【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第10章 第7节 随机变量及其分布、均值与方差课件 理 苏教版

[解] (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球 或 2 个绿球，
2 2 C2 6＋3＋1 5 4＋C3＋C2 所以 P＝ ＝ 36 ＝18. C2 9
(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. {X＝4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”， C4 1 4 故 P(X＝4)＝C4＝126； 9
(1)均值：称 E(X)＝μ＝ x1p1＋x2p2＋„＋xnpn 为离散型随机变 量 X 的均值或数学期望．
2 2 2 (2)方差：称 V(X)＝σ2＝(x1－μ) p1＋(x2－μ) p2＋„＋(xn－μ) pn
为离散型随机变量 X 的方差． (3)标准差：随机变量 X 的方差 V(X)的算术平方根称为 X 的标 准差，即 σ＝ VX.
故 X 的分布列为 X P 1 2 3
17 43 1 42 84 12
17 43 1 47 从而 E(X)＝1×42＋2×84＋3×12＝28.
【通关锦囊】 1．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值对应 的概率，要重视两个计数原理、古典概型知识的活用． 2． 求随机变量的分布列的主要步骤： (1)明确随机变量的取值， 并确定随机变量服从何种概率分布； (2)求每一个随机变量取值的 概率；(3)列成表格． 求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列 是否正确．
【典例 1】 (2014· 陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每 季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具 有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量(kg) 300 500 概 率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 概 率
6
10
0.4 0.6
(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布 列； (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ．．．2 000 元的概率．
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量 η＝|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 因此 η＝|X－1|的分布列为： η 0 1 2 3
[解] (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件 “作物市场价格为 6 元/kg”，由题设知 P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本． ∴X 所有可能的取值为 500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P( A )P( B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P( A )P(B)＋P(A)P( B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 所以 X 的分布列为 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2
{X＝3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其 他颜色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”，
1 3 1 C3 C ＋ C 20＋6 13 4 5 3C6 故 P(X＝3)＝ ＝ 126 ＝63； 4 C9
13 1 11 于是 P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－63－126＝14.
5．两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X～0－1 分布，则 E(X)＝p，V(X)＝ p(1－p) ．
nMN－MN－n nM (2)若 X～H(n， M， N)， 则 E(X)＝ N ， V(X)＝ . N2N－1 (3)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝ np ，V(X)＝ np(1－p) ．
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考向 2 命题视角
离散型随机变量的分布列(高频考点)
从近两年高考命题看，分布列多与随机变量的期
望、方差结合命题，主要以解答题形式呈现，中等难度，主要命题 角度：(1)求随机变量的分布列；(2)利用分布列求相关参数值或概 率；(3)由分布列求数学期望与方差．
【典例 2】 (2014· 重庆高考)一盒中装有 9 张各写有一个数字 的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡 片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片． (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与 数学期望． (注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中 位数)
【规律方法】 1．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意 检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X 是随机变量，则 η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的 分布列可先求出相应随机变量的值， 再根据互斥事件概率加法求对 应的事件概率，进而写出分布列．
【变式训练 1】 X
设离散型随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 4
n r Cr C M N－M 若一个随机变量 X 的分布列为 P(X＝r)＝ ，其中 r＝ n CN 0,1,2,3，„，l，l＝min(n，M)，则称 X 服从超几何分布，记为 X～
－
n r Cr C M N－M H(n，M，N)，并将 P(X＝r)＝ Cn 记为 H(r；n，M，N)．
－
N
4．离散型随机变量 X 的均值与方差 若离散型随机变量 X 的概率分布为 X x1 x2 „ xi P p1 p2 „ pi „ xn „ pn
则称①为随机变量 X 的 概率分布列 ．①也可表示为 X x1 x2 „ xn P p1 p2 „ pn
(2)随机变量分布列的性质． ①pi≥0，i＝1,2，„，n；② p1＋p2＋„＋pn ＝1.
2．两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其概率分布表为 X 0 1
P 1－p p
3.超几何分布
[答案] ①
5．有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地 任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)＝________.
[解析]
[答案]
1 1 3 9 ∵X～B 3，4 ，∴D(X)＝3×4×4＝16.
9 16
考向 1
离散型随机变量分布列的性质
[答案] 0.2 或 0.8
3．带活动门的小盒子里有采自同一巢的 20 只工蜂和 10 只雄 蜂，现随机地放出 5 只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则 X＝2 时的概率是________(用式子表示)．
3 C2 C 20 10 [解析] X 服从超几何分布，P(X＝2)＝ C5 . 30
[答案]
3 C2 C 20 10 C5 30
4．(2014· 浙江高考改编)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙 盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取 i(i ＝1,2)个球放入甲盒中． (a)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i＝1,2)； (b)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i＝ 1,2)． 则下列说法正确的是________． ①p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)；②p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)； ③p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)；④p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”) (1) 离 散 型随 机 变 量 的 各 个 可 能 值 表 示 的 事 件 是 彼 此 互 斥 的．( )
(2)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人 数 X 服从超几何分布．( )
(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(
【变式训练 2】
(2014· 江苏高考)盒中共有 9 个球，其中有 4
个红球、3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的 概率 P. (2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个 数分别记为 x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3 中的最大数．求 X 的概率分布和数学期望 E(X)．
所以 E(ξ1)<E(ξ2)． m n 1 2m＋n 因为 p1＝ ＋ · ＝ ， 2 m＋n m＋n 2m＋n
1 1 2 3m＋n C2 C C 2 C m m n n 1 p2＝ 2 ＋ 2 · ＋ 2 · ＝ ， 3 3 Cm＋n Cm＋n Cm＋n 3m＋n
n p1－p2＝ >0，所以 p1>p2. 6m＋n
[思路点拨]
对于(1)，根据题意恰当地利用组合数进行计数，
再结合古典概型的意义进行相关计算即可；对于 (2)，结合题意， 先明确变量所有的可能取值， 再结合题意逐一求得取各值相应的概 率， 由此确定其分布列， 进而结合数学期望的定义求得相应的期望 值．
[解] (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
3 C3 ＋ C 5 4 3 p＝ C3 ＝84. 9
(2)X 的所有可能值为 1,2,3，且
1 3 C2 C ＋ C 17 4 5 4 P(X＝1)＝ C3 ＝42， 9 1 1 2 1 3 C1 C C ＋ C C ＋ C 43 3 4 2 3 6 3 P(X＝2)＝ ＝84， 3 C9 1 C2 1 2C7 P(X＝3)＝ C3 ＝12. 9
固 基 础 · 自 主 落 实