圆锥曲线的综合应用一
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点评:运用几何法要注意数形结合,运用曲线的定义和 几何性质及平面几何中的有关重要结论.本例中,要使长轴 最短,由椭圆的定义可知,即要使|MF1|+|MF2|最短,再由 平面几何的知识知,M点为F1关于l的对称点F1′与F2的连线 和l的交点.
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【变式探究】
2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,求AB的 中点到x轴的最短距离.
2 k2+1.
所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·|PQ|=4
4k2-3 4k2+1 .
设 4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=t2+4t 4=t+4 4t .
因为t+4t ≥4,当且仅当t=2,即k=± 27时等号成立,
且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=
7 2
x-2或
y=- 27x-2.
y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入x42+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>43时,x1,2=8k±42k2+4k12-3.
从而|PQ|=
k2+1|x1-x2|=4
k2+1· 4k2-3
4k2+1
.
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又点O到直线PQ的距离d=
所以F1′F2的方程为x+2y-3=0. 所以xx+ -2y+y-93==00,, 得交点M(-5,4), 即过M(-5,4)的椭圆,长轴最短. 由|MF1|+|MF2|=2a,则2a=6 5,所以a2=45, 又c2=9,所以b2=36. 故所求椭圆的方程为4x52 +3y62 =1.
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解:(1)设椭圆C的方程为ax22+by22=1(a>b>0),则
ac= 23,
a2=b2+c2,
aa2+b b2=655,
解得ab= =63, ,
所以椭圆C的方程为3x62 +y92=1.
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(2)因为EP⊥EQ, 所以E→P·Q→P=E→P·(E→P-E→Q)=E→P2, 设P(x0,y0),则x20+4y20=36, 所以E→P·Q→P=E→P2=(x0-3)2+y20=34(x0-4)2+6, 又因为-6≤x0≤6, 所以当x0=4时,E→P·Q→P的最小值为6.
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(方法2)令3x+4y=z,则y=-34x+4z,
z 4
表示直线在y轴上的截距,作出y=
-34x,将其向上、向下平移到与椭圆相切
时,z分别取到最大值和最小值.
将4y=z-3x代入9x2+16y2=144, 整理得18x2-6zx+z2-144=0, 由Δ=36z2-4×18×(z2-144)≥0,
(2)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的
面:(1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c= 3.
又ac= 23,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为x42+y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,
1.掌握求圆锥曲线有关最值的基本方法:代数法与 几何法.
2.能根据问题特点,灵活选择求最值的方法,提高 综合运用知识的能力.
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求解最值、范围问题的常用方法 1.代数法:把所要求最值的几何量或代数表达式表示为 某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数、不等式等求解. 常用的代数法有: ①利用二次函数求最值或范围; ②利用三角换元、利用正、余弦函数的有界性求最值或范围; ③利用基本不等式求最值或范围; ④利用导数判断函数的单调性求最值或范围. 2.几何法:利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的 定理、性质等求解.
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点评:(1)本题考查椭圆的标准方程、离心率、直线 与椭圆的位置关系、点到直线的距离、弦长、面积、最 值等基础知识,考查分类讨论的思想、转化与化归的思 想及数形结合的思想、函数与方程的思想方法,对考生 的综合分析能力特别是运算求解能力进行了重点考查.
(2)求解本题的关键是建立面积S△OPQ与k的函数关 系,而建立函数关系后,如何通过恒等变形、换元等手 段将其化归为熟悉的类型求最值,这不仅要求考生有扎 实的基础知识,更要有化归与转化的意识.
4 =2 10
10 5.
当且仅当y=2时,等号成立.
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(方法2:几何法) 如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线 y2=12x相切时,切点到直线的距离最小.
设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y
+t=0,
代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,
Δ=16-16t=0,所以t=1,
得-12 2≤z≤12 2.
所以-12 2≤3x+4y≤12 2.
答案:[-12 2,12 2]
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【例1】(2014·新课标卷Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率为
23 ,F是椭圆的焦点,直线AF
的斜率为2 3 3,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
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1.有关直线与圆锥曲线的最值问题是解析几何综合 问题的重要内容之一,它融解析几何知识与函数知识为 一体,综合性强.处理最值问题时要注意:
(1)函数思想的运用,将最值问题转化为求函数的有 关值域或最值问题.
(2)自变量的取值范围. (3)根据目标函数的特征灵活选择求最值的方法. (4)题目中的几何特征,充分考虑图形性质.
所以最近距离d=|5-101|=2
10 5.
答案: B
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2.设实数x,y满足
x2 16
+
y2 9
=1,则3x+4y的取值范围
为
.
解:(方法1)采用三角换元.令x=4cos θ,y=3sin θ, 则3x+4y=12(cos θ+sin θ)=12 2sin(θ+π4), 所以-12 2≤3x+4y≤12 2.
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2.解析几何综合问题常综合函数、不等式、三 角、向量等知识,涉及的知识点较多,可以充分体现在 知识交汇点处命题的思想,因而成为高考的重点和热 点.因此,要特别注意知识的综合运用,提高综合分析 能力和数学应用能力.
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1.抛物线 y2=12x 上的点与直线 3x-y+5=0 的最近距
离为( )
10 A. 5
2 10 B. 5
5 C. 5
25 D. 5
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解:(方法1:代数法) 抛物线上的点(1y22 ,y)到直线的距离 d=|3·1y22 -10y+5|=4 110y-22+16
≥
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【例2】已知椭圆
x2 12
+
y2 3
=1和直线l:x-y+9=0,在l
上任取一点M,经过点M且以椭圆的焦点F1、F2为焦点作椭
圆.求M在何处时所作的椭圆长轴最短,并求出此椭圆的
方程.
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解:因为F1(-3,0),F2(3,0),易知F1关于l:x-y+9=0 的对称点F1′(-9,6),
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【变式探究】
1.如图,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离
心率为
3 2
,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O
到直线AB的距离为6 5
5 .
(1)求椭圆C的方程; (2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭 圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求 E→P·Q→P的最小值.
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解:由题意知,抛物线的准线l:y=-1, 过点A作AA1⊥l交l于A1,过B作BB1⊥l交l于点B1, 设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1, 则|MM1|=|AA1|+2 |BB1|=|AF|+2 |BF|, 因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦 点),即|AF|+|BF|≥6. 所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6, 即|MM1|≥3. 故点M到x轴的距离d≥2. 故AB的中点到x轴的最短距离为2.