【新结构】2023-2024学年浙江省杭州市部分学校高一下学期6月阶段性考试数学试题+答案解析

【新结构】2023-2024学年浙江省杭州市部分学校高一下学期6月阶段
性考试数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若是虚数单位，则()
A.2
B.3
C.
D.
2.某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为()
A.46
B.49
C.50
D.51
3.已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为()
A. B. C. D.
4.已知平面平面，直线，则“”是“”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知一组数据的平均数为，标准差为s，则数据的平均数和
方差分别为()
A. B. C. D.
6.在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则
()
A. B.5 C. D.
7.从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某个多选题的正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能例如，选A，AB，ABC是等可能的，则该题得2分的概率是()
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是边长为3的等边三角形，若三棱锥
的体积的最大值为，则球O的表面积为()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.掷一枚骰子，记事件A为掷出的数大于4，事件B为掷出偶数点，则下列说法正确的是()
A. B.
C.事件A与事件B为相互独立事件
D.事件A与事件B对立
10.已知向量，，下列说法正确的是()
A. B.
C.与向量平行的单位向量是
D.向量在向量上的投影向量为
11.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影.下图是这两部电影连续7
天的日票房情况，则()
A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数
B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__________.
13.如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________.
14.圆O是锐角的外接圆，，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题12分
求方程的根，并判断它们是否共轭；
若复数满足，求的范围.
16.本小题12分
如图，正方形
ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为
求圆柱的表面积;
若，求点F到平面BDE的距离.
17.本小题12分
现行国家标准中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数;
用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标;
从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
18.本小题12分
直角梯形ABCD中，，，E为CD的中点，BE与AC交于点
用表示；
设，求实数的值；
求
19.本小题12分
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解、的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知_________.
求角C；
若点D是满足，且，求的面积的最大值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，求复数的模，属于基础题．
由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求出z，可得
【解答】
解：复数z满足为虚数单位，
，
，
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第80百分位数.
【详解】数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，
因为，因此，该组数据的第80百分位数为
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.
【详解】由条件可知，，
由，解得
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判定、空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．由时，则一定有，当时，“”不一定成立，即可得出结论.【解答】
解：平面平面，直线，
当时，则一定有；
反之，当时，“”不一定成立，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.
【详解】平均数为，
方差为
，
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案
.
【详解】由于，，故有，解得，
又，则，
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于较易题.
列举出随机地选1个或2个或3个选项的选法种数及能得2分的选法种数，求得所求概率．
【解答】
解：随机地选1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共14种选法，
得2分的选法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，
故能得2分的概率为.
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三棱锥外接球的问题，球的表面积公式，属于中档题.
设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.【解答】
解：设球O的半径为R，的外心为，
由题意得外接圆半径为，
面积为，
所以，
所以最大值为：
，
所以，
即，解得，
所以球O的表面积为
故选：
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率计算，考查互斥事件、相互独立事件以及对立事件的判断，属于基础题.根据定义判断
B，C，根据互斥事件的概率公式判断A，根据古典概型的概率计算判断
【解答】
解：样本空间为，，，，，
则，，
，，
所以A错，B，C对，D错.
故选
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了向量的运算法则，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量模的表示，向量平行共线
关系的表示，属于一般题.
根据向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算判断A；根据向量减法的坐标运算和向量模的坐标表示判断B；根据单位向量的坐标公式判断C；根据投影向量的公式判断D。

【解答】
解：选项A：，
，所以，A正确；
选项B：，所以，B错误；
选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
选项D：向量在向量上的投影向量
为，D正确；
故选：
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数、方差和极差的计算，属于基础题．
根据图表信息逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大
于《流浪地球2》日票房平均数，故A正确；
对于B，由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，故B正确；
对于C，《满江红》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C错误；
对于D，《满江红》日票房的第25百分位数，第25百分位数是从小到大排序第2个数，《流
浪地球2》日票房的第75百分位数，第75百分位数是从小到大排序第6个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，故D正确．
故选：
12.【答案】5
【解析】【详解】由复数在复平面内对应的点分别为，
又三点是共线的，所以
13.【答案】或
【解析】【分析】采用平移法，找到异面直线与所成角或其补角，解三角形即可得答案.
【详解】在正方体中，因为，
故和所成角即为异面直线与所成角或其补角，
在中，，
故异面直线与所成角的大小，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质即可求解.
【详解】依题意，设AB中点M，AC的中点为S，则OM垂直平分AB，OS垂直平分AC，
则
以A为圆心，1为半径作圆，则B在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
O为中垂线交点，连接SO，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，而，
所以，则范围是
故答案为：
15.【答案】因为
，配方可得，
所以，即
，
，
所以方程
的根为
，，它们是共轭复数.
设，由于
，则
，
所以
，所以
，
可将问题转化为点到圆上点距离的范围，
由于到圆圆心
的距离为
，
所以点到圆
距离的最大值为，
点到圆
距离的最大值为
，
故
的范围为
【解析】利用配方法和进行求解，再利用共轭复数的定义判断即可
设，可得
，
，故将问题转化为点
到圆
距离的范围，
利用距离公式求解即可.16.【答案】解：设
，
则圆柱的体积为，解得
，
所以圆柱
的表面积为
因为
EF 是圆柱的母线，所以平面
因为平面ABF ，所以因为，平面
BEF ，
所以
平面
由题意可知，所以四边形ADEF是平行四边形，所以，
所以平面
因为，所以，，，
所以
因为平面
BEF，平面平面BEF，所以
因为，所以
所以，
所以
设点F到平面BDE的距离为h，
因为，
所以，解得
所以点F到平面BDE的距离为
【解析】本题考查圆柱的表面积与体积计算，考查利用等体积法求点面距离，考查线面垂直的判定与性质，属于中档题.
设，则圆柱的高为2r，根据体积求出r，再由圆柱的表面积公式求解；
利用线面垂直的判定定理证明平面BEF，平面BEF，根据即可求解. 17.【答案】解：由题意可得，
解得，
估计这200条鱼汞含量的样本平均数为
；
若汞的最大残留量超过即为汞含量超标，
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标；
设事件A为“甲购买的鱼汞含量有超标”，事件B为“乙购买的鱼汞含量有超标”
若顾客甲购买了2条，则甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买了1条，则乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
甲乙互不影响，即事件A与事件B相互独立，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为
，
即恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为
【解析】本题考查频率直方图，考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.
利用频率直方图的性质即可求解a的值；继而可估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
由题意可知汞的最大残留量超过即为汞含量超标，结合频率直方图即可估计进口的这批鱼中汞含量超标的鱼的数量；
设事件A为“甲购买的鱼汞含量有超标”，事件B为“乙购买的鱼汞含量有超标”，继而可求得和，甲乙互不影响，即可利用相互独立事件的概率乘法公式求解出恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
18.【答案】
，由三点共线，有，得
，
，
，
则，所以
【解析】利用向量的线性运算，用表示；
用表示，由三点共线，求实数的值；
利用向量数量积求向量的夹角.
19.【答案】解：若选①：由正弦定理得，
在中，，所以，
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
若选②：
由正弦定理得，
在中，，
所以
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
不论选①或②，均计算得，
由，可得，
两边平方可得，
即，
所以，当且仅当时取“
=”，
所以，所以.
【解析】本题考查利用余弦定理解决范围与最值、三角形面积公式，属于中档题.
根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C；
利用向量法，结合基本不等式求的面积的最大值.。