高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

|b|cos θ 的乘
温馨提示：投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为 负，也可为零．
3．向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝ |a||b| ； 当a与b反向时，a·b＝ －|a||b| .
(3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2. a·b
[规律方法] (1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因
此，当a∥b时，有0°或180°两种可能；(2)非零向量a⊥b⇔a·b
＝0；(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos θ，与它们的夹角有关， 夹角范围是[0°，180°]．
【活学活用2】 若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝ 1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a.
＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
答案 C
2．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )． A.0，π2 B.π2，π C.π2，π D.π2，π 解析 ∵a·b＝|a||b|cos θ<0，∴cos θ<0，又θ∈[0，π]， ∴θ∈π2，π.
于是有77aa22＋ －1360aa··bb－ ＋185bb2＝2＝00. ，
① ②
①－②得2a·b＝b2.
③
将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cos α＝|aa|·|bb|＝2|b|b|2|2＝12.
∵0°≤α≤180°，∴α＝60°.
[规律方法] 要注意向量数量积性质的正确运用，以及向量夹角 的范围，这时由2a·b＝b2，不能推出2a＝b，同样由a2＝b2也不能 得出a＝b或a＝－b.
解 ①当a∥b时， 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝9.
新知导学 1．向量的数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量 |a||b|cos θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b|
cos θ .规定零向量与任一向量的数量积均为0. 温馨提示：书写向量a与b的数量积a·b时，符号“·”既不能 省略，也不能用“×”代替．
[规律方法] 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键 是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运 算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有 关角的概念以及数量积的性质等．
Hale Waihona Puke 【活学活用1】 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真
命题的个数为( )．
① a·b ＝ ±|a|·|b|⇔a∥b ； ② a 、 b 反 向 ⇔ a·b ＝ － |a|·|b| ； ③
|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．
③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为 邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对 角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以 a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题． ④ 当 |a| ＝ |b| ， 但 a 与 c 的 夹 角 和 b 与 c 的 夹 角 不 等 时 ， 就 有 |a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假 命题． 综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 答案 C
答案 C
3．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________. 解析 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7. 答案 －7 4．已知|a|＝ 2 ，|b|＝ 2 ，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂
定义．题中∠A并非向量
→ AB
与
→ CA
的夹角，其夹角应为∠A的补
角150°.
[正解]
∵|
→ AB
|＝6，|
→ AC
|＝5，
→ AB
与
→ CA
的夹角θ＝180°－30°＝
150°，
∴A→B·C→A＝|A→B||C→A|cos θ
＝6×5×cos 150°＝－15 3. [防范措施] 在几何图形中求两个向量数量积时，注意根据图形特
易错辨析 对向量的夹角理解不正确而致错
【示例】
已知在△ABC中，|
→ AB
|＝6，|
→ AC
|＝5，∠A＝30°，求
→→ AB·CA.
[错解] ∵|A→B|＝6，|A→C|＝5，∠A＝30°， ∴A→B·C→A＝|A→B||C→A|cos 30° ＝6×5× 23＝15 3.
[错因分析] 本题错解的原因在于没有能够正确理解向量夹角的
a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
A．1
B.2
C．3
D.4
解析 ①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝|a||b|及a、b为非零向量
可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故
命题①是真命题．
②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－
解析 由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故 ①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所 以 a·c ＝ － b·c ， 所 以 |a·c| ＝ |b·c| ， ② 正 确 ； a ， b 共 线 ⇔ a·b ＝ ±|a||b|，所以③错． 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错； |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故 ⑧错． 综上可知①②⑥正确． 答案 ①②⑥
负值
零
图示
探究点3 对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示 不一定成立．∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反， a·(b·c)≠0 时 ， 其 方 向 与 a 相 同 或 相 反 ， 而 a 与 c 方 向 不 一 定 相 同，故该等式不一定成立．
类型一 平面向量数量积的基本概念 【例1】 下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c 是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b ＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零 向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角 为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的 是________． [思路探索] 结合向量数量积的概念、性质、运算律逐一判断正确 与否．
点，分析向量的夹角，一定要依据夹角的概念，以向量共起点为
切入点.
课堂达标
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )．
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2
＝a2·b2.
A．1
B.2
C．3
D.4
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图所示：O→A＝a，O→B＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为 B1，则OB1＝ |b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b 方向上的投影．
(2)数量积的几何意义 a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影 积．
类型二 平面向量数量积的基本运算 【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角 是60°时，分别求a·b. [思路探索] 由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹 角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b，第① 种情况夹角θ＝0°或180°，第②种情况夹角θ＝90°，第③种情 况夹角θ＝60°.
(4)cos θ＝ |a||b| . (5)|a·b| ≤ |a||b|.
4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (结合律)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
互动探究
探究点1 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa
是一个向量，既有大小，又有方向．
探究点2 投影与夹角有什么联系？
提示 向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，向量b在a的方
向上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表.
θ的取值 0 π
0，π2
π2，π
π 2
投影的值 |b| －|b| 正值
类型四 向量的夹角与垂直问题 【例4】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b
与7a－2b垂直，求a，b的夹角α. [思路探索] 本题主要考查两向量的夹角公式、垂直关系以及数 量积的运算．要求α，需知|a|，|b|与a·b，为此需利用条件中的 两个垂直关系求出所需的量． 解 ∵a＋3b与7a－5b垂直， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， ∵a－4b与7a－2b垂直， ∴(a－4b)·(7a－2b)＝0.
解 法一 由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同 向，而向量c与它们反向． ∴a·b＋b·c＋c·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180°＝3－4－12＝ －13. 法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，∴a·b＋b·c ＋c·a＝a＋b＋c2－2a2＋b2＋c2＝0－32＋2 12＋42＝－13.
【活学活用3】 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a －b|.
解 ∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2|b|2＝9， 代入①式得 4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝ 10.
类型三 与向量的模有关的问题 【例3】 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围． [思路探索] 向量模的范围可以转化为向量不等式或者利用数量积 形式处理． 解 法一 ∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7， 即|a－b|的取值范围是[1,7]．
法二 ∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]． [规律方法] 运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成 立的条件；解法二中将模平方，这是处理向量模的问题的基本方 法，也是常用的方法，并且平方后往往涉及数量积的运算．
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其
物理意义． 2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义． 3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性
质与运算律解决有关问题． 【核心扫描】 1．平面向量的数量积．(重点) 2．平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
【活学活用4】 已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求 证：(a＋b)⊥(a－b)． 证明 ∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.∴a2＝b2. ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．