第07讲 一元二次方程(练习)(解析版)-2024年中考数学复习

第07讲一元二次方程目
录
题型01识别一元二次方程
题型02由一元二次方程的概念求参数的值题型03一元二次方程的一般形式
题型04由一元二次方程的解求参数的值
题型05由一元二次方程的解求代数式的值题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根
题型07选用合适的方法解一元二次方程
题型08错看或错解一元二次方程问题
题型09配方法的应用
题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况
题型11判断含字母的一元二次方程根的情况
题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围
题型13应用根的判别式证明方程根的情况题型14与根的判别式有关的新定义问题题型15由根与系数的关系直接求代数式的值
题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值
题型18与根与系数有关的新定义问题
题型19构造一元二次方程求代数式的值
题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用
题型21分裂（传播）问题
题型22碰面（循环）问题
题型23增长率问题
题型24营销问题
题型25
与图形有有关的问题
题型01识别一元二次方程
式方程是一元二次方程是解题的关键．
题型02由一元二次方程的概念求参数的值
【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
题型03一元二次方程的一般形式
【答案】2−3−6=0
【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可．
【详解】解：2−3−2=8，
2−3+2=8，
2−3−6=0，
故答案为：2−3−6=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即B2+B+=0(≠0)．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
题型04由一元二次方程的解求参数的值
题型05由一元二次方程的解求代数式的值1．（2022·浙江金华·统考一模）已知是方程22−3−5=0的一个解，则−42+6的值为（）A．10B．－10C．2D．－40
【答案】B
【分析】将a代入方程得到22−3=5，再将其整体代入所求代数式即可得解．
【详解】∵a是方程的一个解，
∴有22−3−5=0，即，22−3=5，
∴−42+6=−2(22−3p=−2×5=−10，
故选：B．
题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根
（1）
解：∵关于x的一元二次方程2−2+3−2=0有实数根，
∴其根的判别式Δ≥0，即(−2)2−4(3−2)≥0，
解得：≤1．
（2）
解：将=4代入2−2+3−2=0，得：42−2×4+3−2=0，
解得：=−2，
∴该一元二次方程为2−2−8=0．
即(−4)(+2)=0，
∴1=4，2=−2，
∴方程的另一根为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=2−4B≥0”是关键；（2）理解一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的方法是关键．
题型07选用合适的方法解一元二次方程
∴4+12−3=4(+3p−3=4×2−3=5
∴4+12−3=5．
【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．
题型08错看或错解一元二次方程问题
题型09配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2−2+4=0，则2+2+2的最小值是（）
A．8B．−8C．−9D．9
【答案】A
【分析】由已知得2=2−4，注意x的取值范围，代入2+2+2再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2−2+4=0，
∴2=2−4，且2−4≥0即≥2，
∴2+2+2=2+2−4+2
=2+4+4−8
=+22−8，
∵+22≥0，≥2
∴当=2时，2+2+2的最小值是8，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知s s为实数，且+=5−4+32,−=1−2+2，则s s 之间的大小关系是（）
A．<≤B．<≤C．≤<D．<≤
【答案】A
【分析】先根据已知等式求出=2−+2,=22−3+3，再利用完全平方公式判断出−s−的符号，由此即可得出答案．
【详解】∵+=5−4+32,−=1−2+2，
∴=2−+2,=22−3+3，
∴−=2−+2−，
=2−2+2，
=(−1)2+1>0，
∴<，
又∵−=1−2+2=(−1)2≥0，
题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况1．（2023殷都区一模）一元二次方程2−3+1=0的根的情况（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【分析】根据判别式Δ=2−4B即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：=1,=−3,=1，
∴Δ=2−4B=(−3)2−4×1×1=5>0，
∴方程2−3+1=0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当Δ=2−4B>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ= 2−4B=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=2−4B<0时，方程没有实数根．
2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.
【详解】解：∵2x2﹣32x＝3，
∴2x2﹣32x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣32）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.题型11判断含字母的一元二次方程根的情况
题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程2+2+=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ=4−4>0，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得Δ=4−4>0，
解得<1，
∵0<1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程B2−2−1+−2=0有两个不相等
题型13应用根的判别式证明方程根的情况
题型14与根的判别式有关的新定义问题1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：u=B−2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程2◎=5的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【详解】方程2◎=5化为2−2=5，
一元二次方程化为一般式为2−2+5=0，
∵Δ=−22−4×1×5=−16<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应
题型15由根与系数的关系直接求代数式的值
题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知，是一元二次方程2+−2021=0的两个实数根，则代数式2+ 2+的值等于（）
题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值
题型18与根与系数有关的新定义问题1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义★=2+−2+4，例如3★7=32+3×7−2+4=28，若方程★=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（）
A．−2B．−3C．−4D．−5
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵★=2+(−2)+4
∴2+(−2)+4=0
∵方程2+(−2)+4=0的一个根是−1，设另一个根为，则有：
−1×=4
解得，=−4
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键．2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5
题型19构造一元二次方程求代数式的值1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果，是两个不相等的实数，且满足2+=4，2+=4，
那么代数式32−B−3的值是（）
结合他们的对话，请解
题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程2−2B+2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
题型21分裂（传播）问题
1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为2个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为2个，
依题意，得：1++2=43，
解得：1=−7（舍去），2=6．
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）
A．1+2=43B．1++2=43C．+2=43D．(1+p2=43
【答案】B
【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有(1++2)个，从而可得答案.
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则
1++2=43
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为7人
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4人被感染，第二轮中有4+4人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4人被感染，第二轮中有4+4人被感染，根据题意得：4+4+4+4=256，
即4+12=256，
解得：1=7，2=−9(不符合题意，舍去)．
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型22碰面（循环）问题
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛72场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则x（x-1）=72．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
题型23增长率问题
1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为()
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+p2=50，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，
30(1+p2=50，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）
A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
【答案】(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%
(2)按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得101+2=12.1，解方程；（2）基期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．
【详解】（1）解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：
101+2=12.1，
解得1=−2.1（舍去），2=0.1．
答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×1+10%=13.31（万人）．
答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．
题型24营销问题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应
(2)该产品的售价每件应定为90元
【分析】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设=B+（≠0，k，b为常数），待定系数法求解析式即可；
（2）根据小王预计每月盈利8200元，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设=B+（≠0，k，b为常数），
将=80，=500和=82，=490代入，
得80+=500
82+=490，
解得=−5=900，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为=﹣5+900；
（2）解：根据题意，得−70−5+900−800=8200，
解得1=160，2=90，
∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，
∴x=90，
答：该产品的售价每件应定为90元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
题型25与图形有有关的问题
1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48B2，则该有盖纸盒的高为（）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，
【答案】通道的宽是6米．
【分析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为花砖的面积为640平方米，即可得出关于
【详解】解：设通道的宽是x
根据题意得：52−228−
2−40+204=0，
直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？
【答案】宽为6尺，高为8尺，长为10尺
【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案．
【详解】解：设竿长为尺，则门的宽为−4尺，高为−2尺，依题意，得
−42+−22=2
整理，得2−12+20=0
解得1=10，2=2，
∵K4，
∴只取=10，
故−4=10−4=6，−4=10−2=8．
答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法．
∴1+2=8，
∵1=32，
∴2=2,1=6，
∴=12=12，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程2−5+2=0根的判别式的值是（）
A．33B．23C．17D．17
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=2−4B求出答案．
【详解】解：∵=1，=−5，=2，
∴△=2−4B=−52−4×1×2=17．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程2+B+=0有两个相等的实数根，则2−21+2=（）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得2−4=0，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程2+B+=0有两个相等的实数根
∴Δ=2−4=0
∴2−21+2=2−4−2=0−2=−2，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(+p展开式的系数规律．
1(+p0=1
11(+p1=+
121(+p2=2+2B+2
1331(+p3=3+32+3B2+3
当代数式4−123+542−108+81的值为1时，则x的值为（）
A．2B．−4C．2或4D．2或−4
【答案】C
【分析】由规律可得：+4=4+43+622+4B3+4，令=，=−3，可得−34=1，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：+4=4+43+622+4B3+4，
令=，=−3，
∴−34=4−123+542−108+81，
∵4−123+542−108+81=1，
∴−34=1，
∴−3=±1，
∴=4或=2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数，是一元二次方程2−2−3=0的两个根，且<，则点s所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得．
【详解】∵实数，是一元二次方程2−2−3=0的两个根，且<，
∴=−1，=3,
∴s为−1,3，
∴−1,3在第二象限，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（）
A．5m B．70m
【答案】A
【分析】设小路宽为F，则种植花草部分的面积等于长为
根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于
【详解】解：设小路宽为F，则种植花草部分的面积等于长为
积，
依题意得：100−250−2=3600
解得：1=5，2=70（不合题意，舍去）
∴小路宽为5m．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m
【答案】6
【分析】由m是方程2−2−1=0的根，可得
形即可．
【详解】解：∵m是方程2−2−1=0
2−2−1=0，即2=2+1，。