2019_2020学年高中数学第3章不等式3.1不等关系课件北师大版必修5
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第26页
题型三 比较大小 例 3 (1)比较 x2＋3 与 3x 的大小，其中 x∈R. (2)已知 x>3，比较 x3＋3 与 3x2＋x 的大小．
第27页
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝(x－23)2＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x.
∵a>0，令(a＋1)(a－1)>0，得 a>1.
∴当 a>1 时，（a＋1）a（a－1）>0，此时 a>1a；
当 a＝1 时，（a＋1）a（a－1）＝0，此时 a＝1a；
当
0<a<1
时，（a＋1）a（a－1）<0，此时
1 a<a.
综上，当 0<a<1 时，a<1a；当 a＝1 时，a＝1a；当 a>1 时，a>1a.
第28页
探究 3 (1)作差法比较 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 a－b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这 里无关紧要)．
(2)确定差的符号往往有两种方法(类型)： ①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式(如(1)题)． ②将差式化成几个因式乘积的形式(如(2)题)． (3)作差比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论．
答案 x≥1 550
第47页
5．某市政府准备投资 1 800 万元兴办一所中学，经调查，班 级数量以 20 到 30 个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为 28 万元与 58 万元，该学校的规模(初、高中班级数量 x，y)所满足 的条件是________．
第48页
答案
20≤x＋y≤30， 28x＋58y≤1 800， x，y∈N*
第44页
2．下列不等式中不成立的是( )
A．10≤20
B．10<20
C．10≤10
D．10<10
答案 D
第45页
3．若 A＝x2－2x，B＝－6x－4，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．A＝B
D．与 x 的值有关
答案 B
第46页
4．用不等式表示：某地规定本地最低工资标准 x 不低于 1 550 元，________．
第17页
【解析】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆，y 辆，
则
40x＋90y≤500， 4x＋9y≤50，
0<x≤5， 0<y≤4，
即00<<xy≤≤54，，
x，y∈N*，
x，y∈N*.
第18页
题型二 不等式性质
例 2 对于实数 a，b，c，有下列结论：
①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b；
第11页
【解析】 由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温 度，即 4.5t<28 000.
【答案】 4.5t<28 000
第12页
(2)某种植物适宜生长的温度为 18～20 ℃的山区，已知山区 海拔每升高 100 m，气温下降 0.55 ℃，现测得山脚下的平均气温 为 22 ℃，则该植物种在山区的高度为 x m 应满足的不等式为 ________．
答：不会．
第7页
4．如果 a>b，那么 ac>bc 成立吗？ 答：不成立．
第8页
由上述问题的研究 ，你能得出相应的数学结论吗？
第9页
授人以渔
第10页
题型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 (1)雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高，设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________．
第33页
探究 4 含参数的比较两个数(式)大小的问题，往往要用到 分类讨论的思想，这种思想贯穿于数学的始终，应在平时的教学 中有意识地加以培养．
第34页
●思考题 4 (2015·潍坊一中期末)设 x∈(0，π)，试比较 2cosx 与 sin2x 的大小．
第35页
【解析】 2cosx－sin2x＝2cosx－2cosx·sinx＝2cosx·(1－ sinx)，
第15页
(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题： 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性 质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之 间不能用不等式(组)来表示．
第16页
●思考题 1 某货运公司由于发展的需要需购进一批汽车， 计划使用不超过 500 万元的资金购买单价分别为 40 万元，90 万 元的 A 型汽车和 B 型汽车．根据需要，A 型汽车至多买 5 辆，B 型汽车至多买 4 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，又 c2>0，∴a>b，∴②是正确的． ③ aa<<b0<0⇒a2>ab， ab<<b0⇒ab>b2， aab2>>abb2⇒a2>ab>b2.故③正确．
第21页
④a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0.∴0<c－a<c－b. 两边同乘以（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又 a>b>0，∴c－a a>c－b b.故④正确．
第31页
例 4 已知 a>0，试比较 a 与1a的大小．
【思路分析】 由于 a 的值不确定，（a＋1）a（a－1）是正还
是负由 a 的取值范围确定，因此需要对 a 进行讨论．令
（a＋1）（a－1）
a
>0
是确认分类标准的关键，是寻找分类标准的常
用方法．
第32页
【解析】 a－1a＝a2－a 1＝（a＋1）a（a－1）.
③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； ④若 c>a>b>0，则c－a a>c－b b；
⑤若 a>b，1a>b1，则 a>0，b<0.
其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
第19页
【思路分析】 判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质， 应注意条件与结论之间的联系．
第20页
【解析】 ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
第22页
⑤由已知条件知：a>b⇒a－b>0， 1a>b1⇒1a－b1>0⇒b－aba>0. ∵a－b>0，∴b－a<0.∴ab<0. 又 a>b，∴a>0，b<0.故⑤正确． 综上可知，命题②，③，④，⑤都正确． 【答案】 C
第23页
探究 2 通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性 质，更好地掌握各性质的条件．在各性质中，乘法性质的应用最 易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该 数是正数、负数或零，否则结论不确定．
第三章 不 等 式
第1页
§1 不 等 关 系
第2页
要点 不等式性质 (1)对称性：a>b⇔bi < a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a__>__c； (3)可加性：①a>b⇔a＋c__>__b＋c； ② ac>>bd⇒a＋c__>__b＋d；
第3页
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac__>__bc； ②a>b，c<0⇒ac__<__bc； ③ ac>>bd>>00⇒ac__>__bd； (5)可方性：①a>b>0⇒an__>__bn>0(n∈N*，n>1)； ②a>b>0⇒n a__>__n b>0(n∈N*，n>1)．
第37页
【解析】 方法一：1a－b1＝b－aba，而 b－a＜0， 故当 ab＜0，即 a＞0＞b 时，b－aba＞0，∴1a＞1b； 当 ab＞0，即 a＞b＞0 或 b<a<0 时，b－aba＜0，∴1a＜1b.
第38页
方法二：①若 a＞b＞0，则将此不等式两边同除以 ab 得：b1＞ 1a；
第13页
【解析】 因为山区海拔每升高 100 m，气温下降 0.55 ℃， 所以当该植物适宜的种植高度为 x m 时，温度为 22－01.5050x. 又因为该植物适宜的种植温度为 18～20 ℃，所以 18≤22－ 01.5050x≤20. 【答案】 18≤22－01.5050x≤20
第14页
探究 1 (1)将不等关系表示成不等式的思路： ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示．
当 0<x<π2 时，cosx>0，1－sinx>0，∴2cosx>sin2x； π
当 x＝ 2 时，cosx＝0，∴2cosx＝sin2x； 当π2 <x<π时，cosx<0，1－sinx>0.∴2cosx<sin2x.
第36页
题型四 不等式性质的应用 例 5 在不等式以及后续的学习中，经常会遇到有关不等式 的一个重要问题：若 a>b(ab≠0)是否有1a<b1？(讲清此类问题可以 深刻理解不等式的可乘性．)
又如命题：若 ab＞0，且 a＞b，则1a＜1b.
第40页
即若 a，b 同号，且 a＞b，其倒数的不等号方向与原不等式 的方向(不等号)相反，这一结论在后面的学习中有着广泛的应用， 不注意条件 a，b 同号也是不等式问题中常见错误之一．
第41页
●思考题 5 已知 a>b>0，c<d<0，求证： b < a . a－c b－d
【证明】 ∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d.∵a>b>0，∴a－b c<b－a d.
第42页
课后巩固
第43页
1．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b>0，则 a2>ab>b2. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
另外，若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理 过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一 反例．
第24页
●思考题 2 (2015 年西汉中市高二期中测试)若 x>y，m>n，
下列不等式正确的是( )
A．x－m>y－n
B．xm>yn
xy C.n>m
D．m－y>n－x
第25页
【解析】 ∵x>y，∴－y>－x. 又∵m>n，∴m－y>n－x. 【答案】 D
第29页
●思考题 3 (1)已知 x<1，比较 x2＋2 与 3x 的大小． (2)已知 a∈R，比较 a2＋a＋1 与 2a 的大小．
第30页
【解析】 (1)(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)， ∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0. 即(x2＋2)－3x>0，∴x2＋2>3x. (2)(a2＋a＋1)－2a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋43>0， ∴a2＋a＋1>2a.
第51页
第49页
6．已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小．
第50页
解析
(
a＋ b
ba) a
a)
＝a－b－a－b＝（a－b）（ a－ b）
ba
ab
（ ＝
a＋
b）（
a－
b）2，
ab
（ ∵a，b 为正实数，∴
a＋
b）（ ab
a－
b）2≥0.
∴ a ＋ b ≥ a＋ b. ba
②若 b＜a＜0，则将不等式两边同除以 ab 得b1>1a； ③若 a＞0，b＜0，则1a＞b1. 综上得：a＞b⇒1a1a＞＜b1b1，，（（aa，，bb异同号号））
第39页
探究 5 (1)本题目的是要学生明确不能冒然由 a＞b⇒1a＜b1， 这是学生容易出错的地方．
(2)本题是不等式性质 4 的一个典型应用．本例可作为今后有 关不等式问题的一个非常重要的定理，请读者引起足够的重视．
第4页
1．对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种方式叙述 吗？
答：乙的年龄小于甲的年龄．
第5页
2．如果甲的个子比乙的个子高，乙的个子比丙的个子高， 你能得出甲的个子与丙的个子哪一个高吗？
答：能．甲的个子高．
第6页
3．不平衡的天平两边同时加上相等的砝码或同时将两边的 砝码加倍或减半会改变天平的状态吗？
题型三 比较大小 例 3 (1)比较 x2＋3 与 3x 的大小，其中 x∈R. (2)已知 x>3，比较 x3＋3 与 3x2＋x 的大小．
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【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝(x－23)2＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x.
∵a>0，令(a＋1)(a－1)>0，得 a>1.
∴当 a>1 时，（a＋1）a（a－1）>0，此时 a>1a；
当 a＝1 时，（a＋1）a（a－1）＝0，此时 a＝1a；
当
0<a<1
时，（a＋1）a（a－1）<0，此时
1 a<a.
综上，当 0<a<1 时，a<1a；当 a＝1 时，a＝1a；当 a>1 时，a>1a.
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探究 3 (1)作差法比较 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 a－b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这 里无关紧要)．
(2)确定差的符号往往有两种方法(类型)： ①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式(如(1)题)． ②将差式化成几个因式乘积的形式(如(2)题)． (3)作差比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论．
答案 x≥1 550
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5．某市政府准备投资 1 800 万元兴办一所中学，经调查，班 级数量以 20 到 30 个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为 28 万元与 58 万元，该学校的规模(初、高中班级数量 x，y)所满足 的条件是________．
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答案
20≤x＋y≤30， 28x＋58y≤1 800， x，y∈N*
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2．下列不等式中不成立的是( )
A．10≤20
B．10<20
C．10≤10
D．10<10
答案 D
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3．若 A＝x2－2x，B＝－6x－4，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．A＝B
D．与 x 的值有关
答案 B
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4．用不等式表示：某地规定本地最低工资标准 x 不低于 1 550 元，________．
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【解析】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆，y 辆，
则
40x＋90y≤500， 4x＋9y≤50，
0<x≤5， 0<y≤4，
即00<<xy≤≤54，，
x，y∈N*，
x，y∈N*.
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题型二 不等式性质
例 2 对于实数 a，b，c，有下列结论：
①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b；
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【解析】 由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温 度，即 4.5t<28 000.
【答案】 4.5t<28 000
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(2)某种植物适宜生长的温度为 18～20 ℃的山区，已知山区 海拔每升高 100 m，气温下降 0.55 ℃，现测得山脚下的平均气温 为 22 ℃，则该植物种在山区的高度为 x m 应满足的不等式为 ________．
答：不会．
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4．如果 a>b，那么 ac>bc 成立吗？ 答：不成立．
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由上述问题的研究 ，你能得出相应的数学结论吗？
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授人以渔
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题型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 (1)雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高，设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________．
第33页
探究 4 含参数的比较两个数(式)大小的问题，往往要用到 分类讨论的思想，这种思想贯穿于数学的始终，应在平时的教学 中有意识地加以培养．
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●思考题 4 (2015·潍坊一中期末)设 x∈(0，π)，试比较 2cosx 与 sin2x 的大小．
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【解析】 2cosx－sin2x＝2cosx－2cosx·sinx＝2cosx·(1－ sinx)，
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(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题： 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性 质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之 间不能用不等式(组)来表示．
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●思考题 1 某货运公司由于发展的需要需购进一批汽车， 计划使用不超过 500 万元的资金购买单价分别为 40 万元，90 万 元的 A 型汽车和 B 型汽车．根据需要，A 型汽车至多买 5 辆，B 型汽车至多买 4 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，又 c2>0，∴a>b，∴②是正确的． ③ aa<<b0<0⇒a2>ab， ab<<b0⇒ab>b2， aab2>>abb2⇒a2>ab>b2.故③正确．
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④a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0.∴0<c－a<c－b. 两边同乘以（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又 a>b>0，∴c－a a>c－b b.故④正确．
第31页
例 4 已知 a>0，试比较 a 与1a的大小．
【思路分析】 由于 a 的值不确定，（a＋1）a（a－1）是正还
是负由 a 的取值范围确定，因此需要对 a 进行讨论．令
（a＋1）（a－1）
a
>0
是确认分类标准的关键，是寻找分类标准的常
用方法．
第32页
【解析】 a－1a＝a2－a 1＝（a＋1）a（a－1）.
③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； ④若 c>a>b>0，则c－a a>c－b b；
⑤若 a>b，1a>b1，则 a>0，b<0.
其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
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【思路分析】 判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质， 应注意条件与结论之间的联系．
第20页
【解析】 ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
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⑤由已知条件知：a>b⇒a－b>0， 1a>b1⇒1a－b1>0⇒b－aba>0. ∵a－b>0，∴b－a<0.∴ab<0. 又 a>b，∴a>0，b<0.故⑤正确． 综上可知，命题②，③，④，⑤都正确． 【答案】 C
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探究 2 通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性 质，更好地掌握各性质的条件．在各性质中，乘法性质的应用最 易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该 数是正数、负数或零，否则结论不确定．
第三章 不 等 式
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§1 不 等 关 系
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要点 不等式性质 (1)对称性：a>b⇔bi < a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a__>__c； (3)可加性：①a>b⇔a＋c__>__b＋c； ② ac>>bd⇒a＋c__>__b＋d；
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(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac__>__bc； ②a>b，c<0⇒ac__<__bc； ③ ac>>bd>>00⇒ac__>__bd； (5)可方性：①a>b>0⇒an__>__bn>0(n∈N*，n>1)； ②a>b>0⇒n a__>__n b>0(n∈N*，n>1)．
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【解析】 方法一：1a－b1＝b－aba，而 b－a＜0， 故当 ab＜0，即 a＞0＞b 时，b－aba＞0，∴1a＞1b； 当 ab＞0，即 a＞b＞0 或 b<a<0 时，b－aba＜0，∴1a＜1b.
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方法二：①若 a＞b＞0，则将此不等式两边同除以 ab 得：b1＞ 1a；
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【解析】 因为山区海拔每升高 100 m，气温下降 0.55 ℃， 所以当该植物适宜的种植高度为 x m 时，温度为 22－01.5050x. 又因为该植物适宜的种植温度为 18～20 ℃，所以 18≤22－ 01.5050x≤20. 【答案】 18≤22－01.5050x≤20
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探究 1 (1)将不等关系表示成不等式的思路： ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示．
当 0<x<π2 时，cosx>0，1－sinx>0，∴2cosx>sin2x； π
当 x＝ 2 时，cosx＝0，∴2cosx＝sin2x； 当π2 <x<π时，cosx<0，1－sinx>0.∴2cosx<sin2x.
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题型四 不等式性质的应用 例 5 在不等式以及后续的学习中，经常会遇到有关不等式 的一个重要问题：若 a>b(ab≠0)是否有1a<b1？(讲清此类问题可以 深刻理解不等式的可乘性．)
又如命题：若 ab＞0，且 a＞b，则1a＜1b.
第40页
即若 a，b 同号，且 a＞b，其倒数的不等号方向与原不等式 的方向(不等号)相反，这一结论在后面的学习中有着广泛的应用， 不注意条件 a，b 同号也是不等式问题中常见错误之一．
第41页
●思考题 5 已知 a>b>0，c<d<0，求证： b < a . a－c b－d
【证明】 ∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d.∵a>b>0，∴a－b c<b－a d.
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课后巩固
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1．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b>0，则 a2>ab>b2. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
另外，若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理 过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一 反例．
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●思考题 2 (2015 年西汉中市高二期中测试)若 x>y，m>n，
下列不等式正确的是( )
A．x－m>y－n
B．xm>yn
xy C.n>m
D．m－y>n－x
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【解析】 ∵x>y，∴－y>－x. 又∵m>n，∴m－y>n－x. 【答案】 D
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●思考题 3 (1)已知 x<1，比较 x2＋2 与 3x 的大小． (2)已知 a∈R，比较 a2＋a＋1 与 2a 的大小．
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【解析】 (1)(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)， ∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0. 即(x2＋2)－3x>0，∴x2＋2>3x. (2)(a2＋a＋1)－2a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋43>0， ∴a2＋a＋1>2a.
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6．已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小．
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解析
(
a＋ b
ba) a
a)
＝a－b－a－b＝（a－b）（ a－ b）
ba
ab
（ ＝
a＋
b）（
a－
b）2，
ab
（ ∵a，b 为正实数，∴
a＋
b）（ ab
a－
b）2≥0.
∴ a ＋ b ≥ a＋ b. ba
②若 b＜a＜0，则将不等式两边同除以 ab 得b1>1a； ③若 a＞0，b＜0，则1a＞b1. 综上得：a＞b⇒1a1a＞＜b1b1，，（（aa，，bb异同号号））
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探究 5 (1)本题目的是要学生明确不能冒然由 a＞b⇒1a＜b1， 这是学生容易出错的地方．
(2)本题是不等式性质 4 的一个典型应用．本例可作为今后有 关不等式问题的一个非常重要的定理，请读者引起足够的重视．
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1．对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种方式叙述 吗？
答：乙的年龄小于甲的年龄．
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2．如果甲的个子比乙的个子高，乙的个子比丙的个子高， 你能得出甲的个子与丙的个子哪一个高吗？
答：能．甲的个子高．
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3．不平衡的天平两边同时加上相等的砝码或同时将两边的 砝码加倍或减半会改变天平的状态吗？