广东省广州市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(5)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题05
空间向量与立体几何
（ 时间：60分钟 满分100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与B 1相等的向量是（ ） A.－
21a +21b +c B.21a +2
1
b +
c C.
21a －21b +c D.－21a －2
1b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A.OM --=23 B.5
1
3121++=
C.0=+++OC OB OA OM
D.0=++MC MB MA
3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则
DC EF ⋅等于（ ）
A.
41 B.4
1
- C.43 D.43-
4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为0
60，则λ的值为（ ） A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1
5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ） A.
213 B.253 C.453 D.4
53
6、在以下命题中，不正确的个数为（ ）
+=-是、共线的充要条件； ②．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使λ=a ·b ；
③．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若--=22，则P 、A 、B 、
C 四点共面；
④．若｛,,｝为空间的一个基底，则{+++,,}构成空间的另一个基底；
⑤．│（·）│＝││·││·││
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7、⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为( ) A.5 B.41 C.4 D.52
8、已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，
，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）
Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面
9、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅
取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）
A ．131(,,)243
B ．123(,,)234
C ．448(,,)333
D ．447(,,)333
10、在直三棱柱111A B C ABC -中，2
BAC π
∠=
，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为
11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 （ ）
A. 1
⎫⎪⎭ B.1, 25⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C. 1,⎡⎣ D. 二、填空题（每小题4分，共16分）
11、设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12、已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=
+b a λ且0λ>，则λ=________.
13、已知a ＝（3，1，5），b ＝（1，2，－3），向量与z 轴垂直，且满足·a ＝9，·，
4-=，则＝ ．
14、如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1.，M 在EF 上．且AM ∥
平面BDE .则M 点的坐标为 。

D '
三、解答题（15题11分，16题11分，17题12分）
15、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600
，M 是PC 的中点，设c b a ===,,． （Ⅰ）试用c b a ,,表示出向量BM ； （Ⅱ）求BM 的长．
16、已知正方体1111ABCD
A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．
17、如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小的余弦； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
18. 如图所示,矩形ABCD 的边AB=a,BC=2,PA ⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①2
a =
;
②1a =;③a =④2a =;⑤4a =;
(1)当在BC 边上存在点Q,使PQ ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线PQ 与平面ADP 所成角的正切
值;
(3)记满足(1)的条件下的Q 点为Q n (n=1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点
Q n 有几个?试求二面角Q n -PA-Q n+1的大小;
答案
一、选择题
1----5 ADBBB 6----10 CACCA 二、填空题
11、 9 12、 3 13、⎪⎭⎫
⎝⎛-0,521,5
22 14、解： ∵M 在EF 上，设ME ＝x ，∴M ⎝
⎛⎭
⎪⎫22x ，22x ，1，
∵A (2，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，B (0，2，0)
∴ED →＝(2，0，－1)，EB →
＝(0，2，－1)，
AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
2x －2，22x －2，1
设平面BDE 的法向量n ＝(a ，b ，c ) 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·ED →＝0
n ·EB →＝0
得，a ＝b ＝
2
2
c . 故可取一个法向量n ＝(1,1，2)
∵n ·AM →
＝0，∴x ＝1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1。

三、解答题 15、
解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([2
1
)(21-+=+=
c b a a c b 2
1
2121)]([21++-=-+=
（2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于
160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于
),(2
1
c b a ++-=
由于
2
3)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=
c b c a b a c b a c b a
2
6
26的长为，BM ∴=
. 16、
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =，
得CQ
2DQ =
那么11(202)(022)(20)(20)B D P t Q ，，，，，，，，，，， 从而1(222)QB =-，，1(222)PD t =--，，， 由111
10QB PD QB PD
⊥⇒=·， 即2(2)401t t --+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥． 17、解： 解法一：
（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．
又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =， BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴
⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
A
C
B
E
P
在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =
，2
BE AB =
=
sin 3
BC BEC BE ∴∠=
=． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ．
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．
由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =， PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．
在Rt PCD △
中，1
2
CD AB ==
2PD PB ==
2PC ∴=． 23
3
PC CD CH PD ∴=
=． ∴
点C 到平面APB ．
解法二：
（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =， PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．
设(00)P t ，
，． PB AB ==
2t ∴=，(002)P ，
，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC =，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
(011)E ，，，(011)EC =--，
，，(211)EB =--，，，
cos 26
EC EB BEC EC EB
∴∠=
=
=． （Ⅲ）AC BC PC ==，
C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H
，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．
y
2BH HE =，
∴点H 的坐标为222333⎛⎫
⎪⎝⎭，，． 23CH ∴=．
∴点C
到平面APB ． 18.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x ≤2) (1) ∵()(),,2,,2,0,PQ a x QD a x =-=--
∴由PQ ⊥QD 得
22(2)0(2)PQ QD a x x a x x ⊥⇒-+-=⇒=-
∵[](]2
0,2,(2)0,1x a x x ∈=-∈
∴在所给数据中,a 可取a =
和1a =两个值. (2) 由(1)知1a =,此时x=1,即Q 为BC 中点, ∴点Q 的坐标为(1,1,0) 从而()1,1,2,PQ =-又()1,0,0AB =为平面ADP 的一个法向量,
∴cos ,66PQ AB PQ AB PQ
AB
⋅=
=
=⨯,
∴直线PQ 与平面ADP (3) 由(1)知a =
此时13
,
22
x x ==或,即满足条件的点Q 有两个, 其坐标为1213,0,02222Q Q ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
和 ∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥AQ 1,PA ⊥AQ 2,
∴∠Q 1AQ 2就是二面角Q 1-PA-Q 2
的平面角.
由121212334cos ,21AQ AQ AQ AQ AQ AQ +
⋅==
=⨯⨯,得∠Q 1AQ 2=30,
∴二面角Q 1-PA-Q 2的大小为30
.。