天津高一高中数学期末考试带答案解析

天津高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.如果，则下列不等式中成立的只有（）
A．B．C．D．
2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）
A．B．C．D．
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．B．C．D．
4.如图所示程序框图中，输出（）
A．B．C．D．
5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，
则是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）
A．B．C．D．
7.下列命题正确的是（）
①函数的一个对称中心是；
②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；
③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；
④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．
A．①③B．①④C．②④D．③④
8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．
2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．
3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．
234
4.正项等比数列中，若，则= ．
5.如图中，已知点在边上，，则的长
为．
6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则
的最小值为．
三、解答题
1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片
（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率
（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字的卡片的概率．
2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，
（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；
（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；
3.（本小题满分12分）已知关于的不等式
（1）若不等式的解集为，求的值．
（2）求不等式的解集
4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足
，且，{}前项和为．
（1）求数列{}、{}的通项公式;
（2）设，求数列的前项和，并证明．
5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设
，数列满足．
（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．
天津高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.如果，则下列不等式中成立的只有（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，可得，故不正确，正确．再根据，可得不正确，
只有选项成立，故选．
【考点】不等式关系与不等式
2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】变量满足的约束条件的可行域如图所示，点，在点处有最小值，故选B．
【考点】线性规划
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图可知甲的得分共有9个，中位数为28，所以甲的中位数为28．乙的得分有9个，中位数为36，所
以乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64．故选C．
【考点】茎叶图和中位数
4.如图所示程序框图中，输出（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由程序框图值，第一次运行；第二次运行
；第三次运行；…指导满足条件，运行终止，此时，，故选D．
【考点】程序框图
5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，
则是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为方程的两根之积等于两根之和，所以，由正弦定理可得
，因为为三角形的两内角，，三角形为等腰三角形，故选A．【考点】（1）正弦定理（2）三角形形状的判断
6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，公差，代入数据可得，
，故选D．
【考点】等差数列前项和
7.下列命题正确的是（）
①函数的一个对称中心是；
②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两
个事件；
③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；
④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．
A．①③B．①④C．②④D．③④
【答案】D
【解析】对于①，函数的一个对称中心是；不正确，一个对称中心应该是；对
于②，从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥不对立的
两个事件；“至少有一个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，即事件A与事件B为互斥事件，至少有一个红球
包含一个红球一个白球额两个红球，与恰有2个白球是对立事件，故②不正确；对于③，强
的图像向右平移个单位长度，即可到函数的图像，所以③正确；若函数
的图都在轴上方，可得并且，
解得，所以④正确．故选D．
【考点】命题的真假判断与应用
8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值
范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得当时，不等式恒成立，即恒成立，故
函数的最小值大于等于0．由于函数的对称轴为，当，即时，的最小值为，求得．当时，即，
的最小值为，综上可得实数的取值范围是，故选B．
【考点】函数恒成立问题
二、填空题
1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．
【答案】
【解析】，即，则事件发生的概率为．
【考点】几何概型
2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．
【答案】48
【解析】因为各小组频率之和为1，而后两组频率之和为：，所以前三组频率之和为1-0．25=0．75，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，故第三组频率为，因为第3小组的频数为18，则抽取的学生人数是．
【考点】频率分布直方图
3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．
234
【答案】0．5
【解析】，
【考点】线性回归方程
4.正项等比数列中，若，则= ．
【答案】16
【解析】，因为数列为等比数列，所以=．
【考点】等比数列的性质
5.如图中，已知点在边上，，则的长
为．
【答案】
【解析】，
，在中，，根据余弦定理得：
．
【考点】余弦定理
6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则
的最小值为．
【答案】
【解析】，又为上一点，不妨设，
，不共线，，则
=
当且仅当，即时等号成立．
【考点】平面向量的基本定理及其意义
三、解答题
1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片
（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率
（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次
抽到数字的卡片的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求
所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率．
（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可得到所求答案．
试题解析：（1）令事件A “三张卡片之和大于9”，且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：
（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）
三张卡片之和大于9的概率
（2）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”
则其对立事件“两次都没抽到数字3”
第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）
两次抽取至少一次抽到数字3的概率是．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，
（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；
（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；
【答案】（1）-2（2）
【解析】（1）本题考察的是求三角函数的解析式，一般采用三角函数中的恒等变换，化简求函数的解析式．可得，利用周期公式可求，由，可求范围，由正弦函数的图
像和性质即可求出最小值．
（2）本题考察的是解三角形的问题，由已知及正弦定理可解得的值，结合，即可求得角的值．
试题解析：（1）
函数
因为
（2）因为，由正弦定理得
=
又0
又因为，所以
【考点】（1）三角恒等变化（2）正弦函数的图像（3）正弦定理
3.（本小题满分12分）已知关于的不等式
（1）若不等式的解集为，求的值．
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为
【解析】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．
（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参
数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．
试题解析：（1）将代入则…………1分
不等式为即
不等式解集为或
（2）不等式为，即
当时，原不等式解集为
当时，方程的根为，
①当时，，或
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上所述，原不等式解集为①当时，或
②当时，
③当时，
④当时，
⑤当时，原不等式解集为
【考点】一元二次不等式的解法
4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足
，且，{}前项和为．
（1）求数列{}、{}的通项公式;
（2）设，求数列的前项和，并证明．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）本题考察的是数列的通项，由且当时，，即可得的通项公式；
由等差数列的求和公式，可得公差，进而得到的通项公式．
（2）本题察的是求数列的前项和，由（1）把的通项公式代入的式子，得到，运用
裂项相消法求和，，化简即可得到前项和，再由单调性即可证明．
试题解析：（1）因为①
∴②
∴①-②得
且当时，
∴
由已知∴数列为等差数列，令其公差为
又∴∴
∴
（2）∴
∴……
函数为的单调递减函数（另：因为，∴单调递增）
∴为单调递增，
∴
【考点】（1）数列的通项公式（2）数列求和
5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设
，数列满足．
（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）本题考察的是等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到，即可证明是等比数列．然后求出新数列的通项公式，从而求出数列的通项公式．（2）本题考察的是求数列的前项和，根据（1）求出的数列的通项公式，求出，继而求出的通项
公式，然后通过错位相减法求出的前项和．
（3）本题考察的是不等式恒成立问题，根据的单调性，求出的最大值，然后由含参一元二次不等式恒成立，
然后根据一元二次不等式在定区间恒成立，从而求出参数的取值范围．
试题解析：（1）因为∴，
∴是等比数列，其中首项是，公比为
∴，
（2）
由（1）知，，
两式相减得
（3）…10分∴当时，
当∴当或时，
取最大值是
只须即对于任意恒成立
即
【考点】（1）等比数列的通项公式（2）求数列的前项和（3）不等式恒成立问题。