[物理]分析力学基础

若主动力为有势力，须将势能 V 表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出N个二阶常微分方程。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
质量为m1、半径 为 r 的均质圆轮在水平面 上纯滚，轮心与刚性系数 为k 的弹簧相连。均质杆 AB长度为l ，质量为m2 。 求：系统的运动微分方程。 解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。
V Qk 0 qk
d T T V ( ) 0 k dt q qk qk
称为拉格朗日函数（动势）
引入
L T V
因为势能只是广义坐标的函数，故
d L k dt q
L 0 q k
此即为主动力为有势 力的拉格朗日方程。
于是，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明，在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 如果用广义坐标 q1，q2， ，qN 表示质点系的位置, 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V q1，q2， ，qN
根据广义力表达式，在势力场中可将广义力 QN 写成 用势能表达的形式，即
V Qk 0 (k 1， 2， ，N ) qk
在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。
杆OA和AB以铰链相 连，O端悬挂于圆柱铰链
上，杆长OA=a ， AB=b
。杆重和铰链的摩擦都忽
略不计。今在点A和B分
别作用向下的铅锤力 FA 和 FB ，又在点B作用一 水平力 F 。试求平衡时 j1，j 2 与 F ，FA，FB
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
N xi δq k δx i k 1 q k N yi δq k δy i k 1 qk N zi δq k δz i k 1 q k
k 1
N
由于广义坐标的独立性，q 可以取任意值，因此上
k
式若要成立，必须有
Q1 Q2 QN 0
上式表明： 质点系的平衡条件是系统的广义力都等于零。
求广义力的两种方法
(1) 直接按定义式计算
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk i 1
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk V xi V yi V zi ( ) xi qk yi qk zi qk V qk (k 1， 2， ，N )
这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式
例题
x
k O x
j
C
y
A
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(x, j), x 坐标的原点取在弹簧原长处。
3、计算系统的动能：
1 1 2 2 J O O T m1 x 2 2 1 1 2 2 m2 vC J Cj 2 2
速度vC的确定
l xC x sin j 2 l yC cosj 2
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度N，选取适宜的广义坐标。必须注 意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Qk
n
( j 1,2,, N ) ，计算公式为：
W ( j) xi yi zi Qk (X i Yi Zi ) 或 Qj q j qk qk qk i 1
k 1,, N
上式称为第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程 其中方程式的数目等于质点系的自由度数。
qk Qk
为质点系的广义坐标
为与广义坐标相对应的广义力
1 2 为质点系的动能 T mii 2
如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广 义力 Qk 可写成用质点系势能表达的形式，即
ri ri qk k 1 qk
N
或
二、以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示 虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移 之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移， 广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简 洁形式。为此将广义虚位移代入虚功方程
之间的关系。
解：系统有两个自由度
现选择 j1和 j 2 为系统的 两个广义坐标,现计算其 对应的广义力 Q1 Q2
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk i 1
n
y A y B x B Q1 FA FB F j1 j1 j1 y A y B x B Q2 F A FB F j 2 j 2 j 2
x R sin j cosq y R sin j sin q Z R cosq
一般地，设有由 n 个质点组成的非自由质点系的
位置可由 N 个广义坐标
q1 , q2 ,, qN来确定，则
质点系内各质点的坐标可表为广义坐标的函数，即
或写为：ri ri q1 , q2 ,, q N , t
分析力学基础
一、自由度和广义坐标
1、自由度——确定物体空间位置的独立坐标数目。
在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参
数的数目等于系统的自由度数。
若具有n个质点的质点系，有s 个完整约束方程： 则：n个质点的质点系总自由度数为：
N 3n s
2、广义坐标——描述质点系在空间中位置的独立
参数；可为线位移也可为角位移。 对于完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
d V 由 0 得到系统的平衡位置为 j dj
0
为判别系统是否处于稳定平衡，将势能对 导数
j 求二阶
d 2V 2 ka Pl dj 2
d 2V 要求 2 0 ，即 对于稳定平衡， dj

ka Pl 0
或
2
a
Pl k
三、拉格朗日方程
d T k dt q T Q 0 k q k
W F δW Fi Fi δr
n n i 1 n i 1
( Fxi δx i Fyi δyi Fzi δz i )
i 1
得
N N N xi yi zi WF Fxi q qk Fyi q qk Fzi q qk i 1 k 1 k 1 k 1 k k k N n xi yi zi ( Fxi Fyi Fzi )qk 0 qk qk qk k 1 i 1 n
系统平衡时应有
Q1 0, Q2 0
于是得
F F tan j1 ， tan j 2 FA FB FB
（※）
y A a cosj1 yB a cosj1 b cosj 2 xB a sin j1 b sin j 2
按第二种方法计算 ①保持j2不变，对（※）变分，得
Q2
W j2
2

FAy A FBy B FxB
j2
Q1 ( FA FB )a sin j1 Fa cos j1 Q2 FBb sin j2 Fb cos j2
两种方法所得广义力相同，故可得相同的结果。
V Qk 0 (k 1， 2， ，N ) qk
z
M
y
z
j
R
M
y
x
z R (x y )
2 2 2
x
q
若质点 M 限定在半球面上运动，球半径为R。是 具有1个质点的空间质点系，有1个约束方程：
n 1, s 1
自由度数为：
N 3n s 3 1 2
通常用 2 个独立参数 j 和 q 表示。
z
j
R
M
y
x
q
质点 M 的空间坐标可用广义坐标表示为：
在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。
对于一个自由度系统，当系统平衡时，上式变为
dV 0 dq
当系统处于稳定平衡状态时，则在平衡位置，系 统势能具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导 数大于零 此式为单自由度系统 d 2V 0 2 平衡的稳定性判据 dq
例题：如图所示一倒置的摆,摆锤重量为 P,摆杆长度
为l,在摆杆上的点A连有一刚度为k 的水平弹簧,摆在 铅直位置时弹簧未变形。设OA=a,摆杆重量不计，试 确定摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。 解：该系统是一个自由度系统,
选择摆角
j 为广义坐标,摆的
铅直位置为摆锤重力势能和弹 簧弹性势能的零点。则对任一 摆角
述了质点系的几何约束方程。
xi xi q1 , q2 ,, q N , t yi yi q1 , q2 ,, q N , t i 1,2,, n zi zi q1 , q2 , , q N , t
一旦确定了质点系的广义坐标，则也隐含地描
令
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) (k 1,, N ) qk qk qk i 1
n
则有 WF Qkqk 0
k 1
N
与广义坐标qk对 应的广义力，量 纲可为力或力矩。
虚功方程（用广义力和广义坐标表示）
WF Qk qk 0
l cos j C x j x 2 l sin j C j y 2
1 1 1 2 2 2 m2l j m2lx j cos j T (3m1 2m2 ) x 4 6 2
4、计算系统的势能：
系统的势能由弹 簧势能与重力势能所 组成：
1 2 1 V kx m2 glcosj 2 2
j ，系统的总势能等于摆
锤的重力势能和弹簧的弹性势
能之和，即
1 2 2 1 2 2 2j V Pl (1 cos j ) ka j 2 Pl sin ka j 2 2 2
当 j 1 时,有
1 V (ka 2 Pl )j 2 2
dV (ka2 Pl )j dj
5、拉格朗日函数
L T V 1 1 1 2 2 2 m2l j m2lx j cos j (3m1 2m2 ) x 4 6 2 1 2 1 kx m2 glcosj 2 2
y A y B a sin j1j1 ，xB a cos j1j1
②保持j1不变，对（※）变分，得
y A 0 ，y B b sin j 2j2 ，xB b cos j 2j2
Q1
W j1
1

FAy A Fy B FxB
j1
n
(2) 利用广义虚位移的任意性：令某一个 qk不等于零 而其他 k-1 个广义虚位移都等于零，由虚功方程得
WF Qkqk
WF Qk qk
如果质点系在势力场中，则作用在质点系上主动 力都是有势力，势能应为各质点坐标的函数，记为
V V x1，y1，z1， ，xn，yn，zn
y A a cosj1 yB a cosj1 b cosj 2 xB a sin j1 b sin j 2
代入广义力表达式，可得
a
b
Q1 ( FA FB )a sin j1 Fa cos j1 Q2 FBb sin j 2 Fb cos j 2
此时虚功方程中的各力投影都可以写成势能V表 达的形式，即
V V V Fxi ， Fyi ， Fzi xi yi zi
WF ( Fxixi Fyiyi Fzi zi )
V V V ( xi yi zi ) V xi yi zi