高中：数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（
2
12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两
个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离
2
1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。

具体情形如下：
（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F
； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。

注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为
a
MF MF 221=+（c a 22>，
c
F F 221=），即
2
121F F MF MF >+.
注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：
a
MF MF 221=+千万不可忘记。

2. 椭圆的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。

二、椭圆的标准方程
（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122
2
2=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122
22=+b x a y （0>>b a ）.
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。

长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。

（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。

若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设
其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122
22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦
点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为
12
2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）.
三、椭圆的性质
以标准方程122
22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；
（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A
-，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；
（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2
2
2
c b a +=；
（6）准线方程：c a x 2
±
=； （7）焦准距：c b 2
；
（8）离心率：
a c
e =
且10<<e . e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁；
（9）焦半径：若),(00y x P 为椭圆122
22=+b y a x 在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，
有
1ex a PF +=，
2ex a PF -=；
（10）通径长：a b 22
.
注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。

以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右
准线l ：c a x 2=为例，可求得其焦准距为
c b c c a c c a 2222=
-=-. 注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。

椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。

通径是椭圆的所有焦点弦中最
短的弦。

设椭圆的方程为122
22=+b y a x （0>>b a ），过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),(2a b c A ，)
,(2
a b c B -，于是该椭圆的通径长为
a b a b a b AB 2
222
)(=--=.
四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指a 、b 、c 的值或它们之间的关系，由这个关系结合2
2
2
b a
c -=，我们可以确定出a 、b 、c 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a 、b 、
c 的值。

（2）椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a 、b 、
c 三者之间的关系：222b a c -=必须牢固掌握。

（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。

根据题目已知条件，我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a 、b 的值。

特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上，则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解，即a 、b 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a 、b 为未
知参数的方程组应有两个解，即a 、b 应有两个值。

（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为
122=+ny mx ，但此时m 、n 必须满足条件：0>m ，0>n ，且n m ≠.
五、点与椭圆的位置关系
点),(00y x P 与椭圆122
22=+b y a x （0>>b a ）的位置关系有以下三种情形：
（ⅰ）若122
220=+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆上； （ⅱ）若122
022
0>+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆外； （ⅲ）若122
022
0<+b y a x ，则点
),(00y x P 在椭圆内；
【例题选讲】
题型1：椭圆定义的应用
1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2（2
12F F a ≥），则点M
的轨迹是（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 线段
D. 椭圆或线段 解：由题意知，2
1212F F a MF MF ≥=+
（ⅰ）当212F F a >时，点M 的轨迹是椭圆；
（ⅱ）当
2
12F F a =时，点M 的轨迹是线段21F F
. 故点M 的轨迹是椭圆或线段
2. 已知圆C ：
36)1(22=+-y x ，点)0,1(-A ，M 是圆C 上任意一点，线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________.
解：圆C ：
36)1(2
2=+-y x 的圆心坐标为)0,1(C ，半径6=r 连接QA ，由l 是直线AM 的中垂线知，
QA
QM =
∴6===+=+r CM QC QM QC QA
而
2
=AC ，∴
AC
QC QA >+
于是点Q 的轨迹是以)0,1(-A ，)0,1(C 为左右焦点的椭圆，其中62=a ，22=c
3=⇒a ，1=c ，819222=-=-=c a b
又该椭圆的中心为坐标原点
故点Q 的轨迹方程为1
892
2=+y x
3. 已知点)0,3(A ，点Q 是圆
42
2=+y x 上的一个动点，线段AQ 的垂直平分线交圆的半径OQ 于点P ，当点Q 在圆周上运动时，点P 的轨迹方程为__________.
解：圆O ：
42
2=+y x 的圆心坐标为)0,0(O ，半径2=r 连接PA ，由l 是直线AQ 的垂直平分线知，
PA
PQ =
∴2===+=+r OQ PQ PO PA PO
而
3
=OA ，∴
OA
PA PO >+
于是点P 的轨迹是以)0,0(O ，)0,3(A 为左右焦点的椭圆，其中22=a ，32=c
1=⇒a ，
23
=
c ，
41431222=
-=-=c a b 又该椭圆的中心为OA 的中点
)
23,
0()2
3,0(OA
故点P 的轨迹方程为1
41)2
3(2
2=+-y x
注：本题点P 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点)
0,23
(
对
称，其方程可由把椭圆1
42
2
=+y x 沿x 轴向右平移了23个单位得到。

4. 方程
2
222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是（）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 线段
解：由2222222++=+--+y x y x y x ，有()
1,02
2
22)1()1(22∈=++-+-y x y x
这表明，点),(y x P 到定点)1,1(F 的距离与它到定直线l ：02=++y x 的距离之比等于常
数22（1
220<<）．由椭圆的第二定义知，点),(y x P 的轨迹是椭圆，即方程
2
222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是椭圆。

5. 椭圆1
3122
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上。

若线段1PF
的中点在y 轴上，则
1
PF 是
2
PF 的（）
A. 7倍
B. 5倍
C. 4倍
D. 3倍
解：在椭圆13122
2=+y x 中，
9312,3,122
2222=-=-===b a c b a 3,3,32===∴c b a
于是)0,3(),0,3(21F F
- 又 线段1PF
的中点在y 轴上，而O 是线段21F F 的中点 轴
y PF 2∴
于是轴x PF ⊥2
（法一）在12F
PF Rt ∆中，2
2
12221F F PF PF +=
36
944))((22
212121=⨯===-+∴c F F PF PF PF PF
又由椭圆的定义，有
3
4322221=⨯==+a PF PF ①
333436
21==
-∴PF PF ②
联立①、②得，
237233341=+=
PF ，23
237342=-=PF
故723
23
721
==PF PF ，即1PF 是2
PF 的7倍。

（法二）2332322=
==a b PF ，而34322221=⨯==+a PF PF 23723341=-
=∴PF
故723
23
721
==PF PF ，即1PF 是2
PF 的7倍。

6. 设1F 、2F 为椭圆1
492
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点。

已知P ，1F ，2F 是一个
直角三角形的三个顶点，且
2
1PF PF >，则
2
1
PF PF =__________.
解：在椭圆1492
2=+y x 中，
549,4,92
2222=-=-===b a c b a 5,2,3===∴c b a
于是)0,5(1-F
，)0,5(2F （ⅰ）当 9021=∠PF F 时，2054422
212
22
1=⨯===+c F F PF PF
又
6
32221=⨯==+a PF PF ①
8220
362
)
()(2
2212
2121=-=
+-+=
⋅∴PF PF PF PF PF PF
于是4
84364)()(21221221=⨯-=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF
又
2
1PF PF > 2
21=-∴PF PF ②
联立①、②得，
422
61=+=PF ，2
462=-=PF
于是此时
22
4
2
1
==
PF PF
（ⅱ）当
9012=∠F PF 时，
2
2
12221F F PF PF +=
20
544))((22
212121=⨯===-+∴c F F PF PF PF PF
而
6
32221=⨯==+a PF PF ③
310
62021==
-∴PF PF ④
联立③、④得，
3146282310
61==+
=
PF ，
34
31462
=-=PF 于是此时27
34314
2
1==PF PF
故21
PF PF 的值为2或27
题型2：求椭圆的方程
7. （1）若方程1352
2=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是__________；
（2）若方程1
352
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________；
（3）若方程1
35=-+-k k 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________. 解：（1） 方程1352
2=-+-k y k x 表示椭圆
544335030
5<<<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠->->-∴k k k k k k 或
故当)5,4()4,3(⋃∈k 时，方程1
352
2=-+-k y k x 表示椭圆。

（2） 方程1
352
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆
43350305<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧->->->-∴k k k k k
故当)4,3(∈k 时，方程1
352
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆。

（3） 方程1352
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆
5453030
5<<⇒⎪⎩⎪
⎨⎧->->->-∴k k k k k
故当)5,4(∈k 时，方程1
352
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆。

8. 已知椭圆142
2=+m y x 的焦距为2，则m =__________.
解：由题意知，22=c 1=∴c 于是12
2
2
==-c b a （*）
（ⅰ）当椭圆142
2=+m y x 的焦点在x 轴上时，42=a ，m b =2
于是由（*）式，有314=⇒=-m m
（ⅱ）当椭圆14=+m 的焦点在y 轴上时，m a =2，42
=b
于是由（*）式，有514=⇒=-m m 故m 的值为3或5
9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点)0,3(P ，则该椭圆的方程为__________.
解：由题设条件知，b a b a 3232=⇒⨯=①
（ⅰ）当椭圆的焦点在x 轴上时，设其方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
则由该椭圆过点)0,3(P ，有10
922=+b a ②
联立①、②得，92
=a ，12
=b
于是此时该椭圆的方程为1
922
=+y x
（ⅱ）当该椭圆的焦点在y 轴上时，设其方程为122
22=+b x a y （0>>b a ）
则由该椭圆过点)0,3(P ，有19
022=+b a ③
联立①、③得，92
=b ，812
=a
于是此时该椭圆的方程为1
98122=+x y
故所求椭圆的方程为192
2=+y x 或198122=+x y
10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点)1,6(1P
，)2,3(2--P ，则椭圆的方程为__________.
解：设所求椭圆的方程为
122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠） 则由该椭圆过)1,6(1P
，)2,3(2--P 两点，有⎩⎨
⎧=+=+12316n m n m ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧
==3191n m 故所求椭圆的方程为1
319122=+y x ，即1392
2=+y x .
11. 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，离心率为
22
. 若过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为
__________.
解：由椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，可设其方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
16
2=∆ABF C
16
22=++∴AF BF AB
而
1
1AF BF AB +=
16
2216)()(21212211=+⇒=+++=+++∴a a AF AF BF BF AF BF AF BF ，即164=a
于是4=a
又
22
==
a c e
2242222=⨯==
∴a c
于是88162
2
2
=-=-=c a b
故椭圆C 的方程为18162
2=+y x
题型3：椭圆的性质
12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的方程为_________.
解：不妨设所求椭圆的方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
设),(y x P 是该椭圆上任意一点，)0,(c F 是其一个焦点
令⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos b y a x ，πθ20≤≤ 则
θ
θθθθ2222222sin cos 2cos )0sin ()cos (b c ac a b c a PF ++-=-+-=
)
sin 1(cos 2)sin (cos sin )(cos 2cos 22222222222θθθθθθθ-+-+=-++-=c ac a c a c ac a
θ
θθθcos )cos (cos cos 22222c a c a c ac a -=-=+-=
又0>>c a ，]1,1[cos -∈θ
θ
θcos cos c a c a PF -=-=∴
于是当0=θ，即点),(y x P 为椭圆122
22=+b y a x 的右顶点时，PF 取得最小值，且c
a PF -=min ][；
当πθ=，即点),(y x P 为椭圆122
22=+b y a x 的左顶点时，PF 取得最大值，且c a PF +=max ][.
因而由题意，有⎩⎨⎧==⎩
⎨
⎧⇒=+=-510155c a c a c a 7525100222=-=-=∴c a b 故所求椭圆的方程为1751002
2=+y x
注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。

以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。

13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点1B 、2B 的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为510-，则这个椭圆的方程为__________.
解：由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，可设其方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
设)0,(c F 是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为)0,(a A 于是有510-=-c a （*）
又 ),0(1b B ，),0(2b B -是该椭圆上的对称点，)0,(c F 是该椭圆的右焦点
F
B F B 21=∴
又F B F B 21⊥
21FB B ∆∴为等腰直角三角形，其中 9021=∠FB B
于是有
OF
OB =2，即c b =
又2
2
2
c b a +=
222c a =∴，即c a 2=，代入（*），得5=c
于是10=a ，5=b
故所求椭圆的方程为15102
2=+y x
题型4：与椭圆的焦点有关的三角形问题
14. 设P 是椭圆14522=+x y 上的一点，1F 、2F 是该椭圆的两个焦点，且 3021=∠PF F ，
则
2
1PF F S ∆=__________.
解：在椭圆14522=+x y 中，
145,4,52
2222=-=-===b a c b a 1,2,5===∴c b a
于是)1,0(1F
，)1,0(2-F 在21PF F
∆中，由余弦定理，有2
12
2
12
22
1212cos PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=
∠
2
12
122
12
1222
12
2
121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ⋅⋅-=
⋅⋅--=⋅-⋅-+=
2
3822
12
1212
12=
⋅⋅-=
⋅⋅-=PF PF PF PF PF PF PF PF b
于是
)32(16)32)(32()
32(16321621-=-+-=+=
⋅PF PF
故348)32(421
)32(1621sin 21212121-=-=⋅-⋅=∠⋅⋅=
∆PF F PF PF S PF F
15. 已知1F 、2F 分别为椭圆1
9162
2=+y x 的左、右焦点，点P 在该椭圆上. 若点P 、1F 、2
F 是一个直角三角形的三个顶点，则21F PF
∆的面积为____________. 解：在椭圆19162
2=+y x 中，
7916,9,162
2222=-=-===b a c b a 7,3,4===∴c b a
于是)0,7(1-F ，)0,7(2F
（ⅰ）当21F PF
Rt ∆以点1F 或2F 为直角顶点时， 4921==a b PF 或49
22=
=a b PF ，而72221==c F F
7497249212121121=⋅⋅=⋅=
∴∆F F PF S F PF 或749
7249212121221=⋅⋅=⋅=∆F F PF S F PF 于是此时总有
749
21=
∆F PF S
并且此种情形下，b
x y x P P P =<±=⨯±=-±=-±=±=3491699)1671(9)161(9,72
即点)
49,7(±±P 在椭圆19162
2=+y x 上，满足题意。

（ⅱ）当21F PF
Rt ∆以点P 为直角顶点时， 设
),(00y x P
则7
2221
212121212100212121PF PF c PF PF F F PF PF y y F F PF PF S F PF ⋅=⋅=⋅=⇒⋅=⋅=
∆
又
8
42221=⨯==+a PF PF ，
28
74422
212221=⨯===+c F F PF PF
18236
228642
)
()(2
22
12
2121==-=
+-+=
⋅∴PF PF PF PF PF PF
于是此时
b PF PF y =>==
⋅=
379
72187
22
10
这表明，此种情形下，点),(00y x P 在椭圆1
9162
2=+y x 外，不满足题意。

故21F PF ∆的面积为7
49
16. 已知1F 、2F 是椭圆在x 轴上的两个焦点，P 为椭圆上一点，
6021=∠PF F .
（1）求该椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：21PF F
∆的面积只与该椭圆的短轴长有关. 解（1）：由该椭圆的焦点在x 轴上，可设其方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
在21PF F
∆中，由余弦定理，有2
12
2
12221212cos PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=
∠
2
12
122
12
1222
12
2
121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ⋅⋅-=
⋅⋅--=
⋅-⋅-+=
2
122
12
12=⋅⋅-=
PF PF PF PF b
22134b PF PF =
⋅∴
又
2
22
121)2
(
a PF PF PF PF =+≤⋅
2
234
a b ≤∴
而2
2
2
c a b -=
222223431)(34c a a c a ≤⇒≤-∴，即2
241a c ≥ 于是
414122
22
2
=
≥=a a a c e 又10<<e
121
<≤∴e
故该椭圆离心率的取值范围是)
1,21
[
证（2）：由（1）知，
22134b PF PF =
⋅
2
2212133233421sin 2121b b PF F PF PF S PF F =⋅⋅=∠⋅⋅=
∴∆
故21PF F
∆的面积只与该椭圆的短轴长有关
题型5：椭圆中的最值问题
17. 设1F 是椭圆1
592
2=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的一个动点，)1,1(A 为定点，则1
PF PA +的最小值为__________.
解：在椭圆1592
2=+y x 中，92=a ，52=b ，4592
22=-=-=b a c
2,5,3===∴c b a
于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F
，)0,2(2F 622121==+≥++a PF PF AF PA PF
2
6)10()12(662221-=-+--=-≥+∴AF PF PA
故[]
2
6min
1-=+PF PA
18. 若),(y x B 满足1
422
=+y x （0≥y ），则43--x y 的最大值、最小值分别为__________. 解：在椭圆1422
=+y x （0≥y ）中，42=a ，12=b ，3142
22=-=-=b a c
3,1,2===∴c b a
于是该椭圆的左右焦点分别为)0,3(1-F
，)0,3(2F 43--x y 表示椭圆1
422
=+y x （0≥y ）上的点),(y x P 与定点)3,4(0P 之间的连线的斜率 令k
x y =--43
，则直线0PP 的方程为)4(3-=-x k y ，即k kx y 43-+=
联立⎪⎩⎪⎨⎧-+==+k kx y y x 4314
22
，得
[]
04)43(4)43(8)41(222=--+-++k x k k x k 令
[][]
02634)43(4)41(4)43(82
222
=+-=--+--=∆k k k k k k 则
331-
=k ，33
1+=k （舍去）
又
2324030=
--=A
P k ，这里)0,2(A 为椭圆1422
=+y x （0≥y ）的右顶点 故23max =
k ，331min -=k ，即43--x y 的最大值为23，最小值为33
1-．
19. 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以椭圆1
12162
2=+y x 的焦点为焦点作
椭圆，则点M 的坐标为__________时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为__________.
解：在椭圆11216=+中，162=a ，122=b ，412162
22=-=-=b a c
2,32,4===∴c b a
于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F
，)0,2(2F 要使过点M 且以椭圆1
12162
2=+y x 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短
必须使
2
1MF MF +最小
设)0,2(2F 关于直线l ：04=-+y x 的对称点为
),(002y x F '
则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-⋅--0420221)1(2
0000y x x y ，即⎩⎨⎧=-+=--06020000y x y x ，得⎩⎨⎧==2400y x )2,4(2'∴F 于是直线'
21F F 的方程为
)
4(31
)4()2(4022-=----=
-x x y ，即023=+-y x
显然，使
2
1MF MF +取得最小值的点M 即为直线'
21F F 与直线l 的交点
联立⎩
⎨⎧=-+=+-04023y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧
==2325y x )
23,25(M ∴ 此时
[]10
240)02()]2(4[222121min 21
==-+--='
='+=+F F MF MF MF MF
101022='⇒='∴a a ，6410222=-=-'='c a b
故所求椭圆的方程为16102
2=+y x
20. 若点O 和点F 分别为椭圆1342
2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则
⋅的最大值为__________，此时点P 的坐标为__________.
解：在椭圆134=+中，
134,3,42
2222=-=-===b a c b a 1,3,2===∴c b a
于是)0,1(-F 设),(y x P
则),(y x =，),1(y x +=，并且22≤≤-x
于是3
41
)41(3)1(222
2
2
2
++=-++=++=++=⋅x x x x x y x x y x x ，]2,2[-∈x
令
341)(2
++=
x x x g ，]2,2[-∈x 其对称轴为
2
4
1
21-=⨯-
=x
∴函数)(x g 在]2,2[-上单调递增
于是6
32241
)2()]([2max =++⨯==g x g
将2=x 代入方程13422=+y x 中，得0=y )0,2(P ∴
故⋅的最大值为6，此时点P 的坐标为)0,2(.
21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率
23
=
e . 已知点
)
23,0(P 到这个椭圆上一点的最远距离为7，则该椭圆的方程为__________，该椭圆上到点P 的距离为7的点的坐标是__________.
解：由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，可设其方程为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
23
==
a c e
224323a c a c =⇒=
∴， 而222b a c -=
2222241
43a b a b a =⇒=
-∴，即224b a =
于是椭圆12222=+b y a x 的方程可化为142222=+b y b x
设),(y x M 是该椭圆上任意一点
则
493)1(4493)23()0(2222
2222
+
-+-=+-+=-+-=y y b y b y y x y x PM 49
43322+
+--=b y y ，b y b ≤≤-
令
49
433)(22+
+--=b y y y g ，],[b b y -∈
其对称轴为
21
)3(23-
=-⨯--
=y
（ⅰ）当b -<-
21，即
21<
b 时，函数)(y g 在],[b b -上单调递减 此时，
2222max )23
(49349433)()]([+=++=+
++-=-=b b b b b b b g y g
于是72323)23(][2max =+=+=+=b b b PM 解得：
21237>
-=b 这显然与
21
<
b 矛盾，因此此种情况不存在。

（ⅱ）当b >-
21时，这显然与0>b 矛盾，因此此种情况不存在。

（ⅲ）当
b b <-<-21，即21>b 时，函数)(y g 在]21,[--b 上单调递增，在]
,21[b -上单调递减 此时，3
449
42343)21()]([22max +=+++-=-=b b g y g
于是
7
34][2max =+=b PM 解得：1=b ，满足题意。

由1=b 可知，所求椭圆的方程为1
422
=+y x
将21-
=y 代入方程1422
=+y x 中，得：3)411(4])21(1[42±=-±=--±=x
于是椭圆上到点P 的距离等于7的点有两个，分别是
)21,3(-，)
21,3(-- 故该椭圆的方程为1422
=+y x ，并且该椭圆上到点P 的距离为7的点的坐标是)
21,3(-或
)
21
,3(--.
题型6：椭圆的离心率计算问题
22. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.
解：由a 2，b 2，c 2成等差数列，有
22222c
a b c a b +=
⇒+=⋅
又 03250325)2
(2222222=-+=-+⇒-=+∴a ac c a ac c c a c a 2
22c a b -= 0325)2(
22222
=-+⇒-=+∴a ac c c a c a （*）
（*）式两边同时除以2a ，得
03252=-+e e 解得：53
=
e 或1-=e （舍去）
故该椭圆的离心率53=
e
23. 已知1F 、2F 是椭圆在x 轴上的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B
两点，若2ABF
∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________.
解：（法一）设正三角形2ABF
∆的边长为t 则t AF 211=，t AF =2，
t F F 23
21= 于是t t t AF AF a 2321221=+=+=，t F F c 23221== t a 43=⇒，t
c 43=
334343
=
==∴t t
a c e
故该椭圆的离心率
33
=
e
（法二）
2
1122
12112212121sin sin sin sin 2sin 2sin 222F AF F AF AF F F AF R F AF R AF F R AF AF F F a c a c e ∠+∠∠=
∠+∠∠=+===
3
3322312123
90sin 30sin 60sin =⋅=+=
+=
，等式中的R 2表示21F AF
∆的外接圆的直径. 故该椭圆的离心率33=
e
24. 过椭圆122
2
2=+b y a x （0>>b a ）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为椭圆
右焦点。

若
6021=∠PF F ，则该椭圆的离心率为__________.
解：（法一）在21F PF
Rt ∆中，1
2121tan PF F F PF F =
∠
c c PF F F F PF 33
232tan 2
1211==
∠=
∴
2
2121sin PF F F PF F =
∠
c
c c PF F F F PF 3343
4232sin 2
1212===
∠=
∴
又
a
PF PF 221=+
a c a c c 232233
4332=⇒=+∴
于是
33
322===
a c e
故该椭圆的离心率为33
（法二）在21F PF
Rt ∆中，2
21
21213232tan b ac a b c PF F F PF F =⇒==
=
∠
而2
22c a b -=
032303232)(322222=--⇒=--⇒=-∴e e c ac a ac c a ，即03232=-+e e
解得：
33
=
e 或3-=e （舍去）
故该椭圆的离心率为33
25. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2=，则C 的离心率为__________.
解：（法一）不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，则其方程可设为122
2
2=+b y a x （0>>b a ）
设),0(b B ，)0,(c F ，
),(00y x D
则),(b c -=，
),(00y c x FD -=
于是由2=，有
⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=b y c x y b c x c 21232)(20000 )
21,23(b c D -∴ 又 点)21,23(b c D -在椭圆122
22=+b y a x 上 434114914149222
22=
-=⇒=+∴e b b
a c
于是
31
2=
e
又10<<e
33=
∴e
故椭圆C 的离心率为33
（法二）不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上 设),0(b B ，)0,(c F ，),(00y x D
则
a
a a c
b OF
OB BF ===+=+=2222
2
作轴y DD
⊥1于点1D 则由2=，有
c OF DD B BF DD OF
2
3
2332D
11
==⇒=
=
，即
c x 23
0=
又由椭圆的第二定义，有
e
x c a
DF
=-02
a c a a c a c c a a c x c a e DF 23223)23()(2
22202-=
-=-=-=∴
又
FD
BF 2=
2
22
232322c a a c a a =⇒-⋅=∴
于是
31322222
=
==c c a c e 又10<<e
33=
∴e
故椭圆C 的离心率为33
26. 在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆122
2
2=+b y a x （0>>b a ）的右焦点，直线
2b y =与椭圆交于B 、C 两点，且
90=∠BFC ，则该椭圆的离心率是__________.
解：在12222=+b y a x 中，令2b y =，则
a x 23
±= 于是
)2,23(b a B -
，)2,23(b
a C 而)0,(c F )2,23(
b
c a FB --
=∴，)2,23(b
c a FC -=
又
90=∠BFC
FC FB ⊥∴
于是
043041
43)2()23)(23(02222222=--⇒=++-=+---
⇒=⋅c b a c b a b c a c a
又 2
2
2
c a b -=
∴2
222223204)(3c a c c a a =⇒=---
于是
32222
=
=a c e 又10<<e
故该椭圆的离心率
36
32==
e
27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：122
22=+b y a x （0>>b a ）的左焦点，A 、B 分别
为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且x PF ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点G ，则C 的离心率为__________.
解：由
MF
GO ，有
c
a a
MF
GO BF
BO MF
GO
+=
⇒
=
GO a c
a MF +=
∴
由
EO
MF ，有
a c
a EO MF AO AF EO MF -=⇒=
GO a c a GO a c a EO a c a MF -=⋅-=-=
∴22
于是有c
a c a c a GO a c a GO a c a 3222=⇒+=-⇒-=+
故C 的离心率
313===
c c a c e
（法二）直线l ：)]([0a x k y --=-，即)(a x k y +=
由c x M -=，得)()(c a k a c k y M -=+-=，所以)
(c a k MF -= 由0=E x ，得ka a k y E =+=)0(，所以ka EO =
由
MF
GO ，有
c
a c a c a a c a k ka BF BO MF EO BF BO MF GO +=-⇒+=-⇒=⇒=2
1)(21
21
c a c a c a 322=⇒+=-⇒
故C 的离心率313===
c c a c e
题型7：与椭圆有关的综合问题
28. 椭圆1232
2=+y x 内有一点)1,1(P ，一直线经过点P 与椭圆交于1P
、2P 两点，弦21P P 被
点P 平分，则直线21P P 的方程为__________. 解：设),(111y x P
，),(222y x P 则1232121=+y x ①， 1232
222=+y
x ②
①－②得，0
2)
)((3))((21212121=-++-+y y y y x x x x ③
又 21P P
的中点坐标为)1,1(P ∴221=+x x ，221=+y y
代入③得，)
()(32
0)(22)(3221212121y y x x y y x x --=-⇒=-+-④
显然21x x ≠
于是由④有，32132
2121-=-=--x x y y ，即3221-
=P P k 又直线21P P
过其中点)1,1(P 故直线21P P 的方程为)1(321--=-x y ，即
35
32+
-=x y
29. 已知椭圆E ：122
22=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线l 交椭圆E
于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-C ，则E 的方程为__________.
解： 椭圆E ：122
22=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,3(F
∴3=c 92
22==-⇒c b a ①
设),(11y x A ，),(22y x B
则1221221=+b y a x ② ， 12
2
2
222=+b y a x ③
②-③得，0)
)(())((2
212122121=-++-+b y y y y a x x x x ④
又 AB 的中点坐标为)1,1(-C
∴121=+x x ，221-=+y y
代入④得，)(2)(20)(2)(2212212212212y y b x x a y y b x x a -=-⇒=--+-⑤
显然21x x ≠
于是由④有，2
2
2
212122
a b b a x x y y ==--，即
2
2a b k AB = 又
21
1310=---=
=）（CF AB k k
∴2
22
2221b a a b =⇒=⑥
由①、⑥得，182
=a ，92
=b
故椭圆E 的方程为19182
2=+y x
30. 如图，设P 是圆252
2=+y x 上的一个动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上
一点，且
PD MD 54=
.
（1）当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（2）求过点)0,3(且斜率为54
的直线被C 所截线段的长度.
解：（1）设),(y x M ，),(P P y x P
则由题设条件知，⎪⎩⎪
⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x x y y x x P P P P 4554 而点P 在圆
252
2=+y x 上 1
162525162525)45(2222
22
=+⇒=+⇒=+∴y x y x y x
故点M 的轨迹C 的方程为116252
2=+y x
（2）过点)0,3(且斜率为54的直线的方程为
51254)3(540-=-=-x x y ，即512
54-
=x y 点M 的轨迹C 的方程116252
2=+y x 可化为
040025162
2=-+y x 设直线与C 的交点为),(11y x A ，),(22y x B 则直线被C 所截线段的长度为
AB
联立⎪⎩⎪
⎨
⎧-==-+512540
400251622x y y x ，得0832=--x x 由韦达定理，有⎪⎩⎪⎨⎧
-=-==--=+8
18
313212
1x x x x
于是)
8(43)54(14)(1122212212
212--⋅+=-+⋅+=-+=x x x x k x x k AB AB AB
5414125414125
16
1=⨯=⋅+
=
故过点)0,3(且斜率为54的直线被C 所截线段的长度为541
31. 已知椭圆
1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与该椭圆交于点A 、B 和C 、
D ．记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．
（1）设),(11y x A ，),(22y x C ．用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明
1
2212y x y x S -=；
（2）设1l 与2l 的斜率之积为21
-
，求面积S 的值．
解：（1）在椭圆122
2=+y x ，即1
21
2
2
=+y x 中，
21211,21,122222=-=-===b a c b a （ⅰ）当直线1l 和2l 的斜率均存在时，
直线1l 的方程为
)(11
1
1x x x y y y -=
-，即011=-y x x y
于是点),(22y x C 到直线1l ：011=-y x x y 的距离21211
22121
21
2
121y x y x y x x
y y x x y d +-=
+-=
又四边形ACBD 为平行四边形
故
12212
1211221212122221
22y x y x y x y x y x y x d OA d AB d AB S S ABC -=+-⋅+=⋅=⋅=⋅⋅
==∆
（ⅱ）当直线1l 的斜率不存在（此时1l 即为y 轴），直线2l 的斜率存在时， 此时点),(11y x A 中，01=x 点),(22y x C 到直线1l 的距离
2
x d =
1221221022221
22y x y y x x y d AB d AB S S ABC -⋅==⋅=⋅=⋅⋅
==∆
（ⅲ）当直线2l 的斜率不存在（此时2l 即为y 轴），直线1l 的斜率存在时， 此时点),(22y x C 中，02=x
点),(22y x C 到直线1l 的距离
21212121
2
1
2
110y x y x x
y y x y d +=
+-⋅=
1
212121
212121*********
22y y x y x y x y x y x d OA d AB d AB S S ABC ⋅-==+⋅+=⋅=⋅=⋅⋅
==∆
故点C 到直线1l 的距离
21211
221y x y x y x d +-=
，平行四边形ACBD 的面积12212y x y x S -=. （2）由直线1l 与2l 的斜率之积为21
-
可知，直线1l 、2l 的斜率均存在，且均不为零
不妨设直线1l 的斜率为k
则直线1l 的方程为kx y =，并且直线2l 的斜率为k 21
-
于是直线2l 的方程为
x k y 21-
=
联立⎩⎨⎧==+kx y y x 1222得1)12(22=+x k 解得：
121221+=k x 联立⎪⎩⎪
⎨⎧-==+x k y y x 211222得2222)12(k x k =+ 解得：
122222
2+=k k x 又由（1）知
1
2212y x y x S -=
故
2
12212112211221212222)()21(22x x k
k x kx k x x kx x x k x y x y x S +=+=--=-=
2
1
22121221211212122222222
2212212=+⋅+=+⋅++=+=+=k k k k k k k k k x x k k x x k k
32. 已知椭圆E ：122
22=+b y a x （0>>b a ）的半焦距为c ，原点O 到经过两点)0,(c ，)
,0(b 的直线的距离为c 21．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）如图，AB 是圆M ：25
)1()2(22=
-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，
求椭圆E 的方程．
解：（1）设)0,(),,0(c F b E 则
a
c b OF
OE EF c OF b OE =+=+=⇒==222
2,
设EF OH ⊥，则c
OH 21
= OH EF OF OE S OEF ⋅=⋅=
∆21
21 2
222222234,4221
b b b b a
c b a b a c a bc =-=-==⇒=⇒⋅=∴
故椭圆E 的离心率
23
23===
b b a
c e
（2）圆M ：
25
)1()2(22=
-++y x 的圆心为)1,2(-M ，半径
210
25==
r
由（1）知，2
2
4b a =
于是椭圆E ：12222=+b y a x 的方程可化为1422
22=+b y b x ，即
044222=-+b y x 设直线AB 的斜率为k
则直线AB 的方程为k kx x k y 2)]2([1+=--=-，即12++=k kx y 设),(11y x A ，),(22y x B
联立⎩⎨⎧++==-+1
20
44222k kx y b y x 得0441616)816()14(2
2222=-++++++b k k x k k x k
由韦达定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++=
++-=+144416161481622
2212221k b k k x x k k
k x x
又 )1,2(-M 为AB 的中点
∴21
2144822
2221=
⇒-=++-⇒-=+k k k k x x 2
22
2128241614144421
164116b b b x x -=-=+⋅-+⋅+⋅=∴
又)
28(4)4()21
(14)(11222212212212b x x x x k x x k AB ---+=-++=-+=
16845
832164
1
122-=+-+
=b b
10210
22=⨯
==r AB
124,310)168(45
101684522222===⇒=-⇒=-∴
b a b b b
故椭圆E 的方程为13122
2=+y x
33. 已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线1l ：2-=x 的距离为1d ，到点)0,1(-F 的
距离为2d ，且
2
212=d d . 直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），
且
180=∠+∠OFB OFA . （1）求椭圆C 的方程；
（2）当点A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；
（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设),(y x P ，则2)2(1+=--=x x d ，22222)1()0()]1([y x y x d ++=-+--=
于是由
2
212=d d ，有
2
1
4412222)1(2
2222=+++++⇒=+++x x y x x x y x
化简整理，得：1
222
=+y x 故椭圆C 的方程为1
222
=+y x
（2）椭圆C 的方程1222
=+y x 可化为0222
2=-+y x
联立⎩⎨
⎧==-+0
2222x y x ，得1±=y )1,0(A ∴ 而)0,1(-F
451011
0=∠⇒=---=
∴OFA k AF
又
180=∠+∠OFB OFA
135=∠∴OFB 而A 、B 都在x 轴上方 1-=∴BF k
于是直线BF 的方程为1)1()]1([10--=+-=--⋅-=-x x x y ，即1--=x y
联立⎩⎨⎧--==-+102222x y y x ，得0432=+x x 解得：⎪⎩⎪⎨⎧
=-=3134y x 或⎩⎨⎧-==10y x （舍去） 21
33203131)3
1
,34(=
--
=---=⇒-∴AB
k B
故直线l 的方程为
x x y 21)0(211=-=
-，即121+=x y
（3）
180=∠+∠OFB OFA ，且A 、B 都在x 轴上方
0=+∴BF AF k k ，并且直线l 的斜率存在
设),(11y x A ，),(22y x B
则由)0,1(-F ，有
11101022
112211+++=---+---=
+x y
x y x y x y k k BF AF （*）
设直线l 的方程为b kx y +=
联立⎩⎨⎧+==-+b
kx y y x 02222，得0224)12(2
22=-+++b kbx x k
由韦达定理，有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+122
212422
21221k b x x k kb x x 于是由（*）式，有
)1)(1()
1()1(1121122
12211+++++=+++=
+x x x y x y x y x y k k BF AF
)1)(1(2))((2)1)(1()1)(()1)((212121211221=++++++=+++++++=
x x b
x x b k x kx x x x b kx x b kx
而b
k kb
b k k b k b x x b k x kx 2)124)((122222))((22222121++-+++-⋅=++++ 122412244444222222++-=
+++---=k b
k k b b k kb b k k kb
k b b k 2024=⇒=+-∴
于是直线l 的方程b kx y +=可化为)2(2+=+=+=x k k kx b kx y 这表明，直线l 总经过定点)0,2(-
故对于动直线l ，总存在一个定点)0,2(-，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点.
34. 在平面直角坐标系xoy 中，点),(b a P （0>>b a ）为动点，1F 、2F 分别为椭圆
122
22=+b y a x 的左、右焦点．已知21PF F
∆为等腰三角形． （1）求该椭圆的离心率e ；
（2）设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2-=⋅，求点M 的轨迹方程．
解：（1）在椭圆122
22=+b y a x 中，)0,(),0,(21c F c F
-
21PF F ∆为等腰三角形
322)0()(22222212=-+-⇒=-+-⇒=∴c b ac a c b c a F F PF
又2
2
2
c a b -=
0210203)(22222222=--⇒=--⇒=--+-∴e e c ac a c c a ac a ，即0122=-+e e
解得
21
=
e 或1-=e （舍去）
故该椭圆的离心率
21=
e
（2）由（1）知，
21=
e ， 2
222223,4221
c c a b c a c a a c =-==⇒=⇒=∴
于是椭圆12222=+b y a x 可化为13422
22=+c y c x ，即
01243222=-+c y x 又)0,(),,(2c F b a P
∴
323002=--=--=
c c c a c b k PF
于是直线2PF 的方程为)(30c x y -=-，即c x y 33-= 设),(),,(2211y x B y x A
联立⎩⎨⎧-==-+c x y c y x 3301243222得0852=-cx x
解得：c x 581=，02=x ∴c
y 353
1=，c y 32-= 于是)3,0(),353
,58(c B c c A -
设点M 的坐标为),(y x
则)
3,(),353,58(c y x BM c y c x AM +=--=
又),(y x M 在直线2PF ：c x y 33-=上
y
x y x c 33
33-=-=
∴
于是
)
58
353,315853())33(353),33(58(y x y x y x y y x x +-+-=----= )3,())33
(3,(x x y x y x =-
+=
又2-=⋅
2
3)58
353()315853(-=+-++-∴x y x x y x 0
1531618235859315853222=--⇒-=+-+-⇒xy x xy x xy x 于是有
x x y 31615182-=
（*） 将（*）式代入y
x c 33-=中，得
x x x x x x x x y x c 16510165631615183333222+=--=-⋅-=-= 而0>c
∴0>x
故点M 的轨迹方程为
015316182
=--xy x （0>x ）
35. 设圆
01522
2=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C 、D 两点．过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ．
（1）证明
EB
EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交曲线1C 于M 、N 两点，过点B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点．求四边形MPNQ 面积的取值范围．
解：（1）圆015222=-++x y x ，即圆161
(2
2=++y x ）的圆心为)0,1(-A ，半径4=r AC
AD =
ACD ADC ∠=∠∴
又
AC
EB
EBD ACD ∠=∠∴
于是有
EB
ED EBD ADC =⇒∠=∠
定值
===+=+∴4AD ED EA EB EA
而
2
=AB
AB
EB EA >+∴
于是点E 的轨迹是以)0,1(-A 、)0,1(B 为左右焦点的椭圆，其中22,42==c a
314,1,2222=-=-===∴c a b c a
故点E 的轨迹方程为1342
2=+y x （0≠y ）
（2）（ⅰ）当直线l 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，显然0≠k 则直线l 的方程为)1(0-=-x k y ，即)1(-=x k y
直线PQ 的方程为)1(10--=-x k y ，即)
1(1
--=x k y 椭圆1342
2=+y x 的方程可化为
012432
2=-+y x 联立⎩⎨⎧-==-+)1(0
124322x k y y x 得
01248)34(2
222=-+-+k x k x k 由韦达定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=
+=+--=+3412434834822
2122
2221k k x x k k k k x x
于是
3412
44)348(14)(11222222
212212
212+-⋅-++=-++=-+=k k k k k
x x x x k
x x k MN
34)1(12)34()1(1441)34()14414464(641222
22
2222442
++=+++=+---+=k k k k k k k k k k
又 点)0,1(-A 到直线PQ ：)
1(1
--=x k y ，即01=-+ky x 的距离。