2017-2018学年上海市南模中学高二下学期期末考试数学试题-解析版
上海市南模中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学---精校解析Word版
是虚数单位，复数满足，则【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．的虚部为故答案为：.点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．正方体中，异面直线和所成角的大小为【答案】【解析】分析：连接，三角形详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到，，而于点，故垂直于面故答案为：.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平【答案】.【解析】分析：由正四面体的棱长为，所以此四面体一定可以放在棱长为∴正方体的棱长为∴此四面体的体积为故答案为：．【答案】=a.故答案为：【答案】【解析】分析：设正三棱锥故答案为：.点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常正四棱柱的底面边长为，若和底面________【答案】tan60°=故答案为：的正方体的的中点，则直线EF被球O截得的线段长为【答案】，半径为，假设OD=，根据勾股定理得到故答案为：，二项式的展开式中含有的项，则项为，项为，当在复数范围内解方程，.【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把详解：原方程化简为），，∴原方程的解是z=﹣..点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有【答案】【解析】分析：分故答案为：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些及其渐近线和直线、轴旋转一周所得的几何体为，过的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出【答案】.平面上，将双曲线的一支及其渐近线与渐近线（利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为B.D.S=米，V=Sh=48、、视频若，则A. B. 1 C. 0 D..已知，项是为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1.B. C. D.【答案】人的方法为种；种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为则点Z到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于3，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为3，的二项展开式中的第【答案】二项式系数为，系数为【解析】分析：根据二项式系数的展开式得到结果，二项式系数为，系数为点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系的方程的两个根是、.为虚数且，求实数p，求实数【答案】(1) .根据韦达定理得到，，；，，若，即，∴，即，则；综上，或点睛：这个题目考查的是韦达定理在二次方程中的应用，无论是有两个实根（细（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度0.1cm），底面半径为）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4设高为，通过体积相等，求）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为2（秒）锥形沙堆的高度约为，，（1）求证：平面ABM⊥平面（2）求直线CD与平面.【解析】分析：距离的，，，求得，∴，，，∴，∴，所求距离点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰，他发现设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为2）由于(1) ，.时，恰做一道及格概率最大；；【解析】分析：）根据题意得到的即可，分且，且三种情况.，）① ；② ；，无解；综上，时，恰做一道及格概率最大；；。
2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版
绝密★启用前2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版一、单选题1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，当时，C错．故选：D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．2．给定空间中的直线及平面，条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线上有两个不同的点到平面的距离相等，如果两点在平面同侧，则；如果两点在平面异侧，则与相交：反之，直线与平面平行，则直线上有两个不同的点到平面的距离相等.故条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的必要非充分条件.故选B.点睛：明确：则是的充分条件，，则是的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题．3．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即其中由题意作出图形，，令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．故选：C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．4．已知椭圆，对于任意实数，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线所截得的弦长不可能相等的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同．排除A、B、D．详解：由数形结合可知，当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当过点（1，0）时，直线和选项C中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当时，直线和选项B中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为，在y轴上的截距为1；选项D中的直线斜率为，在轴上的截距为2，这两直线不关于轴、轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选：C．点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知集合，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．详解：根据题意可得，，由可得即答案为.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．6．（题文）若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：本题考查了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题7．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为__________．【答案】【解析】分析：根据题意，设的坐标为，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有，解可得的值，将的坐标代入抛物线的方程，计算可得的值，即可得答案．详解：根据题意，设的坐标为抛物线y=4x2，其标准方程为，其准线方程为若到焦点的距离为，到准线的距离也为1，则有解可得又由在抛物线上，则解可得故答案为：．点睛：本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．8．若，则__________．【答案】0【解析】分析：利用排列数公式和组合数公式性质求解即可.详解：由排列数公式和组合数公式性质可得.即答案为0.点睛：本题考查排列数公式和组合数公式性质，属基础题.9．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时．故答案为.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．10．关于的方程的两个根，若，则实数__________．【答案】【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．详解：当，即或，由求根公式得，得当，即，由求根公式得|得综上所述，或．故答案为：．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．11．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为．【答案】4【解析】试题分析：由题意12211242S=⨯⨯⨯+⨯=底，414V S h==⨯=底．考点：三视图与体积．12．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）【答案】36【解析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．然后再把这3组小球全排列，方法有种．再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，故答案为：36．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题13．设复数，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值.详解：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长，即答案为.点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..14．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等个游戏，并且各自独立地从个游戏中任选个进行游玩，每个游戏需要小时，则最后小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．【答案】【解析】分析：利用分步计数原理求出小明和小刚最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．详解：小明和小刚最后一小时他们所在的景点共有中情况小明和小刚最后一小时他们同在一个景点共有种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是点睛：本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式．15．设，其中实数，则__________．【答案】【解析】分析：由题，利用二项展开式即可求得.详解：根据题意，则即答案为.点睛：本题考查二项展开式及展开式的系数，属中档题.16．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则__________．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.三、解答题17．已知，且满足.（1）求；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；（2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设，则由得利用复数相等的定义可得，解得或．或．（2）当时，当时，|综上可得：.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．18．已知集合，设，判别元素与的关系.【答案】当，且时，；当或时，.【解析】分析：对变形并对分类讨论即可.详解：根据题意，故当，且时，；当或时，.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.19．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.【答案】（1）周长是；（2），定义域.【解析】分析：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，由题，，则代入椭圆方程得，可求，由此可求求梯形的周长.（2）由题可得，，由此可求，进而得到定义域.详解：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，，，∴代入椭圆方程得，∴，所以梯形的周长是；（2）得，∴，，定义域.点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．20．如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..详解：（1），，，∴∴，∴，两点在球上的球面距离；（2），面，，，∴，∴，∴与重合，∴，的面积，则四面体的体积.（3）设平面的法向量，得得平面的法向量，设两法向量夹角，，所以所成锐二面角的大小为.点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题. 21．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，联立得，求出，，可证；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，得到，根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．详解：（1）双曲线；（2）设直线的斜率，显然，联立得，，，；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，，根据得，整理得，∵，∴符合题目要求，存在直线．点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。
2017-2018学年上海市浦东新区高二下学期期末考试数学试题-解析版
绝密★启用前上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的（）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.2．已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.【答案】D【解析】略视频3．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 直线在平面内或平行【答案】D【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.4．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．抛物线的准线方程是________.【答案】【解析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.6．设复数满足，则＝__________.【答案】【解析】分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．【答案】【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.8．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.【答案】【解析】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.9．若复数满足，则的取值范围是________【答案】【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.10．—个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.【答案】【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.11．若复数为纯虚数，则实数=______.【答案】【解析】分析：纯虚数的表现形式是中，且，根据这个条件，列出关于的方程组，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，且，，故答案为.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.12．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.【答案】【解析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.13．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___．【答案】【解析】分析：由扇形的面积公式求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，由弧长公式得圆锥底面半径，由勾股定理求得圆锥的高，由圆锥的体积公式可得结果.详解：如图，设扇形的半径为，则，即，圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，由，解得，则圆锥的高为，圆锥的体积为，故答案为.点睛：本题考查圆锥的体积公式，圆锥的侧面展开图、考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥侧面展开图中的量与圆锥中的量之间的关系是解题的关键，本题属于中档题.14．球的半径为，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为和，则这两个平面之间的距离是_______.【答案】7或1【解析】分析：两条平行的平面可能在球心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论，分别利用勾股定理求解即可.详解：球心到两个平面的距离分别为，，故两平面之间的距离（同侧）或（异侧），故答案为或.点睛：本题考查球的截面性质，属于中档题.在解答与球截面有关的问题时，一定要注意性质的运用.15．三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：设的中点为，连接，由余弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设的中点为，连接，则是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范围是，为故答案为.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.16．给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.【答案】④【解析】分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据公理可判定④正确.详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误；③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.三、解答题17．已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．【答案】1【解析】分析：设两根为、，则，，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则，，得，．所以．点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.18．如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.【答案】16【解析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：∵∴为与所成角且∵，∴点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19．(6’+9’)已知双曲线，为上的任意点。
2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为．2．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为．8．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是cm．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4．【解答】解：抛物线y2＝16x焦点在x轴的正半轴，2p＝16，∴＝4∴抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4故答案为：x＝﹣42．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝2﹣3i．【解答】解：由zi＝﹣3+2i，得z＝，∴．故答案为：2﹣3i．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V＝π×r3＝，设这个球的半径r＝2，则4πr2＝16π，故答案为：16π．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为【解答】解：如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN．∠CMN为P A与CM所成的角（或所成角的补角），设P A＝2，则CM＝，MN＝1，CN＝，由余弦定理得：∴cos∠CMN＝＝＝．故答案为：．5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]【解答】解：∵复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，∴坐标系中，一个点到（0，1）和（0，﹣1）的距离和为2，这个点在y轴两个点之间，设点Z为（0，m），则﹣1≤m≤1，|z﹣1﹣i|＝|mi﹣1﹣i|＝，m＝1时，|z﹣1﹣i|min＝＝1，m＝﹣1时，|z﹣1﹣max＝＝．∴|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V＝＝．故答案为：．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为﹣1．【解答】解：复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，则a2﹣a﹣2＝0且a2﹣3a+2≠0 解得a＝﹣1故答案为：﹣18．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．【解答】解：∵椭圆的焦点为F（±3，0），顶点为A（±5，0），∴以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是．故答案为：．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R＝3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r＝1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V＝．故答案为：．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是1或7cm．【解答】解：球的半径为R＝5cm，设两个截面圆的半径别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2；则r1＝3cm，r2＝4cm．如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即d2﹣d1＝＝4﹣3＝1（cm）；如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1＝＝4+3＝7（cm）．∴这两个平面间的距离为1cm或7cm．故答案为：1或7．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是（0，a）【解答】解：∵三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，取AB的中点D，连接VD，CD，则VD＝CD＝，在△VCD中VC∈（﹣，+）＝（0，），故答案为：（0，）12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是④【解答】解：①三点确定一个平面不正确，应为不共线的三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面不正确，应为一条直线和直线外一个点确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行不正确，空间里还可能相交或异面；④平行于同一直线的两直线平行正确．故答案为：④．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行【解答】解：∵＝﹣6+2×3+0＝0，∴⊥．∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．故选：D．16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于（1），在复平面内，根据复数模长的几何意义知，|z1+z2|、|z1|和|z2|分别对应三角形的三边，则|z1+z2|＜|z1|+|z2|，若z1或z2＝0，或z1、z2对应的向量方向相同时，有|z1+z2|＝|z1|+|z2|，综上，|z1+z2|≤|z1|+|z2|成立，（1）正确；对于（2），复平面内，设z1、z2对应的向量分别为、，则|z1•z2|＝|•|＝||×||×|cos＜，＞|≤||×||＝||•||，（2）正确；对于（3），设z1＝r1（cosθ1+sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），z3＝r3（cosθ3+i sinθ3），则（z1•z2）•z3＝{r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]}•r3（cosθ3+i sinθ3）＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．z1•（z2•z3）＝r1（cosθ1+i sinθ1）•{r2r3[（cos（θ2+θ3）+i sin（θ2+θ3）]}＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．∴（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），（3）正确；综上，正确命题的个数是3个．故选：D．三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．【解答】解：由题意可得：△＝k2﹣4（k2﹣2k）＜0，化为：3k2﹣8k＞0，解得k＜0，或k．设两根为：z 1，，|z1|＝||，则＝1＝k2﹣2k，解得k＝1+，或k＝1﹣．因此k＝1﹣．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，∴AA1∥BB1，∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，且tan∠CB1B＝＝，…（4分）∵BC＝AB＝2，∴BB1＝4，…（6分）∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝Sh＝22×4＝16．…（8分）19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；【解答】解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，可得x12﹣4y12＝4，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y＝0和x+2y＝0，点P到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•＝＝．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数；（2）设点P的坐标为（x，y），则|P A|2＝（x﹣3）2+y2＝（x﹣3）2+﹣1＝（x﹣）2+，由|x|≥2，当x＝时，|P A|2的最小值为，即|P A|的最小值为．20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在Rt△AOB中，由∠OAB＝，AB＝4，得OB＝2，即圆锥底面半径为2，圆锥的侧面积S侧＝πrl＝8π，故圆锥的全面积S全＝S侧+S底＝8π+4π＝12π；（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，则∠CDM为异面直线AO与CD所成角．∵AO⊥平面OBC，∴DM⊥平面OBC，则DM⊥MC，在Rt△AOB中，∵AO＝，∴DM＝．∵D是AB的中点，∴M是OB的中点，则OM＝1，可得CM＝．在Rt△CDM中，tan，∴，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan．21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．【解答】解：（1）由已知圆x2+y2﹣2x＝0，易得F（1，0），则抛物线的标准方程C为y2＝4x；（2）设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|P A|+|PF|的值最小，必P，A，B三点共线，可得P（x0，2），22＝4x0可得x0＝1．即P（1，2），此时|P A|+|PF|＝3+1＝4；（3）证明：F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程y2＝4x可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由抛物线的定义可得+＝+＝+＝＝＝1．。
上海市上海中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2018年上海中学高二下期末数学试卷一、填空题（36分）：1. 关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 【答案】0或2或4【解析】【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．2. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.【答案】2【解析】【分析】先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9， 样本平均数为1(56789)75x =++++=， ∴样本方差2222221[(57)(67)(77)(87)(97)]25S =-+-+-+-+-=， ∴总体方差的估计值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3. 5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b=________. 【答案】1【解析】【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得a b的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==，而各项的二项式系数和为5232b ==， ∴1a b=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 4. 从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为_______. 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算5. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___【答案】76【解析】【分析】确定系统抽样间隔16k =，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案． 【详解】由系统抽样知，抽样间隔80165k ==， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．【答案】1:【解析】∵三个球的表面积之比是1:2:3，∴三个球的半径之比是∴三个球的体积之比是1:7. 北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB R （R 为地球半径），则A ，B 两点的球面距离为________. 【答案】3R π 【解析】【分析】先求出北纬45︒圈所在圆的半径，是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，设地球的中心为O ，解三角形求出AOB ∠的大小，利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【详解】解：北纬45︒圈所在圆的半径为2R (R R 为地球半径），∴(R θθ=是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角）， 故2πθ=，∴线段AB R =，3AOB π∴∠=，A ∴、B 这两地的球面距离是3R π， 故答案为：3R π． 【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．8. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________． 【答案】25【解析】试题分析：口袋中五个球分别记为1,2,,,a b c 从中摸出两球的方法有：1,2;1,;1,;1,;2,;2,;2,;,;,;,a b c a b c a b a c b c 共10种，其中颜色相同的有1,2;,;,;,a b a c b c 共四种，有古典概率的求法可知42105P ==． 考点：古典概率的求法．9. 设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是________．【答案】4【解析】【分析】由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，12n n B -=，若使得A n ≥B n ，即n （n+1）≥2n ，可求n .【详解】∵（1+x ）n+1的展开式的通项为T r+11r r n C x +=，由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，又∵n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，∴12n n B -=， ∵A n ≥B n ，∴2112n n C -+，即n （n+1）≥2n当n ＝1时，1×2≥2，满足题意；当n ＝2时，2×3≥22，满足题意；当n ＝3时，3×4≥23，满足题意；当n ＝4时，4×5≥24，满足题意；当n ＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n≥5时，n （n+1）＜2n ，∴n ＝4. 故答案为4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．10. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有12234236C C C =种，故所求的概率P =3681=49. 考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.11. 若对于任意实数x ，都有1021001210(2)(2)(2)xa a x a x a x =+++++++，则3a 的值为_________.【答案】15360-【解析】【分析】 根据题意，分析可得1010[(2)2]x x =+-，求出其展开式，可得3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，由二项式定理求出3(2)x +项，分析可得答案．【详解】解：根据题意，1010[(2)2]x x =+-，其展开式的通项为10110(2)(2)r r r r T C x -+=+⨯-， 又由1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x =+++++⋯++，则3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，令7r =可得：7373810(2)(2)15360(2)T C x x =+⨯-=-+； 即315360a =-；故答案为：15360-．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．12. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）【答案】528【解析】(1)当三辆车都不相邻时有3348192A ⨯=(种)(2)当两辆车相邻时有33333333333424242434288A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(种)(3)当三辆车相邻时有334248A ⨯=(种)则共有19228848528++=(种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．二、选择题（16分）：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 43π+B. 23π+C. 43π+D. 423π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅢC. Ⅲ和ⅣD. Ⅳ和Ⅰ【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件；在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件；在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件；在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B ．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15. 由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A. 1212V V = B. 1223V V = C. 12V V =D. 122V V =【答案】C【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间， 用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-， 22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16. a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【答案】C【解析】【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1D ，0，0)，(0A ，0，1)，直线a 的方向单位向量(0a =，1，0)，||1a =，直线b 的方向单位向量(1b =，0，0)，1b ||=，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标(cos B θ'，sin θ，0)，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0θ∈，2)π，AB ∴'在运动过程中的向量，(cos AB θ'=，sin θ，1)-，||2AB '=， 设AB '与a 所成夹角为[0α∈，]2π， 则2cos |||sin |[012αθ==∈⨯，2]， [4πα∴∈，]2π，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为[0β∈，]2π，2cos |||cos |12βθ==⨯， 当AB '与a 夹角为60︒时，即3πα=， 22|sin |cos 2cos 3πθα===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0β∈，]2π，3πβ∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（48分）17. 已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ，求此圆柱的体积.【答案】300π【解析】【分析】根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．【详解】解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ，由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径， ∴2226810r AC ==+=，得=5r ，由//AB CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角，即arctan2PBA ∠=，tan 2PBA ∴∠=．在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，∴圆柱的体积22512300V r PA πππ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．18. 求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数.【答案】3333335002C ⋅或3343345002C ⋅【解析】【分析】根据题意，求出500(12)x +的展开式的通项，求出其系数，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解可得r 的值，代入通项中计算可得答案．【详解】解：根据题意，500(12)x +的展开式的通项为1500(2)r r r T C x +=，其系数为5002r r C ⨯，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩， 即11500499(5001)500499(5002)22!(1)!500499(5001)500499(500)22!(1)!r r r r r r r r r r r r -+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⎧⎪-⎪⎨⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⎪⎪+⎩解可得：333334r ，故当333r =或334r =时，展开式中项系数最大，则有4334334333355002T C x =，3333333333345002T C x =； 即系数最大的项的系数为3335003332C 或4335004332C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19. 如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED 与弧EC 交于点G ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，2FC r =.（1）求异面直线ED 与FC 所成角的大小；（2）将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.【答案】（1）90︒；（2）3415r π； 【解析】【分析】 （1）由FC ⊥平面BED ，利用线面垂直的性质定理可得FC ED ⊥，即可得到异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，利用余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为F ，即可得到该圆锥的体积V ．【详解】解：（1）FC ⊥平面BED ，ED ⊂平面BED ，FC ED ∴⊥，∴异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，由余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=， 由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为2225CG r ππ=，高为2FC r =． 该圆锥的体积为2312423515V r r r ππ=⨯⨯=． 【点睛】熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键．20. 老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？【答案】（1）26261440A A =；（2）52563600A A =；（3）2222352116720C A A A A =； 【解析】【分析】（1）利用捆绑法即可求出，（2）利用插空法即可求出，（3）利用捆绑和插空法，即可求出．【详解】解：（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有26261440A A =种，（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有52563600A A =种，（3）先安排老王与老况，在形成的3个空中选2个插入小郭与小周，在形成的5个空中选1个插入老顾，最后将两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，选1个位置插入到其余5人形成的6个空中故有2222352116720C A A A A =种． 【点睛】本题考查了简单的排列组合，考查了相邻问题和不相邻问题，属于中档题.21. 在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）38 【解析】【分析】（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r h ππ==+，进一步求得第1n +个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37可得r 与h 的关系，则答案可求． 【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，内接等边圆柱的底面半径为a ，则由三角形相似可得：2a r a h r -=，可得2rh a r h=+． 其体积233222()2rh V a a a r h πππ===+． 设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ， 则其体积3322()2n rh V a r hππ==+，再设第1n +个等边圆柱的底面半径为b ，则其外接圆锥的底面半径为2rh a r h =+， 高为22ah h r r h =+， 则第1n +个等边圆柱的体积223331222222()()2(2)22n rh h rh r h r h V b rh h r h r h r h ππ+++===++++． ∴31()2n n V h V r h +=+为定值， 则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以312()2rh V r h π=+为首项，以3()2h r h +为公比的等比数列； （2）解：原来圆锥的体积为213r h π， 这些等边圆柱的体积之和为32312232()214631()2rh V r h r h h q r rh h r h ππ+==-++-+． 由232223146373r h r h r rh h ππ=++，得222320r rh h +-=， 2h r ∴=．则最大的等边圆柱的体积为34r π，圆锥的体积为323r π，体积之比为38．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题．。
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二(上)开学数学试卷
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（上）开学数学试卷一.填空题1．（3分）已知平面向量，，且∥，则=．2．（3分）计算：=．3．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=．4．（3分）等比数列{a n}中，已知a2=4，，则通项公式为．5．（3分）化简：=．6．（3分）函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称的充要条件是．7．（3分）等比数列{a n}中，各项的和a1+a2+…+a n+…=，则a1的取值范围是．8．（3分）函数（x≤0）的反函数是．9．（3分）函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，则实数a的取值范围是．10．（3分）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．二.选择题11．（3分）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n12．（3分）已知，，，则向量在向量上的投影为（）A．B．3 C．4 D．513．（3分）要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数的图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移14．（3分）△ABC中，若，，，则向量可用、表示为（）A． B．C． D．15．（3分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）16．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：，λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心17．（3分）若函数f（x）的值域是，则函数的值域是（）A． B．C．D．18．（3分）定义函数，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三.解答题19．定义在R+的增函数，对任意的x，y∈R+，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．（1）求f（9）；（2）若f（a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（其中S为△ABC的面积）．△ABC（1）求；=3，求a．（2）若b=2，△ABC的面积S△ABC21．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据log15=﹣14.85）23．已知函数f（x）=log a（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知平面向量，，且∥，则=（﹣4，﹣8）．【分析】由∥，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式，求出m，然后根据平面向量的坐标运算可求出所求．【解答】解：∵∥∴1×m=2×（﹣2）∴m=﹣4∴=2（1，2）+3（﹣2，﹣4）=（﹣4，﹣8）故答案为：（﹣4，﹣8）【点评】本题主要考查向量的共线定理，以及平面向量共线（平行）的坐标表示与平面向量的坐标运算，属于基础题．2．（3分）计算：=﹣4．【分析】根据极限的运算法则，对所求极限的代数式进行转化、求值即可．【解答】解：====﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．3．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=2n﹣1．【分析】利用倒序相加法求出f（n），进一步求得f（n+1），与f（n）作差后得答案．【解答】解：∵f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+n=2×+n=n2．∴f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2﹣n2=2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查倒序相加法求数列的和，考查了学生观察问题和分析问题的能力，是中低档题．4．（3分）等比数列{a n}中，已知a2=4，，则通项公式为a n=（﹣1）n•24﹣n．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解设：等比数列{a n}的公比为q，∵a2=4，，∴，解得q=﹣．∴a n==（﹣1）n•24﹣n．故答案为：a n=（﹣1）n•24﹣n．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（3分）化简：=﹣sinθ．【分析】根据诱导公式的口诀”奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号，对式子进行化简．【解答】解：式子===﹣sinθ，故答案为：﹣sinθ．【点评】本题考查了诱导公式的应用，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号，一定注意符号问题，这也是易错的地方．6．（3分）函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称的充要条件是（k∈Z）．【分析】直接利用整体思想和函数的图象关于y轴对称的条件得出结论．【解答】解：函数y=3sin（2x+5θ）的图象关于y轴对称，则：5θ=kπ（k∈Z），解得：（k∈Z）．故答案为：（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用．7．（3分）等比数列{a n}中，各项的和a1+a2+…+a n+…=，则a1的取值范围是．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由=和题意，求出公比q的表达式，再由公比的范围列出不等式组，可求得a1的取值范围【解答】解：依题意知，等比数列的公比满足|q|＜1且q≠0所以，则=．∴=那么：q=1﹣2a1．则，解得：或．故答案为：【点评】本题考查数列的求和与数列的极限，求得q是解题的关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题8．（3分）函数（x≤0）的反函数是（x≥﹣1）．【分析】先求函数（x≤0）的值域，从而确定反函数的定义域，再解方程化出x=﹣，从而写出反函数．【解答】解：∵（x≤0），∴y≥﹣1，∴（y+1）3=x2，∵x≤0，故x=﹣，函数（x≤0）的反函数是（x≥﹣1）．故答案为：（x≥﹣1）．【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．9．（3分）函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[12，+∞）．【分析】由函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，可得t=x2﹣ax+3a能够取到大于0的所有数，再由判别式≥0求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）的值域为R，∴t=x2﹣ax+3a能够取到大于0的所有数，则△=（﹣a）2﹣12a≥0，解得a≤0或a≥12，∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[12，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[12，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，考查数学转化思想方法，是中档题．10．（3分）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．二.选择题11．（3分）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n【分析】根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到a n的值即可．【解答】解：由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1则a n=a1q n﹣1=（﹣2）n﹣1故选：A．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．12．（3分）已知，，，则向量在向量上的投影为（）A．B．3 C．4 D．5【分析】向量在向量上的投影为，代入数据计算即可．【解答】解：向量在在向量上的投影为=故选：A．【点评】本题考查向量投影的概念，牢记公式是前提，准确计算是关键．13．（3分）要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数的图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin2x的图象，需要将函数=sin[2（x ﹣）]的图象，向左平移单位即可．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，考查平移的原则的应用，基础题．14．（3分）△ABC中，若，，，则向量可用、表示为（）A． B．C． D．【分析】根据向量加法的三角形法则表示出．【解答】解：∵，∴==﹣，∴===，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．15．（3分）若f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可．【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，所以有，解得≤a＜，故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，函数单调性的性质，属中档题．16．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：，λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】取线段BC的中点E，则=2．动点P满足：，λ＞0，则=2．即可判断出结论．【解答】解：取线段BC的中点E，则=2．动点P满足：，λ＞0，则=2．则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．【点评】本题考查了向量平行四边形法则、三角形重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（3分）若函数f（x）的值域是，则函数的值域是（）A． B．C．D．【分析】令f（x）=t，则t∈，然后利用“对勾函数”的单调性求函数的值域．【解答】解：令f（x）=t，则t∈，∴函数化为y=t+，t∈，该函数在[，1]上为减函数，在[1，4]上为增函数，而f（1）=2，f（）=f（4）=，∴函数的值域是[2，]．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数的值域，是基础题．18．（3分）定义函数，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由题意可得：函数，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可．【解答】解：由题意可得：函数，即，作出其图象如图，从图象上可以看出：（1）该函数的值域为[﹣，1]；故（1）错；（2）当且仅当或x=2kπ（k∈Z）时，该函数取得最大值；帮（2）错；（3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错；（4）当且仅当时，f（x）＜0，（4）正确．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的有关性质，如周期性，单调性，最值等性质，考查运算求解能力，属于基础题．三.解答题19．定义在R+的增函数，对任意的x，y∈R+，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．（1）求f（9）；（2）若f（a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．【分析】（1）令x=y=3得出f（9）；（2）根据函数的单调性和性质及定义域列不等式组求出a的范围．【解答】解：（1）f（9）=f（3•3）=f（3）+f（3）=2．（2）f（a）＞f（a﹣1）+2=f（a﹣1）+f（9）=f（9a﹣9），又f（x）是R+的增函数，∴，解得1＜a＜．∴a的取值范围是．【点评】本题考查了抽象函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（其为△ABC的面积）．中S△ABC（1）求；=3，求a．（2）若b=2，△ABC的面积S△ABC【分析】（1）先根据向量的数量积运算表示出代入到求出sinA、cosA的值，再根据诱导公式将化简为A的关系，代入即可得到答案．（2）根据（1）中sinA的值和三角形面积公式可求得c的值，再由余弦定理可求a得值．【解答】解：（1）∵，∴∴∴∴==．（2）∵sinA=．=，得3=，解得c=5．由S△ABC∴a2=b2+c2﹣2bccosA=4+25﹣2×2×5×=13，∴【点评】本题主要考查向量数量积的运算、三角形的面积公式、余弦定理的应用．主要考查学生的综合能力．21．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．【分析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．=sin2x﹣﹣=sin（2x﹣）﹣1∴T==π∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴C=∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②由①②可得a=1，b=2．【点评】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据log15=﹣14.85）【分析】（1）当n=1时，a1=S1=1﹣5a1﹣85，求出a1﹣1=﹣15，当n≥2时，a n=S n =1﹣5a n+5a n﹣1，从而6a n=5a n﹣1+1，由此能证明{a n﹣1}是首项为﹣15，公﹣S n﹣1比为的等比数列．（2）由a n﹣1=﹣15•（）n﹣1，得S n=n+75•（）n﹣1﹣90．由此能求出n=15时，S n取得最小值．【解答】证明：（1）当n=1时，a1=S1=1﹣5a1﹣85，解得a1=﹣14，则a1﹣1=﹣15．=（n﹣1）﹣5a n﹣1﹣85，∵当n≥2时，S n﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=1﹣5a n+5a n﹣1，∴6a n=5a n﹣1+1，﹣1），即a n﹣1=（a n﹣1∴{a n﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n﹣1=﹣15•（）n﹣1，∴S n=n﹣5[1﹣15•（）n﹣1]﹣85=n+75•（）n﹣1﹣90．由a n=1﹣15•（）n﹣1＞0，即15•（）n﹣1＜1，解得n＞log+1≈15.85．∴当n≤15时，a n＜0；当n≥16时，a n＞0．故n=15时，S n取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查前n项和取最小值时项数n的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．已知函数f（x）=log a（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．【分析】（1）由函数f（x）是奇函数，得对定义域任意x，恒有f（﹣x）+f（x）=0，由此能求出实数m的值．（2）得=，当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上递减，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上递增，利用定义法能进行证明．（3）由题意知f（x）是定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）的奇函数．当（n，a ﹣2）⊆（﹣∞，﹣1），即0＜a＜1时，f（x）在（n，a﹣2）上为增函数；当（n，a﹣2）⊆（1，+∞），即1≤n≤a﹣2，有a＞3，在（n，a﹣2）上f（x）为减函数．再由由值域为（1，+∞），能求出实数a与n的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log a（a＞0，a≠1）是奇函数，∴对定义域任意x，恒有f（﹣x）+f（x）=0，即=0，解得m=﹣1或m=1（舍去），∴实数m的值为﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）得=，当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上递减，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上递增．现证明如下：设t==1+，∀x1＞x2＞1，t1﹣t2==＜0，∴t1＜t2，当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（1，+∞）上单调递减；当0＜a＜1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2），即f（x）在（1，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣（8分）（3）由题意知f（x）是定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）的奇函数．①当（n，a﹣2）⊆（﹣∞，﹣1），即a﹣2≤﹣1，即0＜a＜1时，由（2）知f（x）在（n，a﹣2）上为增函数，由值域为（1，+∞），得，无解．②当（n，a﹣2）⊆（1，+∞），即1≤n≤a﹣2，有a＞3，由（2）知在（n，a﹣2）上f（x）为减函数，由值域为（1，+∞），得，解得a=2，n=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用．。
2017-2018年上海市南模中学高三下3月月考数学试卷及答案
2018年南模中学高三下3月月考试卷一、填空题（第1到6题，每题4分，第7到12题，每题5分） 1、若复数iia 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数=a 2、若直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221（t 为参数）的方向向量与直线14=+ky x 的法向量平行，则常数=k3、一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为4、若存在非负整数x 使122<xm xx成立，则实数m 的取值范围是 5、在8张奖券中有一、二、三等奖券各一张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人两张，不同的分配奖券情况有 种6、设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+403012235y x y x y x ，目标函数y x z 56+=的最大值等于7、长方体1111D C B A ABCD -内接于球O ，且2==BC AB ，221=AA ，则B A ,两点之间的球面距离为8、已知x 是1、2、x 、4、5五个数据的中位数，又知1-、5、x1-、y 这四个数据的平均数为3，则y x +的最小值为 9、函数()13sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 在区间[)b a ,内恰有30个零点，则a b -的取值范围是 10、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项和按如下规律排列：1121231234121,,,,,,,,,,....,,,...,,...2334445555n n n n- 有如下运算和结论：①8324=a ； ②数列,...,,,10987654321a a a a a a a a a a ++++++是等比数列；③数列,...,,,10987654321a a a a a a a a a a ++++++的前n 项和42nn T n +=；④若存在正整数k ，使10<k S ，101≥+k S ，则75=k a 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的编号）11、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1,21,32x x x x x x x f ，设R a ∈，若关于x 的不等式()a x x f +≥2在R 上恒成立，则a 的取值范围是12、已知两个不相等的非零向量→→b a ,，两组向量→→→→→54321,,,,x x x x x 和→→→→→54321,,,,y y y y y 均由2个→a 和3个→b 排列而成，记→→→→→→→→→→⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=5544332211y x y x y x y x y x S ，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①S 有5个不同的值；②若→→⊥b a ，则min S 与→a 无关；③若→→b a //，则min S 与→b 无关；④若→→>a b 4，则0min >S ；⑤若→→=a b 2，2min 8→=a S ，则→a 与→b 的夹角为4π。
南模中学高二期末(2017.6)
直线 y 1 和 y 1围成的封闭图形记为 D ，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Q，过
(0, y) (| y | 1) 作 Q 的水平截面，所得截面面积为 4 1 y2 8 ，试利用祖暅原理，一
个平放的圆柱和一个长方体，得出 Q 的体积为
二. 选择题
11. 三棱锥 P ABC 中，D、E 分别为 PB、PC 的中点，则三棱锥 D ABE 的体积与三棱锥
B. 1 a ， 4 a
C. 1，4
D. 1， 4 a
13. 设 f (x) x3 lg(x x2 1) ，则对任意实数 a 、b ，“ a b 0 ”是“ f (a) f (b) 0 ”
的（ ）条件 A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
14. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为线段 B1D1 上的一个动点，则下列错误的是（ ）
则这组数据为
（从小到大排列）
9. 若 x M ，且 1 M ，则称集合 M 是“兄弟集合”，在集合 A {2,0, 1 , 1 ,1, 2,3, 4} 中
x
32
的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率是
10. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x 1)2 y2 1 (x 1) 和 (x 3)2 y2 1 (x 3) ，两条
（2）求展开式中所有奇数项的系数和.
19. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点. （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）设二面角 D AE C 为 60°， AP 1， AD 3 ，求三棱锥 E ACD 的体积.
20. 4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法； （2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球的总分不少于 5 分，则有 多少种不同的取法； （3）若将取出的 4 个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出 2 个球，然后放回箱子中” 为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到 2 个红球并且恰有一次取到 2 个白球的概率.
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2018年高二数学文下学期期末试题含解析
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2018年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数()满足且时,,函数,则函数在区间内零点的个数为( )A. B. C.D.参考答案：C2. 如果执行右图的程序框图，那么输出的s＝()．A．10 B．22 C．46 D．94参考答案：C略3. 直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=;C.a=,b=5;D.a=, b=.参考答案：B略4. 设和是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足,那么的面积是（）A.1B.C.2D.5参考答案：A5. 曲线在点处的切线倾斜角为（）.A．B．C．D．参考答案：A6. 设向量a，b是非零向量，则“a b=”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：a b=是a∥b，但a∥b a b=，故选A.考点：1.向量相等和平行的定义；2. 充分条件、必要条件、充要条件.7. 若，则等于（）A．-1 B．1 C．0D．无法确定参考答案：A8. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则A. B. C.D. 4参考答案：C9. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)。
如果抛物线的焦点为F，那么等于（）A． 5 B．6 C． D．7参考答案：D略10. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列4个命题中，正确的是（写出所有正确的题号）．（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”（2）“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”是真命题（4）若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0．参考答案：（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题可判断（1）；根据充要条件定义，可判断（2）；判断原命题的逆否命题的真假，可判断（3）；写出原命题的否定命题可判断（4）【解答】解：（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故（1）错误；（2）“x2﹣5x﹣6=0”?“x=﹣1，或x=6”，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故（2）正确；（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”的逆否命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，故原命题也为真命题，故（3）正确；（4）若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，故（4）错误．故答案为：（2）（3）12. 已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．参考答案：13. 已知直线与直线之间的距离是1，则m= ▲_参考答案：2或-814. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是．参考答案：24【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先将2名男生安排在两端，②、将3名女生全排列，排在男生中间，分析排好后的空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、两端站男生，将2名男生安排在两端，有种情况，②、将3名女生全排列，排在男生中间，有种顺序，排好后，除去2端，有2个空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，有2种情况，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：24．15. 设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．参考答案：[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y ﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．16. 用数学归纳法证明：“”，第一步在验证时，左边应取的式子是＿＿＿＿.参考答案：17. 若命题，则________________。
【精选试卷】上海上南中学东校数学高二下期末复习题(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13882]在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形2．(0分)[ID ：13877]函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-3．(0分)[ID ：13876]已知tan 2α=，则2cos α=（ ） A ．14B ．34C ．45D ．154．(0分)[ID ：13849]将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．(0分)[ID ：13888]平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A 3B 2C ．2D ．36．(0分)[ID ：13865]在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直7．(0分)[ID ：13864]在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+B ．CP a b =-C ．12CP a b =- D ．1233CP a b =+ 8．(0分)[ID ：13863]已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．(0分)[ID ：13861]在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形10．(0分)[ID ：13847]若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π6(k ∈Z )x C ．x =kπ2−π12(k ∈Z )D ．x =kπ2+π12(k ∈Z )11．(0分)[ID ：13837]已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14-B ．14C ．12-D ．1212．(0分)[ID ：13922]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：13913]已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦14．(0分)[ID ：13908]已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．4315．(0分)[ID ：13901]已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）A ．n θ随着n 的增大而增大B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大二、填空题16．(0分)[ID ：14021]已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___．17．(0分)[ID ：14012]已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()PA PB PC +⋅=__________．18．(0分)[ID ：13997]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．19．(0分)[ID ：13992]已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b =_________．20．(0分)[ID ：13980]已知向量(12,)a k =，(1,14)b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________．21．(0分)[ID ：13978]已知函数()cos()5f x x π=-的对称轴方程为__________． 22．(0分)[ID ：13976]将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．23．(0分)[ID ：13955]已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．24．(0分)[ID ：13935]函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<< 的部分图象如图所示，则ϕ= ________.25．(0分)[ID ：13930]在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.三、解答题26．(0分)[ID ：14093]已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m)．（1）若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数m 满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．27．(0分)[ID ：14054]已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=．（1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值．28．(0分)[ID ：14046]如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03πθ<≤，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ； （2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值． 29．(0分)[ID ：14042]已知函数2()sin 232cos 2f x x x x =⋅． （1）求()f x 的最小正周期； （2）若[,]84x ππ∈，且()1f x =，求x 的值． 30．(0分)[ID ：14034]设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A2．C3．D4．C5．C6．D7．D8．B9．C10．C11．B12．D13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力17．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义18．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F 是三角形ABC的重心设AB19．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题20．【解析】由题意则21．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》22．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为24．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AB DC可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵AB DC =，∴AB 与DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又0AC BD ⋅=， ∴AC BD ⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD 为菱形． 故选A ． 【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】 由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==, 2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=， 即5sin()16πφ+=， 2πφ<，3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，由2222cos cos cos sin αααα=+，化为正切即可求解. 【详解】22222cos 1cos cos sin 1tan ααααα==++, 且tan 2α=，∴211cos 145α==+， 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.4．C解析：C 【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点、、A B C 必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误 故选D.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用向量三角形法则得到：1212++3333CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】利用向量三角形法则得到：221212++()++333333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==故选：D 【点睛】本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.8．B解析：B【分析】先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.【点睛】本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π12,k ∈Z ，即平移后的函数的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z )，故选C ．解析：B 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.13．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=，∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=，∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]，故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．14．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-.故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．15．B解析：B 【解析】 【分析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】 先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅=12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义 解析：2-【解析】 【分析】先用中点公式的向量式求出PA PB +，再用数量积的定义求出()PA PB PC +⋅的值． 【详解】2PA PB PO +=，()2211cos1802PA PB PC PO PC ο∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义．18．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．19．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题【解析】 【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b . 【详解】()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，故()221,212b b ==+=， 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.20．【解析】由题意则 解析：6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k=-．21．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》 解析：ππ,5x k k z =+∈【解析】 分析：令=,5x k k z ππ-∈，解出即可.详解：函数()cos 5f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为=,5x k k z ππ-∈，,5x k k z ππ=+∈故答案为：ππ,5x k k z =+∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》22．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），24．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk ∈Z ∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中 解析：3π-【解析】 ∵34T =512π −(−π3)=3 4π，∴T =π，∴ω=2 把(512π,2)代入，得2sin(56π+φ)=2⇒56π+φ=π2+2kπ， ∴φ=−π3+2kπ，k ∈Z ，∵ππ22ϕ-<<，∴φ=3π-， 点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想解析：垂心 【解析】 【分析】根据向量运算,用,,HA HB HC 表示出向量,,CA AB BC ,可得HC AB ⊥,从而可得. 【详解】因为BC HC HB =-,CA HA HC =-,AB HB HA =- 所以2222)(()HC HA HB HB HA HC +=--+ 整理得()0HC HB HA ⋅-=,0HC AB ⋅=,即AB HC ⊥; 同理可得AC HB ⊥,BC HA ⊥. 所以可知H 为垂心. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.三、解答题 26．（1）12m =；（2），m ＝74或－34．【解析】 【分析】 【详解】（1）∵OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m)， 若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则这三点共线，∵AB ＝(3,1)，AC ＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)＝2－m ，∴m ＝12即为满足的条件． （2）由题意，△ABC 为直角三角形，①若∠A ＝90°，则AB ⊥AC ，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，∴m ＝74． ②若∠B ＝90°，则AB ⊥BC ，∵BC (－1－m ，－m)，∴3(－1－m)＋(－m)＝0，∴m ＝－34． ③若∠C ＝90°，则BC ⊥AC ， ∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，∴m .综上可得，m ＝74或－34. 27．(1) 3πθ=(2) 14m =【解析】 【分析】（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x yx yθ==⋅，即可求出夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值． 【详解】 （1）∵(2)(2)5x y x y --=∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x yθ⋅==⋅∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．28．(1) 11sin 22S θ=，()2sin 1cos S θθ=-；(2)12cos sin S S θθ+，此时θ的值为3π.【解析】 【分析】 【详解】试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所()11111sin 3sin 222S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝1111sin 11sin sin 22θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21sin sin 2sin 1cos 2S θθθθ=-=-. (2)由(1)知()12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭.因为03πθ<≤, 所以4412πππθ-<-≤, 所以sin()sin 2412ππθ-<-≤=所以12cos sin S S θθ+的最大值为12, 此时θ的值为3π. 考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．29．（1）2π；（2）4x π=. 【解析】试题分析：（1）首先将函数的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，再利用求最小正周期的公式2T πω=求得；（2）由已知()1f x =，结合（1）可得：1sin(4)62x π-=，然后由已知x 的取值范围，确定出46x π-的取值范围，最后结合三角函数的图象可求得x 的值．试题解析：（1）1cos 4()2cos 22x f x x x -=+⋅1cos 442x x -= 1sin(4)62x π=-+．因为242T ππ==， 所以()f x 的最小正周期是2π． （2）由（1）得，因为()1f x =，所以1sin(4)62x π-=而84x ππ≤≤， 所以54366x πππ≤-≤， 所以4x π=考点：1．三角恒等变形；2．三角函数的图象及性质．30．（1）证明见解析，ABC ∆的面积为5（2）(),102f AB AC S ==， (),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积【解析】 【分析】（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ⋅=，从而证明出AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ∆的面积；（2）根据新定义的运算，计算出(),f AB AC 的值，然后找到与ABC ∆的面积的关系，得到答案.【详解】（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =，所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=，所以0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥.22AC ==，22AB ==11522S AB AC ==⋅= （2）因为()1221,f a b x y x y =-而()2,1AB =-，()2,4AC =， 所以()(),221410f AB AC =⨯--⨯=，所以(),2f AB AC S =所以(),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积. 【点睛】本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题.。
。2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二(下)期末数学试卷
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C和B1D1所成角的大小为3．（3分）正四面体S﹣ABC的所有棱长都为2，则它的体积为．4．（3分）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有种不同的排法．5．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．6．（3分）正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为7．（3分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，若AC1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1和底面ABCD的距离是．8．（3分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．9．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是10．（3分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=（i为虚数单位），z=．11．（3分）把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为12．（3分）在xOy平面上，将双曲线的一支﹣=1（x＞0）及其渐近线y=x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积为．二.选择题13．（3分）已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面14．（3分）一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其水平躺倒，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）立方米．A．24B．36C．36D．4815．（3分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．1816．（3分）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7．则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=（）A．﹣1 B．1 C．2187 D．﹣218717．（3分）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A．B．C． D．18．（3分）已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．双曲线的一支B．双曲线C．一条射线D．两条射线三.解答题19．求（+）8的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数．20．已知关于x的方程x2+4x+p=0（p∈R）的两个根是x1，x2．（1）若x1为虚数且|x1|=5，求实数p的值；（2）若|x1﹣x2|=2，求实数p的值．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．22．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．23．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1=p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2=p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），∴z=．则z的虚部为．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C和B1D1所成角的大小为90°【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1C和B1D1所成角的大小．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，1），C（1，1，0），B1（1，0，1），D1（0，1，1），=（1，1，﹣1），=（﹣1，1，0），设异面直线A1C和B1D1所成角为θ，则cosθ＝==0，∴θ=90°．∴异面直线A1C和B1D1所成角的大小为90°．故答案为：90°．【点评】考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（3分）正四面体S﹣ABC的所有棱长都为2，则它的体积为．【分析】由正四面体的棱长为1，所以此四面体一定可以放在棱长为的正方体中，由此能求出此四面体的体积．【解答】解：∵正四面体的棱长为2，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=2，∴正方体的棱长为，∴此四面体的体积为﹣=．故答案为：．【点评】本题考查四面体的体积问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是在正方体中寻找此四面体．4．（3分）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有240种不同的排法．【分析】本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，故答案为：240【点评】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．5．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【分析】根据题意求出这组数据的平均数a、中位数b和众数c，再比较大小．【解答】解：计算这组数据的平均数为a=×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7，求出中位数为b=15，众数为c=17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．【点评】本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题．6．（3分）正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为【分析】设正三棱锥为S﹣ABC，作正棱锥S﹣ABC的高SO，作AO垂直于BC于D，连接SD，则角SDA为45°，求出斜高，然后求解全面积．【解答】解：设正三棱锥为S﹣ABC，作正棱锥S﹣ABC的高SO，作AO垂直于BC于D，连接SD，则角SDA为45°，AB=BC=AC=1，SO=OD，O为底面的中心，AO==，OD=，SD=，它的全面积为：+3×=．故答案为：．【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题，7．（3分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，若AC1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1和底面ABCD的距离是．【分析】确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得结论．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1?平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，AC1与底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案为：．【点评】本题考查线面距离，确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解题的关键．8．（3分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．【分析】直线EF被球O截得的线段就是延长EF与球的两个交点间的这一段，利用垂径定理，可得结论．【解答】解：作过EF和球心O的平面，则平面所截得的过EF的弦长GH为所求线段．则∵E，F分别是棱AA1，DD1的中点，∴EF=1，∵球O的半径R=，球心到EF距离为，∴MN=2=故答案为：第11页（共23页）【点评】本题考查球内接多面体，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（3分）已知正整数n ，二项式（x 3+）n 的展开式中含有x 7的项，则n 的最小值是4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论．【解答】解：二项式（x 3+）n 的展开式的通项为=．令3n ﹣5r=7，可得n=，当r=1时，n 有最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（3分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=（i 为虚数单位），z=﹣±i．。
上海市上南中学北校2018年高二数学文下学期期末试卷含解析
上海市上南中学北校2018年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，那么?的值等于 ( )A. B. C. D.参考答案：B2. 下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内参考答案：D考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．解答：解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．点评：本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题．3. 已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）A、B、C、D、参考答案：C略4. 设函数则A．在区间内均有零点B．在区间内无零点,在区间内有零点C．在区间内均无零点D．在区间内有零点,在区间内无零点参考答案：B5. 如果为定义在R上的偶函数，且导数存在，则的值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1参考答案：C略6. 已知向量，，若与的夹角为，则（）参考答案：C略7. 若双曲线的对称轴为坐标轴，实轴长与虚轴长的和为14，焦距为10，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对参考答案：C略8. 下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．【专题】分析法．【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．【点评】本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．9. 已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且，则的取值范围是（）A．[，2] B．[，2) C．[，] D．[，+∞)参考答案：B10. 函数的图象可能是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
上海上南中学东校数学高二下期末复习题(含解析)
一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+D ．AB DA AC DB +=+2．已知tan 2α=，则2cos α=（ ） A ．14B ．34C ．45D ．153．已知函数()()3sin x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 4．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 5．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭6．将函数()()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ） A ．6π-B ．6π C ．4π D ．3π7．已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1B ．25C ．25-D ．-18．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形9．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+11．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-12．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭13．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 14．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π215．已知A ，B 的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ）A ＋1B 1C ．＋1D +1二、填空题16．已知函数()sin()(,0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.则()f x 的解析式为________． 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 18．设tan α、tan β是方程2320x x -+=的两个根，则()tan αβ+=________________. 19．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 20．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________.21+_________. 22．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．23．设向量(2,1)a =，(1,1)b =-，若a b -与ma b +垂直，则m 的值为_____ 24．已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则cos BDC ∠=__________．25．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．三、解答题26．已知3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求3tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 27．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.28．已知sin α=，且α是第四象限的角．. （1）求tan α；（2）2sin()cos(2+)cos()+sin()22παπαππαα++-+.29．已知函数(22(,0)4f x x x R πωω⎛⎫++∈> ⎪⎝⎭的最小正周期是2π． (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．B9．D10．A11．A12．D13．D14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；20．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着21．【解析】原式因为所以且所以原式22．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟23．【解析】与垂直24．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为25．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【详解】DC BC BD =-，DC AC AD =-，∴AC AD BC BD -=-， ∴AC BD BC AD +=+．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，由2222cos cos cos sin αααα=+，化为正切即可求解. 【详解】22222cos 1cos cos sin 1tan ααααα==++, 且tan 2α=，∴211cos 145α==+， 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.3．D解析：D 【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的.对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.5．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】()()()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈，得()116k k Z ϕπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6π=ϕ. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【解析】因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=35-，4cos 5α=，所以2sin cos αα+=642555-+=-，故选C.8．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．D解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.10．A解析：A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．考点：三角函数的性质. 11．A 解析：A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．14．A解析：A 【解析】 【分析】由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题15．A解析：A 【解析】 【分析】先由题意得到2==OA OB ，根据向量的数量积求出3AOB π∠=，以O 为原点建立平面直角坐标系，设A （2cos θ，2sin θ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】依题意，得：2==OA OB ，因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠， 所以，22cos AOB ⨯∠＝1，得：3AOB π∠=，以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A 2cos θ2sin θ），则B 2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭） 或B 2cos 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭）设C （x ，y ）， 当B （2cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭）时， 则OA CB +＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，得：222cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝1，即点C 在1为半径的圆上，A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的距离为：22 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2｜AC ｜的最大值为2＋1 当B （2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭）时，结论一样． 故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二、填空题16．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思解析：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数周期为π，求出2ω=，再由图象的最低点2(,2)3M π-，得到振幅2A =，及6π=ϕ.【详解】因为图象与x 两个交点之间的距离为2π，所以222T T ππππω=⇒=⇒=， 所以2ω=，由于图象的最低点2(,2)3M π-，则2A =， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，当23x π=时，4sin 13πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，故填：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意02πϕ<<这一条件限制，从面得到ϕ值的唯一性.17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就.【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()x x x ϕ==+，其中tan ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根解析：3-. 【解析】 【分析】利用二次方程根与系数的关系得出tan tan αβ+和tan tan αβ的值，然后利用两角和的正切公式计算可求出()tan αβ+的值. 【详解】由二次方程根与系数的关系得出tan tan 3αβ+=，tan tan 2αβ=， 因此，()tan tan 3tan 31tan tan 12αβαβαβ++===---，故答案为3-.【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，同时也考查了二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于中等题.19．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】 将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.20．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着解析：6 【解析】 【分析】由题意，利用向量的数量积的运算，可得2(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==则221(2)22cos60422162a ab a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.21．【解析】原式因为所以且所以原式 解析：2sin 4-【解析】原式2cos42sin4cos4==+-，因为53442ππ<<，所以cos40<，且sin4cos4<，所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-．22．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.23．【解析】与垂直 解析：14【解析】a b -与ma b +垂直1()()0(1,2)(21,1)0212204a b ma b m m m m m ⇒-⋅+=⇒⋅+-=⇒++-=⇒=24．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为【解析】取BC 中点,E DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，cos BDC sin DBF ∠=∠,ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，所以cos BDC ∠=，故答案为4. 25．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．三、解答题 26．（1）2425-；（2）17- 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求出4cos 5α==，根据二倍角公式即可得解；（2）结合（1）求出3tan 4α=-，利用两角差的正切公式求解. 【详解】 （1）3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以24sin 22sin cos 25ααα==-； （2）由（1）可得3tan 4α=-， 3131tan 14tan 341tan 714πααα-+--⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭+ 【点睛】此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.27．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可； （2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-,当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题28．（1）2-；（2）5- 【解析】分析：（1）根据α为第四象限角，利用sin α，可得cos α的值，得到tanα 的值． （2）先用诱导公式对原式化简得：2sin cos sin cos αααα-++，为一个齐次式，然后分子分母同时除以cosα即可.详解：（1）由sin α=α是第四象限的角，所以cos 0α>，则cos α==sin tan 2cos ααα∴==- （2）原式2sin cos sin cos αααα-+=+ 2tan 1tan 1αα-+=+ 5=- 点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，齐次式，对公式灵活运用是关键，属于基础题．29．(1) 2ω= (2) 函数f (x )的最大值是2＋，此时x 的集合为{x |x ＝16π +2k π，k ∈Z}．【解析】试题分析析：本题是函数sin()y A x ωϕ=+性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出ω，当函数的解析式确定后，可以令2sin y t =，24t x πω=+ ，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出24x πω+为何值时，函数值()f x 取得的最大值，进而求出x 的值的集合.试题解析：(1)∵f (x )＝2sin （24x πω+＋2(x ∈R，ω＞0)的最小正周期是2π，∴222ππω=，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2. 当4x ＋4π＝2π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝16π＋2k π(k ∈Z)时，sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1， 所以函数f (x )的最大值是22x 的集合为{x |x ＝16π＋2k π，(k ∈Z)}． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2T πω=，根据公式求出ω，页有关函数sin()y A x ωϕ=+的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成sin y A t =与.复合而成的复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令4242x k πππ+=+，求出x 值，同时求出函数的最大值2. 30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数； （3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】（1）()()()()()2112coscos cos cos 333333x x x x f x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112cos cos cos 1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+-∴()cos 3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数.证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+.所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()()()21h x h x h x +=+-∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时 ()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。
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绝密★启用前上海市南模中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A. 若l // m，l // n，则m // nB. 若l⊥m，l⊥n，则m // nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // lD. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面【答案】A【解析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选：A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。
还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。
2．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积S=平方米，又由圆柱形的罐子的高h=9米，故水的体积V=Sh=48立方米，故选：D．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档．3．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为、、、、，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C【解析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图视频4．若，则（）A. B. 1 C. 0 D.【答案】D【解析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.故答案为：D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.5．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A．4284612C CCB．3384612C CCC．612612CAD．4284612A AA【答案】A【解析】按性别分层抽样男生女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为48C种；，4名男生中抽2人的方法为24C种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为4284612.C C C故选A6．已知复数z 满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 一条射线D. 两条射线【答案】C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于3，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为3，故点Z的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选C．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题7．若i是虚数单位，复数满足，则的虚部为________【答案】.【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．详解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），化为z=i．∴z的虚部为．故答案为：.点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．正方体中，异面直线和所成角的大小为________【答案】.【解析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到，，而于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为：.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.9．正四面体S-ABC的所有棱长都为2，则它的体积为________【答案】.【解析】分析：由正四面体的棱长为1，所以此四面体一定可以放在棱长为的正方体中，由此能求出此四面体的体积．详解：∵正四面体的棱长为2，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=2，∴正方体的棱长为，∴此四面体的体积为．故答案为：．点睛：本题考查四面体的体积问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是在正方体中寻找此四面体．正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直. 10．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法【答案】240.【解析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，故答案为：240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．11．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________【答案】.【解析】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为=a.故.故答案为：.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 12．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________【答案】.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可。
详解：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面积为：故答案为：.点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.13．正四棱柱的底面边长为2，若与底面ABCD所成角为60°，则和底面ABCD的距离是________【答案】.【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得结论．详解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，AC1与底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案为：．点睛：本题考查线面距离，确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.14．棱长为1的正方体的8个顶点都在球面O的表面上，E、F分别是棱、的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________【答案】.【解析】分析：详解：正方体的外接球球心为O，半径为，假设2和线段EF相较于HG两点，连接OG，取GH的中点为D连接OD，则ODG为直角三角形，OD=，根据勾股定理得到故GH=.故答案为：.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15．已知正整数n，二项式的展开式中含有的项，则n的最小值是________【答案】4.【解析】分析：根据二项式呃展开式得到第r+1项为，，对r,n赋值即可.详解：二项式的展开式中第r+1项为则，当r=1时，n=4。
故答案为：4.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.16．在复数范围内解方程（i为虚数单位），________【答案】-.【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于x的方程，解方程即可．详解：原方程化简为,设z=x+yi（x、y∈R），代入上述方程得x2+y2+2xi=1﹣i，∴x2+y2=1且2x=﹣1，解得x=﹣且y=±，∴原方程的解是z=﹣.故答案为：﹣.点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．17．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为________【答案】.【解析】分析：分2步进行分析：①、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，②、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，由分步计数原理计算可得答案．详解：分2步进行分析：①、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，有A33=6种情况，则此时有6×6=36种不同的放法．故答案为：.点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.18．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________【答案】.【解析】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支交于B（，a）点，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，∴Ω的体积V=9π×4=36π，故答案为：36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.三、解答题19．求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】二项式系数为，系数为.【解析】分析：根据二项式系数的展开式得到结果.详解：，二项式系数为，系数为.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。