功、功率与动能定理(解析版)

构建知识网络：
考情分析：
功和功率、动能和动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律是力学的重点，也是高考考查的重点，常以选择题、计算题的形式出现，考查常与生产生活实际联系紧密，题目的综合性较强。

复习中要特别注意功和功率的计算，动能定理、机械能守恒定律的应用以及与平抛运动、圆周运动知识的综合应用
重点知识梳理： 一、功
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的力. (2)物体在力的方向上发生的位移. 2.功的物理意义 功是能量转化的量度. 3.公式 W ＝Fl cos_α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移. (2)该公式只适用于恒力做功. 4.功的正负
(1)当0≤α<π
2
时，W >0，力对物体做正功.
(2)当π
2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功.
(3)当α＝π
2时，W ＝0，力对物体不做功.
通晓两类力做功特点
(1)重力、弹簧弹力和电场力都属于“保守力”，做功均与路径无关，仅由作用对象的初、末位置(即位移)决定。

(2)摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关。

二、功率
1.物理意义：描述力对物体做功的快慢.
2.公式：
(1)P ＝W
t ，P 为时间t 内的物体做功的快慢.
(2)P ＝Fv
①v 为平均速度，则P 为平均功率. ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率. 3.对公式P ＝Fv 的几点认识：
(1)公式P ＝Fv 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线上的情况. (2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值.
(3)当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解. 4.额定功率：机械正常工作时的最大功率.
5.实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率. 三、动能
1.定义：物体由于运动而具有的能.
2.公式：E k ＝1
2
mv 2.
3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关.
4.单位：焦耳，1J ＝1N·m ＝1kg·m 2/s 2.
5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性.
6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12mv 22－1
2mv 12.
四、动能定理
1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.
2.表达式：(1)W ＝ΔE k . (2)W ＝E k2－E k1. (3)W ＝12mv 22－1
2mv 12.
3.物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度.
4.适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用. 【名师提醒】
一对平衡力做功绝对值肯定相等；一对相互作用力做功的绝对值不一定相等，可以同为正或同为负，也可以一个做功一个不做功，可以一正一负绝对值不一定相等---因为相互作用力作用在不同的物体上，不同的物体位移不一定相等。

典型例题剖析：
考点一：功和功率的理解与计算
【典型例题1】一物块放在水平地面上，受到水平推力F 的作用，力F 与时间t 的关系如图甲所示，物块的运动速度v 与时间t 的关系如图乙所示，10 s 后的v -t 图像没有画出，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )
A ．物块滑动时受到的摩擦力大小是6 N
B ．物块的质量为1 kg
C ．物块在0～10 s 内克服摩擦力做功为50 J
D ．物块在10～15 s 内的位移为6.25 m 【答案】 D
【变式训练1】(多选)(2017·淮安模拟)如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手。

设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小F 阻不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力做功为－mgL
D ．空气阻力做功为－1
2F 阻πL
【答案】 ABD
【解析】 摆球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B 正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F 阻·1
2
πL ，C 错误，D 正确。

【变式训练2】 (多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度
为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A.1
2
Mv 2 B ．Mv 2 C.1
2
μMgl D ．μMgl 【答案】 AC
【变式训练3】(2017·常州检测)质量为2 kg 的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3 m/s ，则其末速度为( )
A ．5 m/s B.23 m/s C. 5 m/s D.35 m/s 【答案】 B
【解析】 F -x 图像与x 轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知：W ＝(2×2＋4×4－3×2) J ＝14 J ，根据动能定理得：W ＝12mv 2－1
2
mv 02，解得：v ＝23 m/s ，故B 正确。

【典型例题2】(2017·盐城模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的1
4光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨
道半径为R ，圆弧底端切线水平。

小物块乙从高为R 的光滑斜面顶端由静止滑下。

下列判断正确的是( )
A ．两物块到达底端时速度相同
B ．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C ．两物块到达底端时动能相同
D ．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率 【答案】 D
【变式训练4】 (2017·泰州模拟)把A 、B 两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度v 0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．两小球落地时速度相同
B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C ．从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同
D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 【答案】 C
【名师提醒】 1.功的计算
力的特点 计算方法 恒力的功
单个恒力
W ＝Fl cos α
合力为恒力
1.先求合力，再求W ＝F 合
l
2.W ＝W 1＋W 2＋…
变力的功
大小恒定，且方向始终沿轨迹切线方向（耗散力）
力的大小跟路程的乘积 力与位移成线性变化（随位移均匀变化的力）
W ＝F l cos θ（平均力） 已知F －l 图象 功的大小等于“面积” 一般变力
动能定理
2.功率的计算
(1)P ＝W
t
，适用于计算平均功率；
(2)P ＝Fv cos θ，若v 为瞬时速度，P 为瞬时功率，若v 为平均速度，P 为平均功率. 考点二：机车启动问题
【典型例题3】(2017·衡水月考)如图甲所示，在水平路段AB 上有一质量为2×103 kg 的汽车(可视为质
点)，正以10 m/s 的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC 较粗糙，汽车通过整个ABC 路段的v -t 图像如图乙所示(在t ＝15 s 处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW 不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。

求：
(1)汽车在AB 路段上运动时所受阻力f 1的大小。

(2)汽车刚好开过B 点时加速度a 的大小。

(3)BC 路段的长度。

【答案】 (1)2 000 N (2)1 m/s 2 (3)68.75 m
【变式训练5】一汽车在平直公路上行驶。

从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图7所示。

假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变。

下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )
【答案】 A
【解析】 由P -t 图像知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率P 2行驶。

设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝F －f
m 知a 减小，又因速度不可能突变，所以
选项B 、C 、D 错误，选项A 正确。

【名师提醒】
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P -t 图像和v -t 图像
O A 段
过程分析
v ↑⇒F ＝P
v ↓⇒a ＝F －F 阻m ↓
a ＝F －F 阻
m
不变⇒F 不变⇒v ↑P ＝Fv ↑直
到P 额＝Fv 1
运动性质
加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1
a
AB 段 过程分析 F ＝F 阻⇒a ＝0⇒v m ＝P
F 阻
v ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －F 阻
m ↓
运动性质
以v m 匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC 段 无
F ＝F 阻⇒a ＝0⇒以v m ＝
P 额
F 阻
匀速运动 2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P
F 阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F <v m ＝P
F 阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F 阻x ＝ΔE k ，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

考点三：动能定理的应用
【典型例题4】我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。

如图所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m/s 2匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m 。

为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧。

助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2。

(1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大。

【答案】：(1)144 N (2)12.5 m
【变式训练6】(多选)(2017·齐鲁名校协作体联考)如图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x 与斜面倾角θ的关系，将某一物体沿足够长的斜面每次以不变的初速率v 0向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x 与斜面倾角θ的关系如图乙所示，g 取10 m/s 2，根据图像可求出(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A ．物体的初速率v 0＝3 m/s
B ．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75
C ．取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的位移x 的最小值x min ＝1.44 m
D ．当某次θ＝30°时，物体达到最大位移后将沿斜面下滑 【答案】 BC
【解析】 由题图乙可知，当倾角θ＝0时，位移为2.40 m ，而当倾角为90°时，位移为1.80 m ，则由竖直上抛运动规律可得v 0＝2gh ＝2×10×1.80 m/s ＝6 m/s ，故A 错误；当倾角为0时，由动能定理可得－μmgx ＝0－12mv 02，解得μ＝0.75，故B 正确；取不同的倾角θ，由动能定理得－mgx sin θ－μmgx cos θ＝0－12mv 02，
解得x ＝v 022g sin θ＋μcos θ＝362×10×⎝⎛⎭⎫sin θ＋34cos θ m ＝36
25×sin θ＋α m ，当θ＋α＝90°时位移最小，x min
＝1.44 m ，故C 正确；若θ＝30°时，重力沿斜面向下的分力为mg sin 30°＝12mg ，摩擦力F f ＝μmg cos 30°＝
33
8mg ，又因最大静摩擦力等于滑动摩擦力，故物体达到最高点后，不会沿斜面下滑，故D 错误。

【名师提醒】
1.应用动能定理的“一过程、两状态”
（1）“一过程”即明确研究过程，确定该过程中研究对象的受力情况和位置变化，并写出力对研究对象所做的总功。

（2）“两状态”即明确研究对象的初、末状态，写出初、末动能。

（3）“一过程”与“两状态”是对应的、统一的，即“过程”是“两状态”之间的过程，“两状态”是“一过程”的初、末状态。

2.应用动能定理解题的一般思路
专题五课时跟踪训练
一、单项选择题
1.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。

若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块经B、C两点的动能分别为E k B和E k C，图中AB＝BC，则()
A．W1＞W2B．W1＜W2
C．W1＝W2D．无法确定W1和W2的大小关系
【答案】A
【解析】轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，Δl AB＞Δl BC，故W1＞W2，A正确。

2. 一木块静止在光滑的水平面上，将一个大小恒为F的水平拉力作用在该木块上，经过位移x时，拉力的瞬时功率为P；若将一个大小恒为2F的水平拉力作用在该木块上，使该木块由静止开始运动，经过位移x时，拉力的瞬时功率是()
A.2P B．2P C．22P D．4P
【答案】C
3. 如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m 的滑块距挡板P 的距离为x 0，滑块以初速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。

若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，则滑块经过的总路程是( )
A.1μ⎝⎛⎭⎫v 022g cos θ＋x 0tan θ
B.1μ⎝⎛⎭⎫v 022g sin θ＋x 0tan θ
C.2μ⎝⎛⎭⎫v 022g cos θ＋x 0tan θ
D.1μ⎝⎛⎭⎫v 022g cos θ＋x 0cot θ 【答案】A
【解析】 滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x ，对滑块运动的全程应用动能定理：mgx 0sin θ－μmgx cos θ＝0－12mv 02
，解得x ＝1μ
⎝⎛⎭⎫v 02
2g cos θ＋x 0tan θ，选项A 正确。

4.(2017·淮安高三期中)如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在拉力F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A ．物体加速度大小为2 m/s 2
B ．F 的大小为21 N
C ．4 s 末F 的功率为42 W
D ．4 s 内F 的平均功率为42 W 【答案】 C
【解析】 由题图乙可知，v -t 图像的斜率表示物体加速度的大小，即a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 均错误；4 s 末F 的作用点的速度大小为v F ＝2v 物＝4 m/s ，故4 s 末F 的功率为P ＝Fv F ＝42 W ，C 正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝Fl ＝84 J ，故平均功率P ＝W
t
＝21 W ，D 错误。

5.(2017·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数1
v 的关系图像如图所示。

若已知汽车的质量，则根据图像所给的信息，不能求出的物理
量是( )
A．汽车的功率B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力D．汽车运动到最大速度所需的时间
【答案】D
二、多项选择题
6. 我国高铁技术处于世界领先水平。

和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。

假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。

某列车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组()
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
【答案】BD
7.如图所示，光滑水平地面上固定一带有光滑定滑轮的竖直杆，用轻绳一端系着小滑块，另一端绕过定滑轮，现用恒力F1水平向左拉滑块的同时，用恒力F2拉右侧绳端，使滑块从A点由静止开始向右运动，经过B点后到达C点，若AB＝BC，则滑块()
A．从A点至B点F2做的功等于从B点至C点F2做的功
B．从A点至B点F2做的功小于从B点至C点F2做的功
C．从A点至C点F2做的功可能等于滑块克服F1做的功
D．从A点至C点F2做的功可能大于滑块克服F1做的功
【答案】CD
【解析】由题意知，滑块从A点至B点时右侧绳端的位移大于滑块从B点至C点时右侧绳端的位移，F2是恒力，则滑块从A点至B点F2做的功大于从B点至C点F2做的功，A、B错误；滑块从A点至C点过程中，可能先加速后减速，滑块在C点速率大于或等于零，根据动能定理得知，滑块从A点运动到C点过程中动能的变化量大于或等于零，总功大于或等于零，则从A点至C点F2做的功大于或等于滑块克服F1做的功，C、D正确。

8.(2017·南京七校调研)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。

通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。

取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是()
A．物体的质量m＝0.5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4
C．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s内推力F做功的平均功率P＝3 W
【答案】ABC
9. 在某一粗糙的水平面上，一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像。

已知重力加速度g＝10 m/s2。

根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有()
A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功
C．物体做匀速运动时的速度D．物体运动的时间
【答案】ABC
【解析】物体做匀速直线运动时，拉力F与滑动摩擦力f相等，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝
F
mg＝0.35，A正确；减速过程由动能定理得W F＋W f＝0－1
2mv
2，根据F-s图像中图线与坐标轴围成的面积可
以估算力F 做的功W F ，而W f ＝－μmgs ，由此可求得合外力对物体所做的功，及物体做匀速运动时的速度v ，
B 、
C 正确；因为物体做变加速运动，所以运动时间无法求出，
D 错误。

10.如图所示，在倾角为θ的斜面上，轻质弹簧一端与斜面底端固定，另一端与质量为M 的平板A 连接，一个质量为m 的物体B 靠在平板的右侧，A 、B 与斜面的动摩擦因数均为μ。

开始时用手按住物体B 使弹簧处于压缩状态，现放手，使A 和B 一起沿斜面向上运动距离L 时，A 和B 达到最大速度v 。

则以下说法正确的是( )
A ．A 和
B 达到最大速度v 时，弹簧是自然长度
B ．若运动过程中A 和B 能够分离，则A 和B 恰好分离时，二者加速度大小均为g (sin θ＋μcos θ)
C ．从释放到A 和B 达到最大速度v 的过程中，弹簧对A 所做的功等于12
Mv 2＋MgL sin θ＋μMgL cos θ D ．从释放到A 和B 达到最大速度v 的过程中，B 受到的合力对它做的功等于12
mv 2 【答案】 BD
三、计算题
11.(2017·常州模拟)高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图像。

现利用这架照相机对MD-2 000家用汽车的加速性能进行研究，如图为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为4 m ，照相机每两次曝光的时间间隔为2.0 s 。

已知该汽车的质量为1 000 kg ，额定功率为90 kW ，汽车运动过程中所受的阻力始终为1 500 N 。

(1)试利用图示，求该汽车的加速度。

(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，匀加速运动状态最多能保持多长时间。

(3)汽车所能达到的最大速度是多大。

(4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过3 000 N ，求汽车运动2 400 m 所用的最短时间(汽车已经达到最大速度)。

【答案】：(1)1.5 m/s 2 (2)20 s (3)60 m/s (4)70 s
【解析】：(1)由题图可得汽车在第1个2.0 s 时间内的位移x 1＝9 m ，第2个2.0 s 时间内的位移x 2＝15 m
汽车的加速度a ＝Δx T
2＝1.5 m/s 2。

(4)由(1)、(2)知匀加速运动的时间t 1＝20 s ，运动的距离x 1′＝v 2t 1＝302
×20 m ＝300 m 所以，后阶段以恒定功率运动的距离x 2′＝(2 400－300)m ＝2 100 m
对后阶段以恒定功率运动，有：P 额t 2－F f x 2′＝12
m (v m 2－v 2) 解得t 2＝50 s
所以最短时间为t 总＝t 1＋t 2＝(20＋50)s ＝70 s 。

12.(2017·泰州模拟)如图所示，倾斜轨道AB 的倾角为37°，CD 、EF 轨道水平，AB 与CD 通过光滑圆弧管道BC 连接，CD 右端与竖直光滑圆周轨道相连。

小球可以从D 进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E 滑出该轨道进入EF 水平轨道。

小球由静止从A 点释放，已知AB 长为5R ，CD 长为R ，圆弧管道BC 入口B 与出口C 的高度差为1.8R ，小球与倾斜轨道AB 及水平轨道CD 、EF 的动摩擦因数均为0.5，重力加速度为g ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求：(在运算中，根号中的数值无需算出)
(1)小球滑到斜面底端C 时速度的大小。

(2)小球刚到C 时对管道的作用力。

(3)要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R ′应该满足什么条件？
【答案】： (1) 28gR 5
(2)6.6mg ，方向竖直向下 (3)R ′≤0.92R 或R ′≥2.3R 【解析】：(1)设小球到达C 点时速度为v ，小球从A 运动至C 过程，由动能定理有：
mg (5R sin 37°＋1.8R )－μmg cos 37°·5R ＝12
mv C 2 解得：v C ＝
28gR 5。

(3)要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF 轨道，则小球在最高点应满足：m v P 2
R ′
≥mg 小球从C 点到圆周轨道的最高点过程，由动能定理，有：－μmgR －mg ·2R ′＝12mv P 2－12
mv C 2 可得：R ′≤2325
R ＝0.92R
情况二：小球上滑至四分之一圆周轨道的最高点时，速度减为零，然后滑回D 。

则由动能定理有：
－μmgR －mg ·R ′＝0－12
mv C 2 解得：R ′≥2.3R 所以要使小球不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R ′应该满足R ′≤0.92R 或R ′≥2.3R 。