四川省成都市五校2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含答案

都市五校联考高2014级第四学期期中试题
数学（文科）
(全卷满分：150分 完成时间：120分钟)
命题人：胡泽余 审题人：陈晓刚、张尧、谢祥高
注意事项:
选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

其它题答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共有12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）
.1命题“1sin ,≤∈∀x R x "的否定是(
▲ ）
1sin ,.00≤∈∃x R x A 1sin ,.00>∈∃x R x B
1sin ,.>∈∀x R x C 1
sin ,.00≥∈∃x R x D
.2抛物线2
4x
y =的准线方程是
1.=x A 1.-=x B .C 161=
y .D 16
1
-=y .3在同一坐标系中，将曲线x y 2sin 3=变为曲线''
sin x y
=的伸缩变换是
（ ▲ ）
⎪
⎩
⎪⎨⎧=='
'
312,y y x x A ⎪⎩
⎪
⎨⎧==y
y x
x B 312,'' ⎪⎩
⎪⎨⎧=='
'32,y y x
x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x D 32,''
.4 已知直线b a 、是平面α内的两条直线，l 是空间中一条直线。

则
“b l a l ⊥⊥,”是
“α⊥l ”的（ ▲ )
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C
充要条件
.D
既不充分也不必要
条件
.5
在极坐标系中,点)4
,
2(
π
到直线2
3
)3
sin(-
=-
π
θρ的距离是（ ▲ )
1.A 21.
B 31.
C 4
1.D .6已知命题:p 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真
命题；
命题:q ”“95<<k 是方程15
92
2=-+-k y k x 表示椭圆的充要条件.则下列命
题为真命
题的是（ ▲ ）
q p A ∨⌝.q p B ⌝∧⌝.q p C ⌝∧.q p D ∧.
.7 已知21F F 、是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点，P 是椭圆上一点，且
6
F PF ,21212π
=
∠⊥F F PF 。

则椭圆的离心率是（ ▲ )
22.
A 33.
B 21.
C 5
5
.D .8与⊙25)2(:221=++y x C 内切且与⊙1)2(:222=-+y x C 外切的动圆圆心M 的
轨
迹方程是（ ▲ )
)0(159.22≠=+y y x A )0159.22≠=+x x y B （
)3(15
9.2
2≠=+x y x C )3(159.22≠=+y x y D .9设函数x a x x f ln )()(+=，已知曲线)(x f y =在点))1(1f ，（处的切线与直线 032=-+y x 平行，则a 的值为（ ▲ ）
3.A 3.-B 2.C 2.-D
.10已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O
处，极轴与x 轴的正半轴
重合.曲线C 的参 数方程为
ϕϕ
ϕ
(sin 2cos 3⎩⎨
⎧==y x 为参数)，直线
l
的极坐标方程是
15)sin 2(cos =+θθρ。

若
点Q P 、分别是曲线C 和直线l 上的动点，则Q P 、两点之间距离的最小值是( ▲ ）
10.A 32.B .C 5221.D .11
已知函数
,
1
4
1)()21()(342t x x x g t x f x x ++++=-=++，若R x
∈∀1
,
)1,(2--∞∈∃x ，使得)()(21x g x f ≤,则实数t 的取值范围是（
▲ ）
]0,(.-∞A ]2,0(.B ]2,(.--∞C ),3[.+∞D
.12 已知，焦点在x 轴上的椭圆的上下顶点分别为1
2
B B 、，左焦点和右
顶点分别为1
A F 、。

经过点2
B 的直线l 与以椭圆的中心为顶点、2
B 为焦点的抛物线交于B A 、两点，且点
2B 恰为线段AB 的三等分点,直线1
l 过点1
B 且垂直于y 轴，线段AB 的中点M 到直线1
l 的距离为4
9。

若
212B A FB •321-=，则椭圆的标准方程是(
▲ ）
14.22=+y x A 124.22=+y x B 146.22=+y x C 13
.22=+y x D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分,共20分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．）
.13 将曲线的参数方程t t y t x (23213⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+=为参数)化为普通方程为▲. .14 已知函数x e x f x sin )(=，则=')2
(π
f ▲。

.
15已知命题:p 函数
()
16
22
2
log
)(+-=ax x
x f 存在最小值；命题:q 关于x 的方程
x a x )22(22--73-+a 0=有实数根.若命题q p ∧为真命题，则实数a 的取值
范围是▲。

.16已知直线l 交抛物线x y 32=于B A 、两点，且O OB OA （0=•是坐标原点）
，设l
交x 轴于点F ,F F 、'分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点。

若双
曲
线的右支上存在一点P ，使得||2||PF F P ='，则a 的取值范围是▲。

三、
解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）已知命题
1
|2|:≥-m x x p 满足实数；命题
02
31;>+-x x
x q 满足
实数。

（Ⅰ）若1=m 时，q p ∧为真,求实数x 的取值范围；
(Ⅱ） 若p ⌝是q 的的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

18.(本小题满分12
分）已知命题p ：方程18
42
2=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上
的双曲线；命题q ：实数t 使函数)322(log )(22
++-=t tx x
x f 的定义域是R ．
（Ⅰ）若2t =时,求命题p 中的双曲线的离心率及渐近线方程；
（Ⅱ）求命题p ⌝是命题q ⌝的什么条件（充分不必要,必要不充分，充要,既不充分又不必要中的一种)，并说明理由．
19。

（本小题满分12分)已知函数())(5323
R x x x
x f ∈-+=的图象为曲线C .
（Ⅰ）当[]1,2-∈x 时，求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010
321⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=并且与曲线
C 相切的直线方
程。

20.
（本小题满分12分）
已知动圆过定点)1,0(F ，且与定直线1-=y 相切。

(Ⅰ)求动圆圆心M 所在曲线C 的方程;
（Ⅱ）直线l 经过曲线C 上的点),(0
y x P ，且与曲线C 在点P 的切线垂直，
21，（本小题满分12分)
椭圆()01;22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，右顶点为A ，上
顶点为B ,坐标系原点O 到直线AB 的距离为7
21
2，椭圆的离心率是21。

（Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ）如果动直线n kx y l +=;与椭圆C 有且只有一个公共点，点2
1
,F F 在直
线l 上的正投影分别是Q P ,，求四边形2
1
PQF F 面积S 的取值范围。

22.（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为04=+-y x 。

以原点o 为极点,以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为
064cos 242=+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
--πθρρ.
（1）求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程;
(2）若点P曲线C上任意一点,P点的直角坐标为()y x,,求y
+的最
x2
大值和最小值．
高二下期半期考试题数学（文)参考答案
一、
选择题
DA CCDBC
BDBBB
二、
填空题
0333.13=--y x ; 2.14π
e ；
]3,4(.15-；
)3,1[.16。

17。

(本题满分12分)已知命题1|2|:≥-m x x p 满足实数；命题02
31;>+-x x
x q 满足实数。

(Ⅰ）若1=m 时，q p ∧为真，求实数x 的取值范围；
（Ⅱ） 若p ⌝是q 的的充分不必要条件,求实数m 的取值范围。

解
;
（
Ⅰ
）
q
p ∧ 为真,
q
p ,∴都为
真。

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1分
又
1
=m ，.10,112≥≤≥-∴x x x p 或即真；.。

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....2分
,0)2)(31(,02
3-1>+-∴>+x x x x q 真；即31
2<<-x 。

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......。

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.4分
由02-3121
0≤<⎪⎩
⎪⎨⎧<<-≥≤x x x x 得或
](0,2-，的取值范围为实数x ∴。

..。

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.....。

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..6分
(Ⅱ) 1|2|:≥-m x x p 满足实数，12;<-⌝∴m x p ，即2
12
1+<<-m x m
令
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21,21m m A 。

..。

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.7分
312;<
<-x q ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=31,2B .。

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.8分
的充分非必要条件
是q P ⌝ ，
A
是
B
的真子
集.。

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.9分
不能同时取等）(312122
1
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-∴m m ,得
3
1
3-≤≤-m
∴
实数
m
的取值范围是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,3。

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..12分
18。

（本小题满分12
分）已知命题p :方程18
42
2=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上
的双曲线;命题q ：实数t 使函数)322(log )(22
++-=t tx x
x f 的定义域是R ．
(Ⅰ）若2t =时，求命题p 中的双曲线的离心率及渐近线方程；
（Ⅱ）求命题p ⌝是命题q ⌝的什么条件(充分不必要，必要不充分,充要,既不充分又不必要中的一种)，并说明理由． 解; （Ⅰ)当2t =时，双曲线方程为16
22
2=-x y ，。

.。

(1)
得22
=a
，62=b ，82=c ，故2=a ，22=c ，
2==
a
c
e ．。

....。

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4分
其渐近线方程为；x y 3
3
±=.。

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6分
（Ⅱ)命题p 成立条件为⎩⎨
⎧<->-0
804t t 得4<t ， 4;≥⌝t p ，令[)+∞=,4A 。

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..。

8分
命题q 成立条件为恒成立。

对于R x t tx x
∈>++-03222
03202<--<∆∴t t 即
31<<-∴t
由此可得q ⌝：31≥-≤t t 或，令]()[∞+⋃-∞-=,31,B 。

.。

.。

.10分
A 是
B 的真子集
∴命题p ⌝是命题q ⌝的充分不必要条件。

.。

.。

....。

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..。

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12分
19.(本小题满分12分)已知函数())(5323
R x x x
x f ∈-+=的图象为曲线C 。

（Ⅰ）当[]1,2-∈x 时，求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010
321⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+
=并且与曲线C 相切的直线方程。

（Ⅱ）求垂直于直线:l 为参数）t t y t x (1010311010
321⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+
=并且与曲线C 相切的直线方
程。

解：
（Ⅰ）1,63)('2
-=+=x x x
x f 对称轴 。

....。

..。

.。

...2分
()分时，4...................9,3)(]1,2[max ''=-=-∈x f x f x m ix ∴
当
[]
1,2-∈x 时,过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围为
[]9,3-.。

.。

.。

.。

.6分
（Ⅱ）分方程可化为：
直线8........,.........0162=+-y x l
,
63'),,(2x x y b a p +=设切点
分切线斜率10.....................3632-=+=a a k
)
3,1(,3,1---=-=∴p b a 即
分所求切线方程为：12..........................063=++∴y x
20.(本题满分12分)已知动圆过定点)1,0(F ，且与定直线1-=y 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 所在曲线C 的方程;
（Ⅱ）直线l 经过曲线C 上的点),(0
y x P ,且与曲线C 在点P 的切线垂直,l
与曲线C 的另一个交点为Q ，当20=
x 时,求OPQ ∆的面积；
解。

(Ⅰ）由题知，点),(y x M 到定点)1,0(F 的距离等于它到定直线1-=y 的距离，所以点M 所在的曲线C 是以)1,0(F 为焦点，以1-=y 为准线的抛物线。

....。

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..。

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..。

2分
∴
曲
线
C
的方程
是:y x
42
=。

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4分 （
Ⅱ)由（1）有曲线
C :241x y =
,∴x y 21
'=。

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..5分
当
2
0=x 时，
)
2
12(，P ，曲线
C
在点
P
的切线的斜率是
2
2 ,。

.。

.。

...。

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...。

.6分
所以
直
线
l
的斜率2-=k 25
2-+
=∴x y l 的方程为：直线。

....。

..。

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...。

...。

7
分
设()
11,y x Q
联
立
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=241252x y x y 得方程
010242=-+x x 。

..。

...。

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.。

.8分
∴10,241010-=-=+x x x x
()6
6
43
10210=-+=x x x x PQ .。

.。

..。

.。

..。

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....。

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...。

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.。

10分
又点O 到直线l 的距离6
3
5=d 从
而可得
2215
=
∆OPQ S .。

.。

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12分 21，（本小题满分12分）
(Ⅰ）求椭圆C 的方程;
(Ⅱ）如果动直线n kx y l +=;与椭圆C 有且只有一个公共点，点2
1
,F F 在直
线l 上的正投影分别是Q P ,，求四边形2
1
PQF F 面积S 的取值范围.
解
；(Ⅰ）
23211,212
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴=a b e .。

...。

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..。

1分
又 坐标系原点O 到直线AB 的距离为7
21
2。

2
27
2122121b a ab +⨯=∴。

.。

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...。

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....2分
2224
3721223a a a +=∴
，2=a ,3=b
13
42
2=+y x 。

..。

.。

椭圆C 的方程为4分
（Ⅱ）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=134
2
2y x n
kx y C l 由有且只有一个公共点。

与椭圆直线
得01248)43(222
=-+++n knx x k
由0=∆ 得03422
=+-n k 。

.。

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...。

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...。

6
分
,
,21L Q F l P F ⊥⊥
当0≠k 时,在直角梯形2
1
PQF F 中其中位线长2
11k
n d
+=
直线P F 1
的方程为；01=++ky x
点()0,12
F 直线P F 1
的距离2
2
12k
d
+=
，
2
22221)1(3
42
122
1k k k n
d d S PQF F ++=+==∴。

.。

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.8分
令2
43k t +=，211
8128
2
++=++=t
t t t t S 又3>t ,由双勾函数知S 在3>t 上单调递减,320<<∴S 。

.。

...。

.。

.。

10分
当
=k 时,则
3
±=n ，
32=S 。

.。

...。

.。

..。

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..。

...。

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.。

.。

..11
分
综上所述;四边形
2
1PQF F 面积S 的取值范围为
](32,0.。

.。

...。

.。

.。

12
分
22。

（本小题满分10分) 在直角坐标系xoy 中,直线l 的方程为
04=+-y x 。

以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C 的极坐标方程为064cos 242
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--πθρρ。

(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程,曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ)若点P 曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为()y x ,,求y x 2+的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）直线l 的方程;04=+-y x
θρθρsin ,cos ==y x
04sin cos =+-∴θρθρ的极坐标方程为；l ..。

.。

.。

.。

..。

.。

3分
又曲线C 的极坐标方程；064cos 242
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--πθρρ
06sin 4cos 42=+--∴θρθρρ ,sin ,cos ,222θρθρρ==+=y x y x
曲线C 的直角坐标方程：
()()22222=-+-y x 。

.。

.....。

..。

6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 参数方程为()为参数θθ
θ
⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=sin 22cos 22y x 。

.。

.。

7分
∴y
x 2+＝(2＋错误!cos θ）+2(2＋错误!sin θ）
＝6＋错误!（cos θ＋2sin θ）
()ϕθ++=sin 106。

..。

.。

..。

.。

..。

..。

..。

.。

.。

.。

8分
当1)sin(-=+ϕθ时，
y x 2+有最小值为106-。

.。

..。

.。

9分
当()1sin =+ϕθ时,y x 2+有最大值为106+。

...。

.。

.。

..。

10分。