备战2019高考数学大二轮复习 第一部分 思想方法研析指导 思想方法训练3 数形结合思想 理

思想方法训练3 数形结合思想
一、能力突破训练
1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.方程sin x的实数解的个数是()
A.2
B.3
C.4
D.以上均不对
3.若x∈{x|log2x=2-x},则()
A.x2>x>1
B.x2>1>x
C.1>x2>x
D.x>1>x2
4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()
A.2±
B.2-或6-3
C.6±3
D.2+或6+3
5.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()
A.(1,10)
B.(5,6)
C.(10,12)
D.(20,24)
6.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()
A.(-6,0]
B.(-6,6)
C.(4,+∞)
D.(-4,4)
7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值
为.
9.函数f(x)=2sin x sin-x2的零点个数为.
10.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= .
11.(2018浙江,15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.
12.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)
的部分图象如图所示.
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(1)求f (x )的解析式;
(2)设g (x )=,求函数g (x )在x ∈上的最大值,并确定此时x 的值.
二、思维提升训练
13.已知函数f (x )=
函数g (x )=b-f (2-x ),其中b ∈R ,若函数y=f (x )-g (x )恰有4个
零点,则b 的取值范围是( ) A . B .
C .
D .
14.设函数f (x )=e x
(2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( ) A .
B .
C .
D .
15.在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影,
由区域
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|= ( )
A .2
B .4
C .3
D .6
16.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;
(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是. 17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值;
(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
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思想方法训练3 数形结合思想
一、能力突破训练
1.D 解析 由题图知,z=2+i,则i,则对应的点位于复平面内的
第四象限.故选D.
2.B 解析 在同一坐标系内作出y=sin
与y=x 的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.
3.A 解析 设y 1=log 2x ,y 2=2-x ,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x 2>x>1.
4.D 解析 结合函数f (x )的图象(图略)知,3-4a=-a 2
,即a=1或a=3.
当a=1时,-b 2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b 2
+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选
D.
5.C 解析 作出f (x )的大致图象.由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a<b<c
,
则-lg a=lg b=-c+6.
∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c. 由图知10<c<12,∴abc ∈(10,12).
6.B 解析 如图,由题知,若f (x )=与g (x )=x 3
+t 图象的交点位于y=x 两侧,
则有
解得-6<t<6.
7.C 解析 当a=0时,f (x )=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0,x>0时,f (x )=(-ax+1)x=-a x ,结合二次函数的图象可知f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f (x )=|(ax-1)x|的图象大致如图.
函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的充要条件,故选C.
8.- 解析
在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-
9.2解析f(x)=2sin x sin-x2=2sin x cos x-x2=sin 2x-x2.
如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,
综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.
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解析令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.
k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),∴k=
11.(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析当λ=2时,f(x)=
当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,
∴2≤x<4.
当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,
∴1<x<2.
综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1, 4).
分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,
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由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.
故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
12.解 (1)由题图知A=2,,则=4,得ω=
又f=2sin
=2sin=0,
∴sin=0.
∵0<φ<,-<φ-,
∴φ-=0,即φ=,
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin
(2)由(1)可得f
=2sin
=2sin,
g(x)==4=2-2cos
∵x,∴-3x+,
∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.
二、思维提升训练
13.D解析由f(x)=得f(x)=
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f(2-x)=
所以f(x)+f(2-x)=
因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,
所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.
画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.
由图可知,当b时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.
14.D解析设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).
因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),
当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.
所以g(x)的最小值为g
而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.
如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.
函数g(x)=e x(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D
取点C
由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.
而k PC =,k PA ==1,
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所以a<1.故选D .
15.C 解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
作出直线x+y-2=0.
设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C ,直线x=2与直线x+y=0的交点为D. 过C 作CA ⊥直线x+y-2=0于点A , 过D 作DB ⊥直线x+y-2=0于点B ,
则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB. ∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|. 由C 点坐标为(-1,1).
由
D 点坐标为(2,-2).
∴|CD|==3,即|AB|=3故选C .
16.(1)Q 1 (2)p 2 解析
(1)连接A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3,分别取线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3的中点C 1,C 2,C 3,显然C i 的纵坐标即为第i 名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C 1最高,故Q 1,Q 2,Q 3中最大的是Q 1.
(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y 1,y 2,工作时间分别为x 1,x 2,则该工人这一天中
平均每小时加工的零件数为p=
=k OC (C 为点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)的中点),
由图可得
,故p 1,p 2,p 3中最大的是p 2. 17.解 函数g (x )=bx 2
-ln x 的定义域为(0,+∞).
(1)f'(x )=3ax 2
-3a ⇒f'(1)=0,g'(x )=2bx-g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=
(2)当x ∈(0,1)时,g'(x )=x-<0,当x ∈(1,+∞)时,g'(x )=x->0. 所以当x=1时,g (x )取得极小值g (1)=
当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.
当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.
从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.
当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,
所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.
从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,
所以实数a 的取值范围是
图①
图②
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