概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全
一、概率基本公式
1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则
事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。

2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。

4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发
生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

二、随机变量及其概率分布
1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为
P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=1
2. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数
为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 1
3. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。

4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =
E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
三、常见的概率分布
1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为
P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤1
2.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平
均发生率。

4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数
为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。

5.正态分布：也称为高斯分布，是最重要的概率分布之一，其概率密
度函数为f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为
均值，σ为标准差。

四、统计推断中的公式
1.样本均值的抽样分布：对于抽样容量为n的随机样本，样本均值的
抽样分布近似服从正态分布N(μ,σ^2/n)，其中μ为总体均值，σ为总
体标准差。

2.对称区间的置信区间：对于总体均值的置信区间，当抽样容量大于30时，可以使用正态分布的性质，置信区间为[样本均值-z*σ/√(n)，
样本均值+z*σ/√(n)]，其中z为正态分布的分位数。

3.t分布：用于小样本情况下总体均值的置信区间估计和假设检验，
t分布具有样本容量减1个自由度，其置信区间为[样本均值-t*s/√(n)，样本均值+t*s/√(n)]，其中t为t分布的分位数，s为样本标准差。

4.卡方分布：用于在统计推断中的假设检验，常用于列联表分析和拟合优度检验等，卡方分布的自由度由样本量和样本情况决定。

以上是一些概率论与数理统计中的重要公式和分布，这些公式和分布可以在统计分析中起到重要的作用，有助于研究和解决实际问题。