2024届湖北省三校数学高三第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届湖北省三校数学高三第一学期期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（）
A．B．C．D．
2．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3
3．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n的值为10，则输出i的值为（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．(
)
2
5
23(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23
B ．17
C ．20
D ．63
5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）
A ．
12
33
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC + 6．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住
B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%
D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 7．若集合{}|sin 21A x x ==，,4
2k B y y k Z π
π
⎧⎫==
+
∈⎨⎬⎩
⎭
，则（ ） A ．A B A ⋃=
B ．R R
C B C A ⊆
C ．A
B =∅
D ．R R C A C B ⊆
8．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}2
2
*
|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．设1tan 2
α=
，4
cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）
A ．7
24-
B ．524-
C ．524
D ．724
10．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A ．3?i ≤
B ．4?i ≤
C ．5?i ≤
D ．6?i ≤
11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240
B ．320
C ．180
D ．120
12．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）
A ．
5
4
B ．5
C 5
D 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上有且仅有一对点,M N ，使得MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍，则r 的值为_______.
14．已知x y ，均为非负实数，且1x y +≤，则()2
22441x y x y ++--的取值范围为______． 15．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________．
16．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论: ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：
现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：
假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率
（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；
（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望()E X 18．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．（12分）已知多面体ABCDE 中，AE 、CD 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，2AE CD =，AB BC CD ==，
F 是BE 的中点．
（1）求证：//DF 平面ABC ；
（2）求直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值．
20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元. （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.
21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线2C 的参数方程为22x t y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()cos cos 2ρθρθ=+. （1）求曲线1C 与直线2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与直线2C 交于,A B 两点，求AB 的值.
22．（10分）某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示. 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8
型号A
30
30
频数型号B 20 30 10
型号C 0 45 15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
A B C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（1）求该单位一个月中,,
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解题分析】
试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．考点：数列的通项公式．
2、D
【解题分析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【题目详解】
年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4
中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机-=，占比为45.34%，选项D正确.
容量594.1158.1436GW
故选：D
【题目点拨】
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 3、B 【解题分析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【题目详解】
输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则10
52
n =
=，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则16
82n =
=，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则8
42n ==，314i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则4
22n ==，415i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则2
12
n ==，516i =+=；
1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4、B 【解题分析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【题目详解】
5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则
①()2
23x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：0055
5(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()2
23x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：1155
5(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③(
)
2
23x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：2255
51240C x x ⋅⋅⋅=；
综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【题目点拨】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 5、B 【解题分析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即
可.
【题目详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 6、D 【解题分析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.
C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.
D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【题目详解】
A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
7、B 【解题分析】
根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【题目详解】
依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z π
π⎧⎫
====
+∈⎨⎬⎩
⎭
； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫
==+∈⎨
⎬⎩⎭
()212|,,4242n n x x n Z x n Z π
πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或
()21|,,442n x x n n Z x n Z π
πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭
或，
故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 8、B 【解题分析】
解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【题目详解】 解：
22x a ≤，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.
当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【题目点拨】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 9、D 【解题分析】
利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得
tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【题目详解】
1tan 2
α=
，2
2tan 4
tan21tan 3ααα==-， ()4
cos cos 5
πββ+=-
=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5
β=，3
tan 4β=，
()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24
134αβαβαβ-
--==
=++⨯， 故选：D. 【题目点拨】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 10、C 【解题分析】
根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【题目详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 11、C 【解题分析】
在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得
出结果. 【题目详解】
两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，
又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432
882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 12、C 【解题分析】
由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【题目详解】
由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，
2=，解得2m =，此时双曲线22
1:128
x y C -=，
则曲线1C 的离心率为
c e a ===，故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
6
【解题分析】
写出AB 所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于r 的等式，求解得答案． 【题目详解】 解：直线AB 的方程为
03
2013
y x -+=---+，即30x y ++=． 圆2
2
2
(2)(0)x y r r -+=>的圆心(2,0)
到直线AB 的距离|123|
52
2
2
d ⨯+=
=
， 由MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍的点M ，N 有且仅有一对， 可得点M 到AB 的距离是点N 到直线AB 的距离的2倍， 可得MN 过圆的圆心，如图： 由
52522()22r r +=-，解得52
6
r =
． 故答案为：
52
6
．
【题目点拨】
本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
14、243⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解题分析】
设t x y =+,可得t 的取值范围,分别利用基本不等式()2
22x y x y +≥+和()2
222
x y x y ++≥
，把2
2x
y +用t 代换,结合
t 的取值范围求关于t 的二次函数的最值即可求解.
【题目详解】
因为0x y ≥，,1x y +=，令t x y =+，则01t ≤≤ , 因为()2
22x y x y +≥+,当且仅当0xy =时等号成立, 所以()2
222x y x y t +≤+= ,()()2
2
11x y t --=-, 即()()2
2
222244141521x y x y t t t t ++--≤+-=-+, 令()2
521,01,h t t t t =-+≤≤则函数()h t 的对称轴为1
5
t =
,
所以当1t =时函数()h t 有最大值为4,
即()()2
2
2222441415214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤． 当0xy =且1t =，即0x =，1y =或1x =，0y =时取等号；
因为()2
222
x y x y ++≥
2
2
t =,当且仅当x y =时等号成立, 所以()()2
2
222244121321x y x y t t t t ++--≥+-=-+, 令()2
321,01s t t t t =-+≤≤,则函数()s t 的对称轴为13
t =
, 所以当13
t =
时,函数()s t 有最小值为23,
即()()2
2
2
2
2
2
2
441213213
x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥， 当1
6x y ==
,且13
t =时取等号， 所以()2
2
2
244143x y x y ⎡⎤
++--∈⎢⎥⎣⎦，
. 故答案为:243⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 【题目点拨】
本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:()2
2
2
x y x y
+≥+和()2
222
x y x y ++≥
的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.
15、1 【解题分析】
根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值． 【题目详解】 解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1． 故答案为：1． 【题目点拨】
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
16、②③
【解题分析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【题目详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【题目点拨】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
5
（2）22.5（3）见解析，
249
200
【解题分析】
（1）根据频数计算频率，得出概率；
（2）根据优惠标准计算平均利润；
（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【题目详解】
解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率
251052
1005
p
++
==；
（2）第1次消费利润600.953027
⨯-=；第2次消费利润600.903024
⨯-=；
第3次消费利润600.853021
⨯-=；
第4次消费利润600.803018
⨯-=；
这4次消费获得的平均利润：27242118
22.5
4
+++
=
（3）1次消费利润是27，概率是3
5
；2次消费利润是
2724
25.5
2
+
=，概率是
1
4
；3次消费利润是
272421
24
3
++
=，
概率是
1
10
；4次消费利润是22.5，概率是
1
20
；
由题意：
39
0,,3,
22 X=
3311111187
(0)554410102020200P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=
33111119()2()254410102025
P X ==⨯+⨯+⨯=
311129
(3)2()510420200P X ==⨯+⨯=
9313()2252050
P X ==⨯⨯=
故分布列为：
期望为: ()03200225200250200
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【题目点拨】
本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
18、（1）1n a n =-，2n
n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯
【解题分析】
(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3
328b ==再根据等比数列的基本量求解即可. (2)由(1)可得1
(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【题目详解】 解：
（1）依题意12b =,3
328b ==,
设数列{}n b 的公比为q ,由1
2
0n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得2
4q =,又0q >,则2q ,
故111222n n n
n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1
(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得121
22222
(1)2(1)212
n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,
即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n
n S n =+-⨯.
【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
19、（1）见解析；（2 【解题分析】
（1）取AB 的中点H ，连接FH 、CH ，推导出四边形FHCD 为平行四边形，可得出//DF CH ，由此能证明//DF 平面ABC ；
（2）由//AE CD ，得//CD 平面ABE ，则点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离，在平面ABC 内过点C 作CG AB ⊥于点G ，CG 就是C 到平面ABE 的距离，也就是点D 到平面ABE 的距离，由此能求出直线BD 与平面
ABE 所成角的正弦值．
【题目详解】
（1）取AB 的中点H ，连接FH 、CH ，
H 、F 分别为AB 、BE 的中点，则//FH AE 且1
2
FH AE =
， AE ∵、CD 均垂直于平面ABC ，且2AE CD =，则//CD AE ，//FH CD ∴且FH CD =，
所以，四边形FHCD 为平行四边形，则//DF CH ，
DF ⊄平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，因此，//DF 平面ABC ；
（2）由//AE CD ，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，//CD ∴平面ABE ，
∴点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离，
在平面ABC 内过点C 作CG AB ⊥于点G ，
AE 平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，CG AE ∴⊥，
CG AB ⊥，AE AB A =，CG ∴⊥平面ABE ，
即CG 就是C 到平面ABE 的距离，也就是点D 到平面ABE 的距离， 设2AB BC CD ===，
则D 到平面ABE 的距离sin 603h BC ==BD ==
因此，直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值为
h BD ==
．
【题目点拨】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20、（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解题分析】
（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；
（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解. 【题目详解】
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为
()10.020.030.0294-⨯=.
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.
()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,
所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).
若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.
()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==，
()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，
所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②. 【题目点拨】
本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.
21、（1）曲线1C 的直角坐标方程为2
2y x =；直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=（2）【解题分析】
（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；
（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离． 【题目详解】 解：（1）
()cos cos 2ρθρθ+
2cos 2cos ρρθθ∴=+ 222cos 2cos ρρθρθ∴=+ 2222x y x x ∴+=+
∴曲线1C 的直角坐标方程为22y x =
直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
（2）据242y x y x =-+⎧⎨=⎩解，得22x y =⎧⎨=⎩
或8
4x y =⎧⎨
=-⎩
AB ∴=
=【题目点拨】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题． 22、（1）
1
6
（2）应该购买21件易耗品 【解题分析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为,,A B C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月
中使用易耗品的件数总数为X ,则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解. 【题目详解】
（1）由题中的表格可知
A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为
301602
=； B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为
201301101,,603602606===； C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为
453151,604604
==； 设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====
,11(6),(7)32
P y P y ====,131
(8),(7),(8)644P y P z P z ======, 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X , 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=
而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 1111111137
26422426448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1111
(23)(7,8,8)26448
P X P x y z ======⨯⨯=,
故711(21)48486
P X >=
+=, 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16
. （2）以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131
(19)(6,6,7)2348
P X P x y z ======⨯⨯=；
(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===11111311317
23422423448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；
(21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 由（1）知,71(22),(23)4848
P X P X ==
==, 若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600,
111723
(2000)(19)(20)84848
P Y P X P X ===+==+=；
117(2200)(21)48P Y P X ====； 17(2400)(22)48P Y P X ====； 11(2600)(23)48
P Y P X ====； 12317712000220024002600214248484848
EY =⨯
+⨯+⨯+⨯≈； 若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500,
2117175
(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=；
27(2300)(22)48P Y P X ====； 21(2500)(23)48
P Y P X ====
； 2571
210023002500213864848
EY =⨯+⨯+⨯≈；
21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
【题目点拨】
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.。