第2章-1-交流电路的稳态分析PPT课件

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i2 6s0 itn 30 A
i
i1
i2
试求总电流i=?
解1:用解析式
由KCL得
i i 1 i 2 1 s0 t i 4 n 0 6 5 st 0 i 3 n 0
iImsi nt (i)
23
因此经过三角变换得到
i 1s 2 it9 n 1 2 0 8 A
解2:用波形图
14
三、 初相位
1. 相位:描述正弦函数随时间t变化的进程。
设:i1 Imsin(t A),i2Imsi nt (()A)
i1
i2
i10 0
i20
ωt
ψ0
ωt
称正弦函数的幅角为瞬时相角简称相位角或
相位。
15
2. 初相位 ψ
表示初始时刻,即t=0时正弦量的相位。简称初相
ψ (是一角度,可正、可负)。
E Em 2
12
例1:已知 :u31s0i3n1t 4
求:ω、f、T、Um、U。
解: ω =314(rad/s) f = 50Hz T = 0.02s Um= 310V U Um 220V 2
13
例2:已知 : isint (A)
求:Im、I、ω
解:
Im=1A
ω=1(rad/s)
I Im 1 (A) 22
一、 周期、频率和角频率
用来描述正弦量变化快慢的参数。
1. 周期T:波形在相同时间间隔重复出现的量 (如电压、电流)称为周期量。而这一时 间间隔就称为周期。单位:秒(s)。
周期函数: f(t)f(tT)
6
2. 频率f:每秒钟内周期量重复的次数。 单位:赫兹、Hz。
频率与周期的关系:
3. 角频率ω
f
求解相量方程
响应的相量表达式
由相量式直
接写出响应
的三角函数

30
四、 KCL和KVL的相量表达式
由KCL和KVL的正弦量表达式,
i 0
u0
可得出它们的相量表达式:
KCL:
I 0 Im0
KVL:
U 0
Um0
31
例子,解3:重新用相量法求i。
i1 1s 0i0 tn 45 A
i2 6s0 itn 30 A
频率f越高,感抗XL越大。因为频率f越高,电流变
化率 di
dt
越大,感应电动势eL越大,对电流的阻
碍作用大。所以感抗XL反映电感元件对正弦电流的
阻碍作用。
49
当U和L一定时,
I
U
L
XL L
则f、I、XL的关系如图所示
XL 2 fL
I U 2 fL
f
0
50
2. 功率 瞬时功率:
p (t) u 2 U s i2 U I i s tn i itn s iu t n 2 iI s9i t0 n i
UIcos2(ωt+ ψi)——正弦量,但频率为u、i两倍 41
p 波形图
t
42
平均功率(有功功率):
PT 1T 0p
dtUII2RU2 R
单位:W、kW
t
3. 一个周期内消耗的能量: W pdt
0
功率p曲线与横轴包围的面积。
通式 WPt
43
2.2.2 电感元件的正弦响应
1. 电压和电流
特性方程: u L di
二、 相量法
相量法的实质用复数来表示正弦量。
24
三、 如何用复数表示正弦量
复数
Aa j b
代数式
AcosjAs in 三角函数式
用i而不用j, Ae j
以区别电流i
A
指数式 极坐标式
相互的转换关系为: a Acos
A a2 b2
b Asin
arctanb
25a
有一复数为 :
U m e j t U m c t o s jm U st i n
且规定:
i1
i2
i10 0
i20
ωt
ωt
ψ0
i1的初相位ωt∣t=0=0
i2的初相位ωt+ ψ∣t=0= ψ16
3 .相位差
相位差——两个同频率正弦量的相位之差。
设: iImsi nt (i)(A)
电流i的相位ωt+
ψ i
uU msi nt (u)(V)
电压u的相位ωt+ ψu
相位差φ =(ωt + ψi)-(ωt + ψu)
2 U sit nu U m sit nu
37
其中,UmRIm URI u i
ui u,i 的 相 位 差
0
t 0
38
2. 电阻元件特性方程的相量形式
由u、i的三角函数式写出其相量表达式:
U Uj eu IIeji
∵ URI u i
可得出: U RI
相量图
I
U
39
结论:
(1)i为正弦量,u为同频率的正弦量 ;
相量图:
U
I
47
结论:(1)i为正弦量,u为同频率的正弦量
(2)电压u超前电流i 90º,
即 ui 90
为什么?
ui
因为 u L di
而 di dt
dt 为电流i的斜率,
2
当电流i=0时,
0
斜率 di 最大 。
dt
t
48
(3)
Um Im
U I
XL
U I
jX L
(4)XL=ωL=2πfL,当f=0时,XL=0 即电感对直流无阻碍作用。
= ψi- ψu
17
得出,
两个同频率正弦量的相位差也等于它们的
初相位之差。
ui
讨论几种情况:
(1) φ = ψi- ψu >0
t
ψu
0
ψi
电流i越前(超前)电压u
18
(2)φ = ψi- ψu <0
ui
t
ψi
0
ψu
电流i滞后电压u, 或电压u越前电流i。
19
(3) φ = ψi- ψu=0º
ui
UsIi2 n t i
UmejU m Im
u
ω
Umψ
0
Re ψ 0
ωt
一个正弦量在某个时刻的值就是该旋转矢量
该时刻在虚轴上的投影。
27
一个正弦量在某个时刻的值就是该旋转矢量 该时刻在虚轴上的投影。
即,正弦量 u I m U m e j t I m U m e j t
可以看出复数 U mUmej的模和幅角就是正弦量
作平行四边形特殊角的相量分析时如已知相量法是为了简化正弦交流电路的分析计算而引出的一种数学变换方法而且只有在各正弦量均为同一频率时各正弦量变换成相量进行运算才有意义
第2章 交流电路的稳态分析
1
将电压、电流的大小和方向随时间周期性 变化的电路称为交流电路。
正弦交流电路——电路中的激励和响应随 时间按正弦规律周期性变化。RbaR
b
热效应相当即: 0Ti2RdtI2RT
称,直流电流I就是交流电流i的有效值:
I
1 T
0T i2dt
(均方根值)
10
同理:
电压的有效值:
U
1 T
0T
u2dt
电动势的有效值: E
1 T
0T
e2dt
计算公式仅适用于周期性变化的量!
11
对于正弦量的有效值与幅值之间有下列关系:
I Im 2
U Um 2
如电压 u U m si n t
用相量来表示正弦量有两种方式:
幅值(振幅)相量 U mUmej
有效值相量
U Uj e
29
同样,电流和电动势的相量为
ImImej IIej
E mEmej E Eje
正弦交流电路的分析方法
相量法:将正弦量变换成相量后再对正弦交流 电路进行分析的方法。
正弦函数方程
相量(复数)方程
3
正弦量的解析式
在电路图中标出u、i正方向
用数学式表示的正弦交流电压和电流
i
u U m sitn u (V)
iIm sin ti(A) u
R
4
正弦交流电压和电流的波形图
i
u
t
t
0
0
规定:正方向代表正半周的方向。
5
2.1.1正弦量的三要素
用变化的快慢、大小和进程来描述正弦量,即 所谓的“三要素” 。
而正弦量 u U m si n t
正好是该复数的虚部。即,正弦量 u Im U m ej t
又因为 U m ej t U m ejej t
记复数 UmejU m 复平面上的有向线段
则复数可记为 U m ej t U m ej t
26
复数 U m ej t U m ej t
为时间的函数,在复平面上可表示为旋转的有向线段
求 II1mI2m?
+j
I1 m
Im I1 m I2 m 5 8
0
I m
+1
i5si nt (8)A ()
I 2 m
34
需要记住的几个相量:
I13j45 53
I23j332 45 I31j 32 60
I43j2 30 I5j190
35
五、 注意
1. 相量只是表示正弦量,而不等于正弦量。
dt
u
设流过电感元件的电流为激励:
i
e
L
i2 Isitn i Im sitn i
则电感元件的端电压为响应:
u L d d L t id I m sd it n ti I m L co t i s
Im L si n t i 2 U m si n t u
44
其中,UmLIm ULI
1. 瞬时值:任一瞬时(间)u (t1 )
对应的值。用小写字母表 示(u、i、e)。
0 t1
T
2π t
2. 幅值:瞬时值中出现的最大值,也称幅值。 用带下标的大写字母表示(Um、Im、Em)。 9
3. 有效值:用大写字母表示(U、I、E)。
有效值——把与直流电具有相同热效应的值 称为有效值。
I
i
a
i 1s 2 it9 n 1 2 0 8 A 32
六、 相量图
将同频率的相量在复平面上用有向线段表示,所画 出的图形称为相量图。
解4:用相量图
I1m10e0j45 I2m60ej30
+j
I 1 m
I m
ImI1mI2m
0
作平行四边形
I 2 m
+1
33
特殊角的相量分析时,如已知
I1m4ej45 I2m3ej45
u
i
2
ui
2
t 0
45
2. 电感元件特性方程的相量形式
由u、i的三角函数式写出其相量表达式:
U Uj eu IIeji
可得出: U U j ue U j( i e 2 )Lj I iej 2 e
U LIej90
记 U jXLI
46
U jXLI
其中,XL=ωL——感抗(单位Ω)
j e j90 算子表示相量向逆时针方向旋转90°。
u U m si n t 的幅值和初相位。
称复数 UmejU m ——相量 在电工学中把表示正弦量的复数称为相量。 28
用相量表示正弦量
如果电路中所有激励都是同频率的正弦量,那么在 线性电路中激起的响应也是同频率的正弦量,即响 应的频率就是激励的频率。
所以只要计算出正弦量的幅值和初相位就可以得到 该正弦量的表达式。
5. 区分 uUU U mU m 所表示的意义。 36
2.2 单一元件正弦交流电路的特征
2.2.1 电阻元件的正弦响应
1. 电压和电流
i
特性方程: uRi
a
设流过电阻元件的电流为激励:
R
b
u
i2 Isitn i Im sitn i
则电阻元件的端电压为响应:
u R R i 2 I si t n i 2 R si I t n i
(2)u、i同相,即 ui 0
(3)
Um U R Im I
U I
R
40
瞬时功率:
2. 功率
p (t) u 2 U s i2 U 2 I i s n t i tn i u 2 Isi tn i
U 1 c I 2 o t s i
说明:
p(t)≥0,电阻只消耗功率,以发热的形式表现出来。 p(t)包含两部分: UI——恒定量
非正弦交流电路——电路中的激励和响应 随时间按非正弦规律周期性变化。
2
2.1 正弦交流电路的基本概念
正弦量——我们将随时间按正弦规律周 期性变化的物理量统称为正弦量。
正弦交流电压和正弦交流电流是指大小和 方向随时间按正弦规律周期性变化的电压、 电流。它们可以用数学表达式表示,也可 以用波形图表示。
i
i1
i2
将i=i1+i2换成KCL的相量式,得
I m I 1 m I 2 m 1e j 0 4 5 6 0 e j0 3 0
( 1 c 0 4 o j 0 1 5 s s0 4 i ) n ( 0 5 6 c 3 0 o j 0 s s 3 i )n 0
( 7 . 7 0 j 7 . 7 ) 0 ( 5 j 3 2 ) 1 0 . 7 2 j 4 . 7 2 0 12e9j1820A
1 T
u
把单位时间正弦量经 历的弧度称为角频率。
2
0

T (rad/s )
2f
2π t
T
7
已知:频率f=50Hz,问正弦量变化一周所需要
的时间,即周期T=?角频率ω=?
T1 1 0.02s
f 50
2f31r4 a/sd
π取3.14
8
二、 瞬时值、幅值和有效值
描述正弦量大小的参数。 u
Um
uU uUm
2. 相量法是为了简化正弦交流电路的分析计算而引出 的一种数学变换方法,而且只有在各正弦量均为同一 频率时,各正弦量变换成相量进行运算才有意义。
3. 旋转复数 U m ej t U m ejej t 具有正弦量三要素的特征。
4 .正弦量在某时刻的瞬时值等于旋转矢量(复数) U m ej t U m ejej t该时刻在虚轴上的投影。
电流i、电压u同相。
t 0
( a)
20
(4) φ = ψi- ψu =±180º
ui
电流i、电压u反相。
t 0
21
(5) φ = ψi- ψu =90º
ui
电流i、电压u正交
2
t 0
22
2.1.2 正弦量的相量表示
一、 正弦量的三角函数式和波形图
设 i1 1s 0i0 tn 45 A
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