约束条件 ，则的最大值为（ ）
A ．41
B ．5
C ．25
D ．1
5．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是的四个座位上，他们分别有以下要
求，
甲：我不坐座位号为和的座位； 乙：我不坐座位号为和的座位； 丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位. 那么坐在座位号为的座位上的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6．某四棱锥的三视图如图所示，其中，且
.若四个侧面的面积中最小的为，则的
值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数是( ) A ．120 B ．150
C ．35
D ．65
8．已知圆
与双曲线
的渐近线相切，且圆心恰好是双曲
线的一个焦点，则双曲线的标准方程是 A ． B ． C ．
D ．
9．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，EO AE 3=，则ED EC •的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数
的单调递增区间为（ ）
A. B.
C.
D.
11．如图,已知一个八面体的各条棱长为1,四边形ABCD 为正方形,下列说法 ①该八面体的体积为;
②该八面体的外接球的表面积为; ③E 到平面ADF 的距离为; ④EC 与BF 所成角为60°; 其中不正确的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 12．已知函数
，只有一个零点，且
，则的取
值范围为（ ）
A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞21--，
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛021-，
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞23--，
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛023-，
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

） 13．设随机变量服从正态分布，若，则实数
______.
14．已知，则
_______．
15．已知数列
为等差数列，为数列
的前项和，若
，
，则
的取值范围是____；
16．已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，
取得最大值，当点在时，取得最小值.则
__________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本题12分）已知函数
(Ⅰ)求在[]π，0上的单调递增区间； (Ⅱ)在中，分别是角的对边，为锐角，若
， 且
的
面积为
，求
的最小值.
18．（本题12分）为评估设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径
/
78
79
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
93
合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）： ①；②
；
③
，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；
仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“次品”，将直径小于
等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数的数学期望.
19． （本题12分）已知两点在抛物线
上，点
满足BM MA λ=.
（1）若线段，求直线
的方程；
（2）设抛物线过
两点的切线交于点．求证：点在一条定直线上．
20．（本题12分）已知四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
. （1）当变化时，点到平面
的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由； （2）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.
21．已知函数x f e x e x f x ⋅'⋅+-=
-)2
1
(21)(2)1(2 （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x 1，x 2（x 1＜x 2），使得f （x 1）+f （x 2）=1，求证：x 1+x 2＜2．
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一个题
计分。

22.[选修4-4：极坐标与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点
都在曲线上. （1）求证：
；
（2）若过两点直线的参数方程为（为参数），求
四边形
的面积.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知
，
，
设函数
，
（I）若，求不等式的解集；
（II）若函数的最小值为，证明：（）
理科数学试卷答案
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题
1、B
2、C
3、B
4、A
5、C
6、B
7、C
8、B
9、B 10、C 11、C 12、A
第Ⅱ卷（非选择题，共20分）
二、填空题
13．14．15．16．
三、解答题：
17．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【详解】
(Ⅰ)
，
由可得：.
设，
则，故在上的单调递增区间为.
(Ⅱ)由可得：，
化简可得：，又，解得：.
由题意可得：，解得：.
，当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
18．
【详解】
（1），
，
.
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.
（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数的可能取值为0，1，2.
，
，.
所以分布列为 0
1 2
.
19．1．（1）()22124x y x +=≠±（2）14
． 【解析】试题分析：
（1）直接设动点E 的坐标为(),x y ，把已知条件用数学式子翻译出来并化简即可，同时要注意变量的取值范围；
（2）按直线l 的斜率存在不存在分类，斜率不存在时，直线方程为1x =，直接求出,P Q 坐标，计算出数量积；当直线l 斜率存在时，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ，设方程为
()1y k x =-，代入曲线C 的方程，消去y ，由韦达定理可得1212,x x x x +，计算出数量积
OP OQ ⋅，并把1212,x x x x +代入可得关于k 的函数，再由不等式知识求得最大值．
试题解析：
（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为1
4
-
，所以122
y y
x x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±．
（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 31,2Q ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭． 331
1,1,224OP OQ ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2
214
x y +=得 ()2
2
22148440k x
k x k +-+-=．因为()
216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．
则2122814k x x k +=+， 2122
44
14k x x k
-=+． ()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++
(
)
242
2
22244811414k k k
k k k -=+-+++ 2
1174416k =-+ 14
< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是1
4
．
20．(1)见解析；(2)
【详解】 （1）由，，知，则
， 由面，
面
得
，由
，，
面
，
则面
，则点到平面的距离为一个定值，.
（2）由
面
，
为
在平面上的射影，则
为直线与平面
所成的角，则，所以
. 由
，
得，故直线、
、
两两垂直，因此，以点
为坐标原点，以、
、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间
直角坐标系，易得
，
，
，于是
，
，
设平面的法向量为，则，即，取，则
，，于是；显然为平面的一个法向量，
于是，
分析知二面角的余弦值为.
21．（Ⅰ）在R上单调递增；（Ⅱ）见解析
（I）f′（x）=e2（x-1）-2x+e•f′（）．
令x=，则f′（）=-1+e•f′（），解得f′（）=．
∴f′（x）=e2（x-1）-2x+1．f″（x）=2e2（x-1）-2=2（e x-1+1）（e x-1-1），
∴x=1时，函数f′（x）取得极小值即最小值，∴f′（x）≥f′（1）=0，
∴函数f（x）在R上单调递增．
（II）由（I）可得：函数f（x））=-x2+x在R上单调递增．
要证明：x1+x2＜2⇔x1＜2-x2⇔f（x1）＜f（2-x2），
又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）＜f（2-x2）⇔1-f（x2）＜f（2-x2），
即f（x2）+f（2-x2）-1＞0，f（1）==，则x1＜1＜x2．
令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=-（2-x）2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2，x ＞1，g（1）=0．g′（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，
g″（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-4≥0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g′（x）＞g′（1）=0，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）＞g（1）=0，因此结论x1+x2＜2成立．
22．（1）详见解析；（2）.
（1）由，则
；
（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：
解得；平面直角坐标为：
则；又得.
即四边形面积为为所求. 23．(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析.
【详解】
（I ），不等式，即
当时，
当时，
当时，
解集为
（II ）
》
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