陕西省汉中市2018届高三数学下学期第二次教学质量检测试题理

陕西省汉中市届高三数学下学期第二次教学质量检测试题 理
本试卷共题，共分，共页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。

.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第卷 （选择题 共分）
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

．设集合}2|||{},0|{2
<=<-=x x N x x x M ，则( )
.=N M ∅ . M N M =
.M N M = .=N M R
．已知i 为虚数单位，复数z 满足2
(1)(1)i z i +=-，则||z 为( )
.2 . .2
1
.22
．总体由编号为，，
，的个个体组成。

如图,利用图中
的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取,每次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为( )
．要得到函数()cos 2f x x =的图像，可以将函数()sin 2g x x =的图像( )
.向左平移1
2个周期
.向右平移1
2个周期
.向左平移1
4
个周期
.向右平移1
4
个周期
．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( )
. 必要不充分条件 . 充分不必要条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件
．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取。

如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
．8π ．168π+ ．164π+ ．84π+ ．已知正数x ，y 满足20350
x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则11()()42x y
z =⋅的最小值为( )
．
．
116
．
132
．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的
一个交点为P ，若PF ＝，则双曲线的方程为( )
. 2213x y -= ．2213y x -= ．2212y x -= . 2212
x y -= ．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了户家庭分配到个村庄体验农村生活，要求将户家庭分成组，其中组各有户家庭，另外组各有户家庭，则不同的分配方案的总数是( )
． ． ． ．
．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a 、、，若20=++c b a ，ABC ∆的面积为310，
60=A ，则=a ( )
． ． ． ．
．已知函数()()1
33ln f x mx m x x
=-
-+，若对任意的()4 5m ∈，
，[]12 1 3x x ∈，，，恒有()()()12ln 33ln 3a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是(
)
．37[0,
]6 ．31( ]6-∞， ．31[,8]6 . 37
[,)6
+∞ 第Ⅱ卷 （非选择题 共分）
二、填空题:本题共小题，每小题分，共分。

．8(2展开式中3x 项的系数为 (用数字作答).
．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()n S n N +∈，且
123
112
a a a -=，则4S = ．
.已知0,0a b >>,圆2
2
420x y x y +-+=关于直线10ax by --=对称，则32a b
ab
+的最小值为 .
.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，
112,NB NC DM BN =⊥，若球O
的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ．
三、解答题：共分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第~题为必考题，每 个试题考生都必须作答。

第、题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共分。

.（本小题满分分）
已知二次函数2
(),()f x x ax x R =-∈的对称轴为直线2x =，数列{n a }的前n 项和
()n S f n =,n N +∈.
（）求数列{n a }的通项公式；
（）设2,n
n n C a n N +=+∈，求{n C }的前n 项和n T .
．（本小题满分分）
西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行。

开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格。

假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为
23、23、1
2
，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响。

（）求该新技术检测得分的概率；
（）记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望。

.（本小题满分分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，
PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝，AD ＝，AC ＝CD （）求证：PD ⊥平面PAB ；
（）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. ．（本小题满分分）
如图,椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是，长轴是圆
222:4C x y +=的直径。

点P 是椭圆1C 的下顶点，1l ，2l 是过点P 且互相垂直
的两条直线，1l 与圆2C 相交于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .
（）求椭圆1C 的方程；（）当ABD ∆的面积取最大值时，求直线1l 的方程. ．（本小题满分分）
已知函数x x x g ln sin 1
)(+⋅=
θ
在[，＋∞）上为增函数，且()πθ,0∈，
1
()ln m f x mx x x
-=-
-，m R ∈． （）求θ的值；（）若()x ϕ=()()f x g x -在[，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （）设2()e
h x x
=
，若在区间[1,]e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立， 求m 的取值范围．
（二）选考题：共分。

请考生在第、题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

．[选修—：坐标系与参数方程]（本小题满分分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩ (其中α为参数)，
曲线2C 的方程为2
2
(1)1x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系.
（）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；
（）若射线=06
π
θρ≥（）,与曲线1C ,2C 分别交于,A B 两点，求||AB .
．[选修—：不等式选讲]（本小题满分分）
已知函数()|3||2|f x x x =-++．
（）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （）在（）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：
11
1a b b c
+++≥．
参考答案一、选择题：
二、填空题： .7 .
5
三、解答题
. 解:()依题意，＝分
∴＝－. 分
当＝时，＝＝－＋＝；当≥时，＝－－＝－.
将带入成立, 所以＝－分
()由题知
＝225
n n
+-
23
121
12
(2+222)2(1+23)5
24-2
n
n n n
n
n
T c c c c n n
T n n
-
+
=++++=+++++++-
∴=+-
12
=24-2()
n
n
T n n n N
+
+
+-∈
所以分
. 解:()记“该新技术的三项指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格”分别为事件，，，则()＝，()＝，()＝，所以事件“该新技术检测得分为分”可表示为B.
所以该新技术量化检测得分为分的概率为
(B)＝()(B)()＝
2
3
×
1
3
×
1
2
＝
1
9
分
()ξ的所有可能取值为，，，.
由题意结合()知，(ξ＝)＝(A B C)＝××＝，分
(ξ＝)＝(B C＋A C＋A B)＝××＋××＋××＝.
(ξ＝)＝(C＋B＋A)＝××＋××＋××＝.
(ξ＝)＝()＝××＝. 分
所以随机变量ξ的分布列为
所以(ξ)
. ()证明: 因为平面⊥平面，平面∩平面＝，⊥，
所以⊥平面，所以⊥.分
又⊥，∩＝，所以⊥平面. 分
()解: 取的中点，连接，. 分 因为＝，所以⊥⊂≠平面，平面⊥平面， 所以⊥平面.因为⊂≠平面，所以⊥. 因为＝，所以⊥. 分
如图，建立空间直角坐标系－.由题意得， (，，)，(，，)，(，，)，(，－，)，(，，). 设平面的一个法向量为＝(，，)，则 即分
令＝，则＝，＝－.所以＝(，－，). 又＝(，，－)，所以〈，〉＝＝－. 所以直线与平面所成角的正弦值为分
.解 ()
由题意得：2222
2a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩
分 解得：1b =
,c =. 分
()设(，)，(，)，(，).由题意知直线的斜率存在，不妨设其为， 则直线的方程为＝－. 分
又圆：＋＝，故点到直线的距离＝， 所以＝＝分
又⊥，故直线的方程为＋＋＝.
由消去，整理得(＋)＋＝，分 故＝－.所以由弦长公式得＝分 设△的面积为，则＝·＝， 所以＝≤＝，
当且仅当＝±时取等号.所以所求直线的方程为＝±－. 分
.解：（）由题意，2
11()sin g x x x θ'=-
+
⋅≥在[)1,+∞上恒成立，即2
sin 1
0sin x x θθ⋅-⋅≥．分 ∵θ∈（，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， 分 只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（，π），得π
2
θ=
分 （）由（），()x ϕ2ln m
mx x x --．所以2
2
2()mx x m x x
ϕ-+'=． ∵()x ϕ在其定义域内为单调函数，
∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[，＋∞）恒成立．
220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即2
21x
m x +≥
， 而
2
2211x x x x =++，（2
1x x
+
），∴1m ≥． 分
220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即2
21x
m x +≤
在[，＋∞）恒成立， 而
221
x
x +∈（，]，0m ≤．综上，的取值范围是(][),01,-∞+∞． 分
（）2()2ln m e F x mx x x x
=-
--． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -
≤，22ln <0e
x x
--，所以在[，]上不存在一个0x 使得000()()()f x g x h x ->成立．
当0m >时，2222
2222(())'m e mx x m e
F x m x x x x -++=+-+=．
因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40m
me e
-->， 解得241e m e >
-故m 的取值范围是24(,)1
e
e +∞-． 分
.解:（)由sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线1C 的普通方程为2
213x y +=分
把cos ,sin x y ρθρθ==，代入2
2
(1)1x y -+=分
化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= 分 （）依题意可设1(,)6A π
ρ,2(,)6
B π
ρ，曲线的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=^
将6
π
θ=,(0)ρ≥代入曲线1C 的极坐标方程得
2
232
ρρ+=，解得1ρ分
将6
πθ=
,(0)ρ≥代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ=
所以12||||AB ρρ=-= 分
. 解(）若()|1|f x m +≥恒成立，即min ()|1|f x m +≥……分 由绝对值的三角不等式得，得 即，解得，所以 ……分 （）证明：由（Ⅰ）知，得……分
所以有 即 ……分。