吉林省实验中学高三数学上学期第四次模拟考试试题 理

吉林省吉林一中2014-2015学年度高二英语上学期11月考试题
３．已知命题p ：“∀x >0，有1x e ≥成立”，则⌝p 为（ ） A ．∃0x ≤0，有0x e <l 成立 B ．∃0x ≤0，有0x e ≥1成立 C ．∃0x >0，有0x e <1成立
D ．∃0x >0，有0x e ≤l 成立
4．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α的值是 ( ) A ．－2 B ．57-
C ．5
14
- D ．
5
4
5． 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．3 B ．4 C ． 5 D ．6
6．已知平面向量a ，b 的夹角为120o ，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 C ．2 D ． 1
7．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =e x
关于y 轴对称，则f (x )=（ ）
A ．1e x +
B ．1e x -
C ．1e x -+
D ．1e x --
8．若βα,都是锐角，且55cos =
α，10
10)sin(=-βα，则=βcos （ ） A ．22 B ．102 C ．22或102- D ．22或10
2
9．已知圆122=+y x 及以下三个函数：①3)(x x f =，②x x x f cos )(=；③x x f tan )(=．其中图象能等分圆的面积的函数个数为 （ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
10．如图过拋物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |
＝2|BF |，且|AF |＝3，则拋物线的方程为( )
A ．=2
y x 2
3
B =2
y x 9 C ．=
2y x 2
9
D ．=2
y x 3
11．若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,43⎛⎫
⎪⎝⎭
上有极值点,则实数a 的取值范围是( )
A ．102,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
12.函数)(x f 的定义域为{}0|≠x x ，0)(>x f ．满足)()()(y f x f y x f ⋅=⋅，且在区间
()+∞,0上单调递增，若m 满足)1(2)(log )(log 3
13f m f m f ≤+
，则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．[1,3]
B ．(0，
31] C ．[31,0﹚∪(3,1] D ．(]3,11,31⋃⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若21=a ，
125=S ，则6a 等于
14．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，
则此几何体的表面积是 cm 2
．
15．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2320给定，若(,)M x y 为D 上的动
点，点A 的坐标为(2,1)，则OM OA ⋅u u u u r u u u r
的最大值为 ．
16．在△ABC 中，边2=AB ,1=AC ,角A 3
2π
=
，过A 作AD BC ⊥于D ,且AC AB AD μλ+=,则=λμ
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为c b a ,,满足：
22)(AC AB 2c b a +-=⋅，
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求)B 3
4
sin(2cos 322
--πC 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小.
18．（本小题满分12分）
已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，
90BAC ∠=o ，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点． （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；
（Ⅱ）证明：MN ∥平面11ACC A ；
（Ⅲ）求二面角M AN B --的余弦值．
19．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=S ,231+=+n n S S .
（Ⅰ）求通项公式n a ； （Ⅱ）设2n
n
n S a b =，求证：1...21<+++n b b b ．
A B
B 1
C
C 1
A 1
M
N
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，
使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，
请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数
22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.
（Ⅰ）当1a
=-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数()()2g x f x x =--，
①若函数()g x 有且仅有一个零点时，求a 的值；
②在①的条件下，若2
e
x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围。

请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
如图，ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连结OD 交圆O 于点M . （Ⅰ）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；
（Ⅱ）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=每一点的，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C ． （Ⅰ）写出Ｃ的参数方程；
（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与Ｃ的交点为12,p p ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，求线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为m ．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若c b a ,,是正实数，且满足m c b a =++，求证：3222≥++c b a ．
18.(1)证明11ACC A BA 平面⊥
（2） 取AB 中点D ,证明平面MND ‖11ACC A 平面 (3)二面角的余弦值为21
21
19.证明：（Ⅰ）2+3=1+n n S S Θ，
)1+(3=1+∴1+n n S S ． 又3=1+1S Θ，
{}1+∴n S 是首项为3，公比为3的等比数列，∴*31,N n n S n =-∈． 1=n 时，
2==11S a ，
1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a
)13(31-=-n 132-⨯=n ．故1*23,N n n a n -=⨯∈．
（Ⅱ）()11211232311
,1(31)(31)(31)3131
n n n n
n n n n
b n ----⨯⨯=<=->-----Q
)1
31
131()131131()131131(21...1322121---+⋅⋅⋅+---+---+<
+++∴-n n n b b b 11
31
2121<--+=
n ．
若22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
成立，
即22
22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，等价于0OA OB ⋅=u u u r u u u r ．所以12120x x y y +=．
21.解析 ：解：（1）当1a =-时，2
2
()(2)ln 2f x x x x x =--+定义域()0,+∞，
()()()22ln 22f x x x x x '=-+-- (1)3f '∴=-，又(1)1f =
()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=
（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()
222ln 22x x x ax x -++=+
即1(2)ln x x a x --⋅= 令1(2)ln ()x x
h x x
--⋅=，
则2221122ln 12ln ()x x x h x x x x x
---'=-
-+= 令()12ln t x x x =-- 22
()1x t x x x
--'=--
=，()0t x '<Q ，()t x 在(0,)+∞上是减函数 又()()110t h '==Q ，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()max (1)1h x h ∴==，所以当函数()g x 有且今有一个零点时，1a =
（ⅱ）当1a =，()()
222ln g x x x x x x =-+-，若2
,(),e
x e g x m -<<≤只需证明
max (),g x m ≤()()()132ln g x x x '=-+
令()0g x '=得1x =或32
x e
-=，又2
e
x e -<<Q ，
∴函数()g x 在3
2
2
(,)e e --上单调递增，在32
(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增
22. （Ⅰ）证明：如图，连结OE 、BE ，则BE ⊥EC 又∵D 是BC 的中点， ∴DE BD =.
又∵OE OB =，OD OD =， ∴ODE ODB ∆≅∆，
∴90OBD OED ∠=∠=︒. ∴O 、B 、D 、E 四点共圆．
（Ⅱ）证明：延长DO 交圆O 于点H . 由(1)知DE 为圆O 的切线， ∴2
()DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅，
∴211
(
)()22
DE DM AC DM AB =⋅+⋅， ∴22DE DM AC DM AB =⋅+⋅． 23.(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 2
1＋
y 2
1
＝1得x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22
＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2
4＝1.
故C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
4＝1，2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.
不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于
是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝3
4sin θ－2cos θ
.，。