2012年高考数学试题分类考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.（2012·山东高考理科·Ｔ10）已知椭圆2222:1(0)
x y C a b a b +=>>的离心率为32.
双曲线22
1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的
面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221
164x y += （D ）22
1205x y +=
【解题指南】本题关键利用椭圆的对称性及双曲线
22
1x y -=的渐近线为x y ±=，得出双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，然后加上条件离心率为3
2，
即可求得椭圆的方程.
【解析】选D.由于双曲线
22
1x y -=的渐近线为x y ±=，以及椭圆的对称性可知以渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，因为四边形面积为16，所
以边长为4，所以椭圆过点（2,2）.所以
所以椭圆C
的方程为22
1205x y +=.
二、解答题
2.（2012·湖北高考理科·Ｔ21）与（2012·湖北高考文科·Ｔ21）相同 设A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足当点A 在圆上运动时，
记点M 的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m,使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【解题指南】本题考查求轨迹的方法和直线与圆锥曲线之间的位置关系，解答本题的关键是把点M 的坐标设出，用代入法求轨迹，再结合一定的运算能力求解. 【解析】
（1）如图1.设00(,),(,)M x y A x y ，则由
得
00001
,,,x x y m y x x y y m ==∴==
①.又A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点,则22
01x y +=②.把①代入②得曲线C 的方程为:2
2
21(0,1)
y x m m m +=>≠.
当(0,1)m ∈ 曲线C 为以点22
(1,0),(1,0)m m ---为焦点的椭圆; 当(1,)m ∈+∞ 曲线C 为以点
22
(0,1),(0,1)m m ---为焦点的椭圆. (2)如图2,3, 对任意的k>0 ,设1122111(,),(,),Q(-x ,-kx ),N(0,kx )P x kx H x y 则,直线QN 的方程为:
1
y=2kx+kx 将其代入椭圆方程并整理得:
222222211(m +4k )x +4k x x+k x -m =0
.
依题意设此方程的两根为: 12-x ,x ,对任意的k>0,都有PQ ⊥PH,
又点H 在直线QN 上,所以
于是.又PQ ⊥PH,则PQ PH=0•,即222
1224(2-m )k x =0m +4k ,
也就是
2
2-m =0,m>0,m=2∴.
故存在m=2,使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH. 3.（2012·辽宁高考文科·T20）如图，
动圆222
1:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：22
19x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12
,A A 分别为2C 的左，右顶点.
(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积. (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.
【解题指南】（1）由于A,B,C,D 四点的对称性，可设出它们的坐标，利用坐标的某个变量来表示矩形面积，建立函数，求最值.（2）利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，用交轨法求轨迹方程. 【解析】（1）由于A,B,C,D 四点的对称性， 设00000000(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ---- 则矩形ABCD 的面积为00
00
224S AB BC y x x y =⨯=⨯=，
由点00(,)A x y 在椭圆2219x y +=上，所以
2222
00001199x x y y +=⇒=-
从而
22
2
2
22000
00199(1)()9924x x y x x =-=--+，故220091
,22
x y ==
时，2
2
00x y 取得最大值9
4.
从而
0000
224S AB BC y x x y =⨯=⨯=取得最大值6.此时
2220055
t x y t =+=⇒=.
（2）由000012(,),(,),(3,0),(3,0)A x y B x y A A --可得 直线1AA 的方程：
0(3)3y y x x =
++--------------------① 直线2A B 的方程：
0(3)3y y x x -=
----------------------②
设直线1AA 与直线2A B 的交点(,)M x y 由①②得
22
202
0(9)
9
y y x x -=
------------------------------③
由（1）知
2
2
00
19
x y =-
------------------------------------④
④代入③整理得2
21(3,0)9x y x y -=<-<，
因此点M
的轨迹方程为2
21(3,0)
9x y x y -=<-<.
4.（2012·辽宁高考理科·T20）如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常
数)，动圆
222
11:C x y t +=，1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交
于A ，B ，C ，D 四点.
(1)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程. (2)设动圆
222
22
:C x y t +=与
C 相交于////,,,A B C
D 四点，其中2b t a <<，
12
t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：2212t t +为定值.
【解题指南】（1）由于A,B 点的对称性，可设出它们的坐标，利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，进而求轨迹方程（2）利用坐标的变量来表示矩形面积，建立等量关系. 【解析】(1)设000012(,),(,),(,0),(,0)A x y B x y A a A a --， 直线1AA 的方程：
0()y y x a x a =
++-------------------- ① 直线2A B 的方程：
0()y y x a x a -=
---------------------- ②
设直线1AA 与直线2A B 的交点(,)M x y 由①②得
----------------------------③
由00(,)A x y 在椭圆2202
2
:
1
x y C a
b
+=上，故
220002
2
:
1
x y C a
b
+
=，
从而
22
2
002
(1)
x y b a =-
，代入③整理得2
22
2
1(,0)
x y x a y a b -
=<-<.
（2）设11(,)A x y '，由矩形ABCD 和矩形A B C D ''''面积相等得0011
44x y x y =，
即
2222
0011x y x y =，-------------------- ④
因为点00(,)A x y ，11(,)A x y '均在椭圆2202
2
:
1
x y C a b +=上，
所以
22
2
002
(1)
x y b a
=-
，
22
2
112
(1)
x y b a
=-
，
代入④得
2
22222
2
2
22
001101012
22
2(1)(1)(1)(1)
x x x x b x b
x x x a a
a a
-
=-⇒-
=
-，进一步得到
222
2
10012
()(1)0
x x x x a
+--=，由于1201t t x x ≠⇒≠，所以
22
222
10102
10x x x x a a
+-
=⇒+=
从而222
2
2
2
2
01012
2
(1)(1)x x y y b b b a a
+
=-
+-
=，
故
2222
12t t a b +=+为定值.。