高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质111数学

的坐标为 321，2.
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名师解题
求相关动点的轨迹方程
求以 y 轴为左准线，且过定点(3,2)的离心率为12的动椭 圆左顶点的轨迹方程．
[解] 设动椭圆左顶点的坐标为(x，y)，因椭圆的 y 轴为准线，
离心率为12，故左焦点的坐标为23x，y.
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用圆锥曲线的统一定义求轨迹(guǐjì)方程
已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x＝8 的距离 之比为12，求点 M 的轨迹． (链接教材 P47 例 1) [解] 由题意得 x|－x－282＋| y2＝12，整理得1x62＋1y22 ＝1. 故点 M 的轨迹为中心在原点，焦点为(±2,0)，准线为 x＝±8 页，共二十一页。
解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点
坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断(pànduàn)轨迹形状，再
由几何性质得方程．
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1．已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x＝－1， 且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：∵MF＝ 3－12＋2 3－02＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， ∴MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)． 由p2＝1 得 p＝2.故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．。 求相关动点的轨迹方程
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轴，B 坐标为( 3，2)， 所以 A′点坐标为(x,2)． 又因点 A′在抛物线上，所 以 A′(1,2)即为所求 A 点，
此时最小值为 BC′＝ 3＋1.
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圆锥曲线的准线(zhǔn xiàn)、离心率的求解与应用
求椭圆1x62＋2y52 ＝1 的离心率与准线方程，并求与该椭
又ac2＝ac′′2＝235， 解得：a′＝1925，c′＝62275，b′2＝257020900， 故双曲线方程为18516y225－2752090x020＝1.
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在圆锥曲线中，a，b，c，e，p是确定图形形状的特征量，把握它们 之间的内在联系是解决此类问题(wèntí)的关键．
第2章 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与
方程
2．5 圆锥曲线的共同(gòngtóng)性质
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第2章 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn) 与方程
学习(xuéxí)导航
1.通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义．(重点) 学习 2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲 目标 线在解决实际问题的作用，进一步体会数形结合的
抛物线
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2．圆锥曲线的焦点、准线与曲线的相对位置，曲线中与坐标 系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心率 e＝ac，中心到焦点的 距离 c，中心到准线的距离ac2等都是与坐标系无关的不变量． (3)双曲线中实轴长 2a，虚轴长 2b，离心率 e＝ca，中心到焦点 的距离 c，中心到准线的距离ac2等都是与坐标系无关的不变量．
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内容(nèiróng)总结
2．5 圆锥曲线的共同性质。2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决实际问题的 作用，进一步体会数形结合的思想．(难点(nádiǎn))。通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系，从
No 变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义解决一些与焦点准线有关的问题.。若平面内动点P到定点F
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即 MA＋MB＝10－MF＋MB. 因为|MB－MF|≤BF＝ －4－22＋0－22 ＝2 10， 所以－2 10≤MB－MF≤2 10， 故 10－2 10≤MA＋MB≤10＋2 10. 即 MA＋MB 的最大值为 10＋2 10，最小值为 10－2 10. (2)由题意知，椭圆的右准线为 x＝245，过 M 点作右准线的垂 线，垂足为 M′(如(1)图所示)，由椭圆第二定义知，
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3．试在抛物线 y2＝4x 上求一点 A，使 A 到点 B( 3，2)与到
焦点的距离之和最小． 解：由已知易得点 B 在抛物线内，p2＝1，准线方程 x＝－1， 如图，过 B 作 C′B⊥准线 l 于 C′，直线 BC′交抛物线于 A′，则 A′B＋A′C′为满足题设的最小值．因为 C′B∥x
(4)抛物线中焦点到顶点的距离p2，焦点到准线的距离 p 都是与
坐标系无关的不变量． 12/10/2021
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1．双曲线的两条准线把两焦点所连线(lián xiàn)段三等分，则它的离心
率为_____3___．
2．点 M(x，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线 l：x＝235的距 离的比是常数35，则点 M 的轨迹方程为___2x_52_＋__1y_62 ＝__1_____．
使 PA＋12PF 的值最小． 解：因为 a＝1，b＝ 3，所以
c＝2，所以
e＝ac＝2
且
F
为双
曲线的右焦点．设点 P 到与焦点 F(2,0)相应的准线的距离为
d，则PdF＝2，所以12PF＝d.所以 PA＋12PF＝PA＋d.即当直线
PA 垂直于准线且点 P 位于 y 轴右侧时适合题意．所以 P 点
5 3
5，2.
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本类题是圆锥曲线中求最值的一类典型问题，解题的方法也 是相通的，都是利用定义实现转化．一般地，形如 PA＋1ePF 的最小值的求法是利用圆锥曲线的统一定义将 PA＋1ePF 转 化为 PA＋d.
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2．已知点 A(3,2)，F(2,0)，在双曲线 x2－y32＝1 上求一点 P，
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圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)两种定义的应用
已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆2x52＋y92＝1 内的两个点，M 是椭圆上的动点． (1)求 MA＋MB 的最大值和最小值； (2)求 MB＋54MA 的最小值． (链接教材 P52T11) [解] (1)如图所示，由2x52＋y92＝1， 知 a＝5，b＝3，c＝4. 所以点 A(4,0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为 F(－4,0)． 则 MA＋MF＝2a＝10，
思想．(难点)
学法 指导
通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系， 从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义 解决一些与焦点准线有关的问题.
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1．圆锥曲线的统一(tǒngyī)定义 若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的 距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线． (1)如果0<e<1，则动点P的轨迹是____________； (2)如果e>1，则动点P的轨迹是___________椭_；圆(tuǒyuán) (3)如果e＝1，则动点P的轨迹是_______双__曲__线_．
圆有相同准线且离心率互为倒数的双曲线方程．
(链接教材 P48T1)
[解] 由1x62＋2y52 ＝1 知 a＝5，b＝4，
则 c＝3，e＝ac＝35，准线方程为 y＝±235.
设双曲线虚半轴长为 b′，实半轴长为 a′，
半焦距为
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c′，离心率为
e′，则
e′＝1e＝53，
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又动椭圆过点(3,2)，由椭圆的定义知：
3－32x32＋2－y2＝12.
化简得椭圆左顶点的轨迹方程为： (x－12/120/2)022＋1 49(y－2)2＝1.
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[名师点评] (1)动椭圆以 y 轴为准线，过定点(3,2)，离心率 为12，可知定点到焦点的距离与到 y 轴的距离的比亦为12； (2)以 y 轴为准线，知焦点及顶点均在与 y 轴垂直的直线上； (3)由(1)、(2)寻找左顶点与左焦点坐标之间的关系，列出方程 即可．
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MA MM′
＝
e＝
45 ，
即
54MA＝
MM′.所
以
MB＋
5 4
MA＝
MB＋
MM′.易知，当 B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有最 小值，最小值为 BM′＝245－2＝147.当 y＝2 时，有2x52＋292＝1，
解得 x＝53 5 或 x＝－53 5(舍去) ，此时点 M 的坐标为