(完整版)十字相乘法因式分解讲义2

课题
因式分解十字相乘法
1、认识因式分解的意义。

教课目的
2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。

要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

要点、难点
难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教课内容
一、概括
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学
问题的有力工具。

因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，
并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。

学习它，既能够复习的整式
四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综
合剖析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法
因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在比赛上，又有拆项和添
减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，
求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则
1分解要完全
2最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．
（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．
（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同
样，多项式 (
x ) 27()12
，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y
2．十字相乘法的依照和详细内容
(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)
方法的特点是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．
(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )
它的特点是“ 拆两端，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
二、典型例题
例 1把以下各式分解因式：
(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．
例 2把以下各式分解因式：
(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．
例 3把以下各式分解因式：
1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；
(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．
例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．
例 5分解因式6x45x338 x25x6．
例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．
例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．
试一试：
把以下各式分解因式：
(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2
课后练习
一、选择题
1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()
A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)
2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )
A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 6
3．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 2
4．不可以用十字相乘法分解的
是()
A ．x2x2
B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()
A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20
C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)20
6．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()
① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；
④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212
A．2个B．3 个C．4 个D．5 个
二、填空题
7．x23x 10 8．m25m6__________．
(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．
9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．
10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．
11．a2n a(_____)(________) 2．
m
12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．
13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．
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三、解答题
14．把以下各式分解因式：
(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；
(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．
15．把以下各式分解因式：
(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；
(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。