湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析

湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足，且
，则数列的通项公式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．3
4
8
1(3)(2)x x x
+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280
B ．4864
C ．－4864
D ．1280
3．已知抛物线2
2(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22
B ．32
C ．42
D ．
32
2
4．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．22
5．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值等于( )
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
6．正方体1111ABCD A B C D -，()1
,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线
有几条（ ）
A ．36
B ．21
C ．12
D ．6
7．双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O
为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2
B 5
C 6
D 79．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
,则()sin πα+= ( )
A ．
2
3
B ．22
3
-
C ．22
3
±
D ．
13
10．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表
面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A 3B 23
C 3
D ．2311．已知AB 是过抛物线2
4y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2
B ．－4
C ．3
D ．－3
12．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）
A ．
49
B ．
94
C ．
23
D ．
32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()sin ()4f x x N πωω⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭在[]0,π上仅有2个零点，设()228x g x f x π⎛⎫
⎛
⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则()g x 在
区间[]0,π上的取值范围为_______．
14．已知向量(2,1)m =-，(4,)n y =，若m n ⊥，则2m n +=________. 15．已知函数()2
,4,x x m
f x x x x m
<⎧=⎨
+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃>，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是______. 16．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则
25
8
a a a +的值为_____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，114
223AB AA A B BC AC =====，，，点F
为棱AB 的中点，点E 为线段11A C 上的动点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）若直线1B E 与平面11A FC 所成角为60︒，求二面角11E BB A --的正切值.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨
⎪=⎪-⎩
(α
为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C . （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求
11
OA OB
+的取值范围. 19．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △
的周长为222.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过圆2
2
2
:3
E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB
∠为定值.
20．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=
∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点
为A ，且点A 极径00ρ≠.极角02
ρπ
θ≤<
（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；
（2）已知直线m 的直角坐标方程为30x y -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积. 21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥平面
, ,2,5PAB PA PB AB BC AD BD =====．
（1）求证：PA ⊥平面PBC ；
（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值． 22．（10分）已知函数()()2x
f x x e ax =-+.
（Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()
0,0f 处的切线方程 （Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】 试题分析：因为，所以
，即
，所以数列是以
为首项，公比为的等比数列，所以，即
，所以数列
的通项公式是
，故选D ．
考点：数列的通项公式． 2、A 【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：()2
317426
8811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出
1
x
项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()
2
317426
8811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 3、A 【解析】
根据||1OF =可知2
4y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】
由题意可知抛物线方程为2
4y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义
知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.
由2
4y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.
又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211
||2
OMN
S
OF y y =
⋅-=. 故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 4、D 【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
解：2(1)22i i i +=-+，
∴复数2(1)i i +的模为22(2)222-+=．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 5、D 【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【详解】
画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2
2
529122OA ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭
,22OC =，所以OC OA >， 所以原点到可行域上的点的最大距离为22. 所以z 的最大值为()
2
228=.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6、B 【解析】
先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】
考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有2
2
62
3321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 7、A 【解析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为
，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：
.
8、D 【解析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【详解】
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝3a ，
由勾股定理可得（4a ）2+（3）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7c
a
=
= 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 9、B 【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】
1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
2122
sin 1cos 19αα∴=-=-
=
()22sin sin παα∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 10、B 【解析】
由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB =x , AC =y ,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】
设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，
由2420R ππ=，得25R =． 如图：
设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ， 可得1
12
OG AD =
=，则212AG R -=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC
AG ==︒
，
即23BC =，
由余弦定理可得，22222
1122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，
4xy ∴．
则三棱锥A BCD -的体积的最大值为1123
4sin120232⨯⨯⨯︒⨯=
故选：B ． 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 11、D 【解析】
设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算 22121216
y y OA OB y y ⋅=+得到答案.
【详解】
设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故22
121216y y OA OB y y ⋅=+.
易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程21
4x my y x =+⎧⎨=⎩
，
得到2
440y my --=，故124y y =-，故22
1212316
y y OA OB y y ⋅=+=-.
故选：D . 【点睛】
本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 . 12、A 【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m =>，320x y +=可化为32y x =-
32=，解得49
m =. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、5
14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
先根据零点个数求解出ω的值，然后得到()g x 的解析式，采用换元法求解()g x 在[]0,π上的值域即可. 【详解】
因为()sin ()4f x x N πωω⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
在[]0,π上有两个零点， 所以,444x πππωωπ⎛⎫⎡⎤+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以24
34πωπππωππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，所以71144ω≤<且N ω∈，
所以2ω=，所以()sin 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以()sin 2sin cos sin 2284x g x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
+-=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
令sin cos 4x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以2sin 21x t =-，所以()2
215124
g x t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，
因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎛
⎫⎡⎤
+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦4x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭
，所以t ⎡∈-⎣，
所以()
2
max
15124g x ⎫=-=⎪⎭ ，()2
min 115
5224
4g x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，
所以()514g x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难. 对形如
sin cos sin cos y x x a x x =++的函数的值域求解，关键是采用换元法令sin cos x x t +=，然后根据
()
2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，将问题转化为关于t 的函数的值域，同时要注意新元t 的范围.
14、10 【解析】
根据垂直得到8y =，代入计算得到答案. 【详解】
m n ⊥，则(2,1)(4,)80m n y y ⋅=-⋅=-+=，解得8y =，
故()()()24,24,80,10m n +=-+=，故210m n +=. 故答案为：10. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力. 15、(],0-∞ 【解析】
根据条件转化为函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集；分别求值域即可得到结论.
【详解】
解：依题意，()()f q f p =-，
即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集. 因为()y f x =在[
),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2
4,m m ⎡⎤++∞⎣⎦（2m >-）
， ()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞， 故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或2
24m m m m
>-⎧⎨-≥+⎩， 解得0m ≤ 故答案为：(],0-∞. 【点睛】
本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 16、2 【解析】
设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解
25
8
a a a +即可. 【详解】
解：等比数列{}n a 的公比设为,q
396,,S S S 成等差数列,
可得9362,S S S +＝
若1,q ＝
则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠
则()()()9361111112111a q a q a q q
q
q
---⋅
=
+
---,
化为6
3
21,q q +＝
解得3
1
2
q ＝﹣,
则
43
251176811
112214
a a a a q q
a a q q
-
+++===
=
故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）2
3
【解析】
（1）可证BC ⊥面1A EF ，从而可得EF BC ⊥.
（2）可证点E 为线段11A C 的三等分点，再过E 作11EG A B ⊥于G ，过G 作1GH BB ⊥，垂足为H ，则EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角，利用解直角三角形的方法可求tan EHG ∠.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求tan EHG ∠. 【详解】
证明：（1）因为11,AB AA A B F ==为AB 中点，所以1A F AB ⊥. 因为平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B
平面ABC AB =，1A F ⊂平面11AA B B ，
所以1A F ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，故1A F BC ⊥，
又因为222BC AC AB +=，所以BC AC ⊥，则111,⊥⊥BC AC BC A E ， 又1111=⋂AC A E A ，故BC ⊥面1A EF ，又EF ⊂面1A EF ，所以BC EF ⊥. （2）由（1）可得：11
B C ⊥面111,A FC B E 在面11A FC 内的射影为11A C ，
则11B EC ∠为直线1B E 与平面11A FC 所成的角，即1160B EC ∠=︒. 因为BC AC ⊥，所以1111112B C AC B C ⊥=，
，所以1EC =
，所以1A E =， 即点E 为线段11A C 的三等分点.
解法一：过E 作11EG A B ⊥于G ，则EG ⊥平面1A B ， 所以1EG BB ⊥，过G 作1GH BB ⊥，垂足为H ，
则EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角, 因为233EG =
，12AG =，3
232
GH =⨯=， 则在Rt EHG ∆中，有
23
23tan 33
EG EHG GH ∠===
， 所以二面角11E BB A --的平面角的正切值为
2
3
. 解法二：以点F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()110,2,0,(0,0,23),0,2,0,(0,4,23),(3,1
,0)-A A B B C ， 设点()000,,E x y z ，由1112233==A E AC AC 得：(
)
0002
(,,23)3,3,03
x y z -=，
即0233x =
，02y =，023z =，点23,2,233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 平面11AA B B 的一个法向量()1,0,0m =，
又23,0,233⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
BE ，11(0,2,23)==BB AA ，
设平面1EBB 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则23
23032230x y y z ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩
，令3x =，则平面1EBB 的一个法向量为(3,3,1)=-n . 设二面角11E BB A --的平面角为θ，则3
cos 13
m n m n θ⋅==， 即2tan 3θ=
，所以二面角11E BB A --的正切值为2
3
.
【点睛】
线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为
2
π
得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
18、（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为2
4(2)y x =+；（2）1(]22
【解析】
（1）根据三角函数恒等变换可得2
2
cos 2sin 2x αα
=
， 2cos 2sin
2
y α
α
=
，可得曲线1
C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意
得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；
（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得22
00sin 4cos 80ρθρθ--=
，运用韦达定理可得
11OA OB ∴
+=0(0,π)θ∈，可求得11OA OB
+的范围；
法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得
2
2
sin 4cos 80t t ϕϕ--=
，运用韦达定理可得11OA OB ∴
+=(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB
+的范
围； 【详解】
（1）
2
2
222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22
x α
α
αααα=
=
=-， 2
4sin
cos
2cos 2sin 2
221cos 2sin sin
2
2
y α
α
α
αα
α
α
===
-
222
4cos 24sin 2
y x α
α
∴=
=，即曲线1
C 的普通方程为24y x =， 依题意得曲线C 的普通方程为2
4(2)y x =+，
令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22
sin 4cos 80ρθρθ--=；
（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得22
00sin 4cos 80ρθρθ--=，则
012204cos sin θρρθ+=
，1220
8
sin ρρθ=-，120ρρ<，12,ρρ∴异号
12
1212
2
1111
sin
OA OB
ρρ
ρρρρ
θ
-
∴+=+====，0
(0,π)
θ∈，
sin(0,1]
θ
∴∈
，
111
(
2
OA OB
∴+∈；
法二:设直线l的参数方程为
cos
sin
x t
y t
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
(t为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C的普通方程得
22
sin4cos80
t t
ϕϕ
--=，
则12
2
4cos
sin
t t
ϕ
ϕ
+=，
122
8
sin
t t
ϕ
=-，
12
t t <，
12
,t t
∴异号
12
1212
2
1111
sin
t t
OA OB t t t t
ϕ
-
∴+=+====
(0,π)
ϕ∈，sin(0,1]
ϕ
∴∈
，
111
(
2
OA OB
∴+∈.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.
19、（1）
2
21
2
x
y
+=（2）见解析
【解析】
(1)
由
2
c
e
a
==
，周长222
a c
+=,
解得a=1
b c
==即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况l的斜率不存在时,求得
2
AOB
π
∠=,再证明l的斜率存在时0
OA OB
⋅=,即可证得AOB
∠为定值.通过设直线l的方程为y kx m
=+与椭圆方程联立,借助韦达定理求得()()
12121212
OA OB x x y y x x kx m kx m
⋅=+=+++,利用直线l与圆相切,
即d==求得,m k的关系代入,化简即可证得=0
OA OB
⋅即可证得结论.
【详解】
（1
）由题意得c e a =
=
，周长222a c +=，且222a c b -=.
联立解得a =
1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22
12
x y +=.
（2）①当直线l
的斜率不存在时，不妨设其方程为x =
，
则,33A ⎛ ⎝
⎭33B ⎛- ⎝⎭
， 所以0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥，即2
AOB π
∠=
.
②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()11,,A x y ()22,B x y ，
由()()
222
2
2
21422012
y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()2
2
8210k m ∆=-+>，2124,21k x m x k =-++2122
22
21
m x x k -=+， 由直线l 与圆E
相切，得223220d m k =
=
⇒--=. 所以()()(
)()2
21212121212
121OA OB x x y y x x kx m kx m k
x x
km x x m ⋅=+=+++=++++
()(
)222
2
222
2
22
211
43220121212k m k m
m k m k k k
+---=
-+==+++. 从而OA OB ⊥，即2
AOB π
∠=
.
综合上述，得2
AOB π
∠=为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
20、（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭，
（2
【解析】
（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；
（2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1
|sin()|2
A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】 （1）曲线C ：1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数，02απ≤<)
22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，
将3
π
θ=
代入，解得01ρ=，
即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 点A 的极坐标为1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由直线m 过原点且倾斜角为
6π
，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，
1
1sin 236ABO S ππ∆⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.
21、（1）见解析（2）9
【解析】
（1）根据BC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的定义可得BC PA ⊥，再由PA PB ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证出.
（2）取AB 的中点O ，连接,OP OD ，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系
,O xyz -求出平面PAD 的一个法向量，利用空间向量法即可求解.
【详解】
()1因为BC ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，
所以BC PA ⊥
由PAB ∆为等腰直角三角形，
所以PA PB ⊥
又PB BC B ⋂=，故PA ⊥平面PAB .
()2取AB 的中点O ，连接,OP OD ，
因为, PA PB AD BD ==， 所以,PO AB DO AB ⊥⊥， 因为BC ⊥平面PAB ， 所以PAB ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面,ABCD PO OD ⊥，
如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz -
则 1AO BO PO ===， 2DO ==，
又,BC AB DO PA ⊥⊥， 所以//OD BC 且,OD BC =于是
()()()(),,0,0,10,1,02,0,02,10,,P A D C - ()()()2,1,10,1,12,,,,10PC AP AD =-==，
设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则
·0·20n AP y z n AD x y ⎧=+=⎨
=+=⎩
令1x =得平面PAD 的一个法向量()1,2,2n =- 设直线PC 与平面PAD 所成的角为α， 则26
sin cos ,9
63PC n PC n PC n
α==
=
=
【点睛】
本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题. 22、（Ⅰ）(
)
2
120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析 【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x =2是f (x )的一个极值点，得f ' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()
()2ln x x e a h x x x
-==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形
结合转化为图象交点个数进行求解即可. 【详解】
（Ⅰ）因为()()2x
f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+，
因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=，
所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+，
则直线方程为(
)
2
21y e x -=+，即(
)
2
120e x y +-+=； （Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x
x e a x ax -+-=，
所以()()2ln x
x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()1
'10g x x x
=
->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数， 故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e a h x x x -==-，所以()()()
221ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-，
设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()222'11121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，
所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数，
当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数，
因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =，
所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根，
当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根.
【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.。