2020版高考数学一轮复习教案 第5章_第4节_数列求和(含答案解析)

第四节 数列求和
[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；
(2)等比数列的前n 项和公式：
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论]
1．一些常见的数列前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)
2； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n . 2．常用的裂项公式 (1)1
n (n ＋k )
＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1n －1n ＋k ； (2)1
4n 2－1＝1
(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫
12n －1－12n ＋1； (3)
1n ＋
n ＋1
＝
n ＋1－n ；
(4)log a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n .
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1
1－q .
( )
(2)当n ≥2时，
1n 2－1＝
12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ＋1. ( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．
( )
(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )
A ．1 B.56 C.16
D.130
B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5
6.]
3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.]
4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于________． n 2＋1－12n [S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋1
8＋ (12)
＝n 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝n 2
＋1－
12n .] 5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝__________.
4－n ＋42n [设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×1
24＋…＋(n ＋2)×
12
n ＋1
.
两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
23＋…＋12n －n ＋22n ＋1.
∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22
＋…＋12n －1－n ＋22n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n
＝4－n ＋42n
.]
【例1】 (2019·黄山模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)
2＝n .
a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故
b n ＝2n ＋(－1)n n .
记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
记A ＝21＋22＋ (22)
，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n
)1－2
＝22n ＋1
－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. [拓展探究] 在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n . [解] 由本例(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n . 当n 为偶数时，
T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋1
1－2
＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2； 当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2
n ＋1
－2＋n －12－n
＝2n ＋1－n 2－5
2.
所以T n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2n ＋1
＋n 2－2，n 为偶数，
2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.
n n n 112
＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2S n
，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，
设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .
[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＋S 2＝10，
a 5－2
b 2＝a 3，
得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝2.q ＝2， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1. (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1， 得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，
则c n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2n (n ＋2)，n 为奇数，
2n －1，n 为偶数，
即c n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1n －1n ＋2，n 为奇数，
2n －1，n 为偶数，
∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)
＝1－1
2n＋1＋
2(1－4n)
1－4
＝
2n
2n＋1
＋
2
3(4
n－1)．
【例2】(2017·天津高考)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{a
n
}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．
[解](1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因为q>0，解得q＝2，所以b n＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8. ①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16. ②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得a n＝3n－2.
所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.
(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，
b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故
T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，①
4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，②
①－②，得
－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1
＝12×(1－4n
)1－4－4－(3n －1)×4n ＋
1
＝－(3n －2)×4n ＋1－8， 得T n ＝3n －23×4n ＋1＋8
3.
所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋8
3.
n n n 公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d ＞1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
[解] (1)由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧
a 1＝9，d ＝2
9.
故⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝2n －1，
b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝1
9(2n ＋79)，b n ＝9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫29n －1.
(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n
＝2n －1，故
c n ＝2n －1
2n －
1，于是
T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1，
①
12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n . ②
①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋1
2n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －
1.
►考法1 形如a n ＝1
n (n ＋k )
型
【例3】 (2019·济南模拟)已知数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝a 2n ＋2a n －3对任意的正整数n 都成立．
(1)证明数列{a n }是等差数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝1
S n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)当n ＝1时，4S 1＝a 21＋2a 1－3，即a 2
1－2a 1－3＝0，
解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，
由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，得当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3，两式相减， 得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，
又a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
(2)由a n ＝2n ＋1，得S n ＝3＋2n ＋1
2·n ＝n (n ＋2)，
∴b n ＝1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝
⎛⎭⎪⎫
1n
－1n ＋2， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1
n ＋2
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3
4－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). ►考法2 形如a n ＝
1
n ＋k ＋n
型
【例4】 已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1
f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的
前n 项和为S n ，则S 2 019＝________.
2505－1 [由f (4)＝2，可得4α＝2， 解得α＝12，则f (x )＝x 1
2.
∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1
n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，
S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019
＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 019－ 2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1＝2505－1.]
.
n 2147为S n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1S n ＋2n 的前
n 项和T n .
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .
法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝4，
a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝30，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，3a 1＋9d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.
法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝30，解得a 4＝10， 所以d ＝a 4－a 24－2
＝10－42＝3，
所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×3＝3n －2. (2)由(1)知S n ＝3n 2－n
2，
所以S n ＋2n ＝3n 2－n 2＋2n ＝3n 2＋3n 2＝3n (n ＋1)
2，
所以1
S n ＋2n ＝2
3n (n ＋1)
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫
1n －1n ＋1. 所以T n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n
3(n ＋1)
.
1．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和．
[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时， a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，
两式相减得(2n －1)a n ＝2，
所以a n ＝22n －1
(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式，
所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1
. (2)记⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n
2n ＋1＝2
(2n ＋1)(2n －1)
＝12n －1－12n ＋1， 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋1
2n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．
[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.
设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，
从而a 1＝32.
所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.
(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋4
24＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.
两式相减得 12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2 ＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。