【教学设计】《单位圆的对称性与诱导公式》(北师大)

《单位圆的对称性与诱导公式》
教材通过单位圆的对称性研究了正、余弦函数的诱导公式，分析得出结论。

在此过程中，让学生体会数形结合的好处，进而锻炼学生作图、识图的能力，以便更熟练地掌握诱导公式。

【知识与能力目标】
1、会借助单位圆推导正、余弦函数诱导公式。

2、掌握诱导公式并会应用。

【过程与方法目标】
借助单位圆的对称性推导正、余弦函数诱导公式。

【情感态度价值观目标】
通过本节课的学习，使学生能够看图说性质：识图、知图、说图。

【教学重点】
借助单位圆推导正、余弦函数诱导公式。

【教学难点】
掌握诱导公式并熟练应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

1、单位圆的定义 。

2、正、余弦函数的性质。

二、探究新知。

知识点1 ：对称问题
απ+的终边与角
的终边关于原点对称； απ-的终边与角
的终边关于原点对称； πα-的终边与角
的终边关于 轴对称； α-的终边与角
的终边关于x 轴对称；
2
π
α-的终边与角
的终边关于直线y x =对称。

知识点2 ：诱导公式
ααααy α
sin(2)sin cos(2)cos sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos sin()cos 2cos()sin 2sin()cos 2cos()sin 2
k k πααπααααααπααπααπααπααπ
αα
π
αα
π
αα
π
αα+=+=-=--=-=-=-+=-+=-+=+=--=-=
诱导公式的正确理解
（1）公式中的角可以是任意角；
（2）这些诱导公式可以叙述为： ， ， 的三角函数值，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把
看成是锐角时的原函数的符号，为了方便记忆，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。

,
的三角函数值，等于 的余名三角函数值，前面加上一个把 看成是锐角时原函数的符号，简单地说成“函数名改变，符号看象限”，或“正变余，余变正，符号象限定” 。

三、例题解析
类型一 给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：16(1)sin
(2)cos(945)3
π
-︒ 思维启迪：利用诱导公式将大角的三角函数转化为锐角的三角函数。

2k πα+α-πα±αα2
πα+α2
π
α-+α
巩固练习： 变式训练1: 求下列三角函数值：
43(1)sin 960(2)cos()π
︒-
【例2】 已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求52cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值。

思维启迪：⎝
⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π；2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝π2
，故可利用以上互余、互补关系求解。

巩固练习： 变式训练2: 已知1sin 32πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，求2cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值。

类型三利用诱导公式化简
【例3】化简：
()()
4141
cos cos,
44
n n
n Z
ππ
αα
+-
⎡⎤⎡⎤
++-∈⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
思维启迪：利用诱导公式把任意角的三角函数化到锐角三角函数，注意函数名称与符号的变化。

巩固练习：
变式训练3 化简
()()
()()
() sin cos1
sin1cos
k k
k Z k k
παπα
παπα
---
⎡⎤
⎣⎦∈
+++
⎡⎤
⎣⎦
原式＝
nπcos2nπ
nπ＋cos2nπ＋＋α
＝
π－αcos－α
sinαπ＋α
αcosα
sinαcosα
＝－
∈Z)。

原式＝nπcos2nπ
nππ＋αcos2nπ
＝
－cos－π
π＋αcos
sinα－cosα
－sinαcos
＝－1 ∴原式＝－1
四、小结。

（1）利用单位圆的对称性研究正、余弦函数的诱导公式。

（2）体会研究过程中体现的数形结合的思想。

五、作业。

教材P19练习1、2、3、4。

略。