专题28 圆的问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题28 圆的问题
一、基础知识
1.基本概念规律
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
3.与圆有关的公式
设圆的周长为r ，则：
（1）求圆的直径公式d=2r
（2）求圆的周长公式 C=2πr
（3）求圆的面积公式S=πr 2
4.扇形弧长面积公式
（1）弧长的计算公式
（2）扇形面积计算公式
5．圆柱侧面积体积公式
（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh
（2）圆柱的表面积公式：S 表=S 底×2+S 侧=2πr 2
+2πr h 1802360r n r n l ππ=⋅=2360r n s π⋅=lr s 2
1=或
6.圆锥侧面积体积公式
（1）圆锥侧面积计算公式
从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:
S圆锥侧=S扇形== πrl
（2）圆锥全面积计算公式:S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr2=πr（l ＋r）
二、解题要领
1.判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

三、本专题典型例题及其解析
【例题1】如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．
【例题2】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D． 70°
【例题3】如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
四、圆的问题训练题及其答案和解析
1.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
2．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
3．如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF•EN．
（1）求证：QN=QF；
（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径．
4.如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）
A．32°B．38°C．52°D．66°
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=．
6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）
A．70°B．55°C．35.5°D．35°
7．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=度．
8．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
9.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=600,AB=10,求线段CF的长，
10．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA 的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．。