九年级数学相似三角形的判定知识点+例题-7页精选文档

相似三角形的判定
【学习目标】
1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、相似三角形
在和中，如果
我们就说与相似，记作∽.k
就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
要点二、相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
【典型例题】
类型一、相似三角形
1. 下列能够相似的一组三角形为( ).
A.所有的直角三角形
B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形
D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
举一反三：
下列图形中，必是相似形的是（）．
A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形 D．邻边之比为2：3的两个平行四边形类型二、相似三角形的判定
2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
3. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M．
（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若
DB=9，求MB的长．
4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF 于F．求证：BP2＝PE·PF．
举一反三：
1、如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．
2、如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E.
求证：DE AC EF BC
.
3、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
4、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.
4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？
图（1）图（2）图（3）图（4）
5、如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．
（1）求证：≌．
（2）若，，，求的值．
【巩固练习一】
一、选择题
1. 下列判断中正确的是( ).
A.全等三角形不一定是相似三角形
B.不全等的三角形一定不是相似三角形
C.不相似的三角形一定不全等
D.相似三角形一定不是全等三角形
2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如
果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).
A. B. C. D.
3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）．
①②③④
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形
相似的条件( ).
A.只有①
B.只有②
C.①和②分别都是
D.①和②都不是
5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.
A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF
6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).
A. B.8 C.10 D.16
二、填空题
7.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_______使△ADE∽△ACB.
8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.
9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).
10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.
11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.
12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.
三．解答题
13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．
14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．
15. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
【巩固练习二】
一、选择题
1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ).
A.16：15
B.15：16
C.3：5
D.16：15或15：16
2．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）.
A．1条B．2条C．3条D．4条
3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交
BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .
A. 2：1
B. 3：2
C. 3：1
D. 5：2
4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）.
A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对
6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( ) .
A.∠APB=∠EPC
B.∠APE=90°
C.P是BC的中点
D.BP：BC=2：3
二、填空题
7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________.
8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_________对.
9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________________.
10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,AM BM
AN CM
,则①△ABM∽△ACB,②△ANC
∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.
11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=____________.
12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.
三、解答题
13. 如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交
于点M、G，CE和AD相交于点N．
求证：（1）CG平分．（2）∽．
14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C 是圆O上的一点.
(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；
(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上
运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；
(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.。