(新课程)高中数学 2-3 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5

题型三 放缩法在数列中的综合应用 【例 3】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项； (2)证明：n2－13＜aa12＋aa23＋…＋aan＋n 1＜n2(n∈N＋)．
[思维启迪] (1)问考查由递推关系式求通项的方法； (2)问考查放缩法证明不等式． (1)解 ∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数 列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．“a，b，c中至少有一个
不为0”．
答案 D
2．已知 a，b，c，d 都是正数，S＝a＋ab＋c＋a＋bb＋d＋c＋dc＋a
[思维启迪] 利用 n2＜ nn＋1＜n＋n2＋1放缩，进而求证．
证明 ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2 ＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n＋2 1 <12＋32＋52＋…＋2n＋2 1＝n＋212 ∴nn＋2 1<Sn<n＋212.
法二 假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1 且 z(2－x)＞1.
∴ x2－y＋ y2－z＋ z2－x＞3
③
而 x2－y＋ y2－z＋ z2－x
≤x＋22－y＋y＋22－z＋z＋22－x＝3
④
④与③矛盾，故假设不成立，
∴原题设结论成立．
方法点评 (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反 面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与 已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾.
求证：a>0，b>0，c>0. [思维启迪] 利用反证法求证．
证明 假设a、b、c不全是正数， 即至少有一个小于或等于0. 又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0. ∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0. ∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0. 即ab＋bc＋ca<0. 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾． ∴假设不成立． 故a>0，b>0，c>0成立．
规律方法 (1)用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项 “添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式 收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
(2)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
＞ k
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
＜ k
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k＞1)；
2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )使它由繁
化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分 式，把分母放大，则相应分式的值 缩小， 反 之 ， 把 分 母 缩小，则分式的值 放大 ．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？ 提示 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥14(x∈R)； 2x＞0(x∈R)．
第三节 反证法与放缩法 【课标要求】 1．理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明
不等式的方法． 2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式． 【核心扫描】 1．利用反证法、放缩法证明不等式或常规问题是本节的热
点． 2．在不等式的证明中，常与数列、三角结合，将放缩法渗
透其中进行考查．(难点)
＋c＋dd＋b，则有
( )．
A．S＜1
B．S＞1
C．S＞2
D．以上都不对
解析
S
＞
a a＋b＋c＋d
＋
b a＋b＋c＋d
＋
c a＋b＋c＋d
＋
a＋b＋d c＋d＝1.
答案 B
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设
为
( )．
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
(2)证明
∵aan＋n 1＝22n＋n－1－11＝12－ －2211nn＜12，
∴aa12＋aa32＋…＋aan＋n 1＜n2. ∵aak＋k 1＝22k＋k－1－11＝12－22k＋11－1＝12－3·2k＋12k－2
≥12－1321k，k＝1,2,3，…，n.
∴aa12＋aa32＋aa34＋…＋aan＋n 1≥n2－13＋1321n＞n2－13.
规律方法 解数列不等式综合题要注意 ①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考察数学能力的 良好载体； ②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其 中，注意考察的方式； ③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．
【变式 3】 求证：12＋34＋58＋…＋2n2－n 1<3 (n∈N*)． 证明 设 S＝12＋34＋58＋…＋2n2－n 1， 将等式两边乘以12得12S＝14＋38＋156＋…＋22nn－＋11. 将两式相减得12S＝12＋214＋18＋116＋…＋21n－22nn－＋11 ＝12＋1－22nn＋＋13.∴S＝3－2n2＋n 3，又2n2＋n 3>0， ∴S<3，即12＋34＋58＋…＋2n2－n 1<3 (n∈N*)．
自学导引 1．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确的推理， 得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的 事实等) 矛盾 的结论，以说明假设不正确，从而证明 原命题成立，我们把它称为反证法．
想一想：哪些命题或不等式适合用反证法证明？ 提示 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现 “至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．
规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发， 通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而 肯定原命题成立．
【变式 1】 已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证：1＋x y与1＋y x中
至少有一个小于 2. 证明 假设1＋x y≥2 且1＋y x≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋y≥2x
①
1＋x≥2y
②
①＋②得 2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
即 x＋y≤2 与 x＋y>2 矛盾．
∴假设不成立，故1＋x y与1＋y x中至少有一个小于 2.
题型二 放缩法证明不等式 【例 2】 设 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1，
求证：不等式nn＋2 1<Sn<n＋212对所有的正整数 n 都成立．
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一
奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶
数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只
有D项符合．
答案 D
题型一 反证法证明不等式 【例1】 已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
②k12＜kk－1 1＝k－1 1－1k；k12＞kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；
③k12＜k2－1 1＝k－11k＋1＝12k－1 1－k＋1 1(程度小)．
【变式 2】 求证：1＋212＋312＋…＋n12<2 (n∈N*)． 证明 1＋212＋312＋…＋n12<1＋11·2＋21·3＋…＋nn1－1＝1＋ 1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n ＝2－1n<2.
则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1
①
由于0＜x＜2，∴0＜x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1.
同理：0＜y(2－y)≤1，且0＜z(2－z)≤1，
∴三式相乘得：0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1
②
②与①矛盾，故假设不成立．
∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.
方法技巧 用反证法证明否定性结论 【示例】 已知0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2，求证：x(2－y)，y(2
－z)，z(2－x)不都大于1. [思路分析] 由题目可获取以下主要信息： ①x，y，z范围已知； ②要证明的为否定性结论． 解答本题可用反证法加以证明．
解 法一 假设x(2－y)＞1且y(2－z)＞1且z(2－x)＞1均成立，