川大04-05线代考试+答案

四川大学期末考试试卷(A )
（2004—2005学年第一学期）科
目：《大学数学》（线性代数）
适用专业年级：四川大学2004级各专业本科生
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
一、填空题（每小题3分，共15分）1．设行列式
ij A D ,2
34713011−−=表示D 中元素j i a 的代数余子式,则
=
++3332317A A .
2．设*,543022001A A ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=是A 的伴随矩阵,则=−1*)(A _______
.
3．设)2,0,1,0(,2101=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=βα,矩阵αβ=A ,则秩)(A =_______
.
4．设三阶方阵A 的特征值为,2,1,1−.且2
35A A B −=,则B 的特征值为.
5．
设A,B 都是
n 阶方阵,且A 与B 合同,若秩(A )=r,则秩(B )=
二、选择题（每小题3分，共15分）
1．已知A 为n 阶方阵,若,21E A AA T =−(其中E 为单位矩阵),则=−1A AA T (
).
(A)2;(B)2;(C)
n 2;
(D)
22n
.
2．设有向量T )1,1,2(1=α,T )7,2,1(2−=α,T t ),2,1(=β,若β可以由21,αα线性表出,则=t (
).(A)
-5；
(B)-2;(C)2;(D)5.
3．
设4321,,,αααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系,则下列向量组中(
)
也是AX =0的基础解系.
(A)43211,,ααααα++(B)14433221,,,αααααααα−++−(C)443321,,,2αααααα−+(D)
3
32211,,,αααααα++4．设A 是n 阶矩阵,如果A E 3+不可逆(E 为单位矩阵),则有()
.
(A)3是A 的特征值;
(B)-3是A 的特征值;(C)
3
1是A 的特征值;(D)
-3
1是A 的特征值.
5．下列矩阵中,(
)是正定矩阵..
(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200132011(B)⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡212143234(C)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−124213436(D)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡511142121
三、解答下列各题(每小题9分，共27分)
1．
求向量组)4,2,1,1(1−=α,)2,1,3,0(2=α,)14,7,0,3(3=α,)0,2,1,1(4−=α,
)6,5,1,2(5=α的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.
2．a 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=−+=+++=++0
23)2(3212321
321321x ax x x a x x x x x 无解?有解?并在有解时求出其
.
3．已知A 为三阶矩阵,且有03=−A E ,02=+E A ,02=−E A ,其中E 是三阶单位矩阵,求A 的行列式A .
四、计算题(每小题10分，共30分)
1．
设有矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=111131111A ,试问A 能否相似于对角阵?若能,则求出可逆矩阵P ,使得AP P 1−为对角阵.
已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ,且X A E AX +=+2,其中E 是三阶单位矩阵.求矩阵X .
设二次型322
322213212334),,(x x x x x x x x f +++=试用正交变换将二次型),,(321x x x f 化为标准形(即平方和),并写出所用的正交变换.
五、证明题(第1小题6分,第2小题7分,共13分)
1．
设A 是)1(−×n n 矩阵,证明:方程组β=AX 有解时,该方程组的增广矩阵
)(βA 的行列式0=βA .试问,反之是否成立?
2．设A 、B 为两个n 阶矩阵,且A 的n 各特征值两两互异.若A 的特征向量恒为B 的特征向量,证明:BA AB =.
2004级线性代数期末考试试卷A 参考答案
一：1、0
2、
100101105534110
10
2A A
⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
3、()1r A =
4、(6,4,12)−−−
5、()r B r
=二：1、C 2、D 3、C
4、D
5、A…
三
：
1
、
12
345103121
3011()217254
2140
6ααααα⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟′′′′′=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1031201101000000
042⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
−−⎝⎠
310302011010000010
1
2⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟→⎜
⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
124134,,(,,;?))αααααα⋯或为一个极大无关组。

且有3123ααα=+，512431
22
αααα=++。

2、线性方程组的增广矩阵可经过以下变形化成阶梯形矩阵
12112323120a a ⎛⎞⎜⎟+⎜⎟⎜⎟−⎝⎠12110111231a a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠121101100(2)33a a a a ⎛⎞
⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠
（1）当(2)30a a −−≠时，方程组有唯一解12
23432
2311a x a x a a x a −⎧
=⎪−⎪
⎪=⎨−−⎪
⎪=⎪+⎩
；（2）当(2)30a a −−=，而30a −≠时，即1a =−时方程组无解；（3）当(2)30a a −−=，且30a −=时，即3a =时方程组有无穷多个解；
当3a =时，线性方和组变形为1232321
31x x x x x ++=⎧⎨−+=⎩
;
令30x =得特解为0(3,1,0)X ′
=−令31x =得齐次线性方程组1232320
30x x x x x ++=⎧⎨−+=⎩
的基解为1(7,3,1)X ′
=−所以当3a =时，方程组的全部解为01X CX +，其中C 为任意常数。

3、由已知可得三阶矩阵A 的特征值为1
3,2,
2
−，所以得A 的行列式为1
3(2)32
A =×−×=−。

四：1、由题意知原矩阵方程可变形为2
()()()A E X A E A E A E −=−=−+，因为A E −为
可逆矩阵，故有2
010
3010
2X A E ⎛⎞⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
2、2(2)(1)E A λλλ−=−−，得特征值为1232,1
λλλ===将2λ=代入特征方程得1230x x x +−=，特征向量为12(1,1,0),(1,0,1)X X ′′=−=；将1λ=代入特征方程得13120
x x x x +=⎧⎨
+=⎩，特征向量为3(1,1,1)X ′=−−。

显然123,,X X X 线性无关，故A 可对角化。

令123()P X X X =，则有
12
000
2000
1P AP −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
3、二次型对应的矩阵为
1
000
3101
3A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
，2((3)1)(1)E A λλλ−=−−−，得特征值为
1231,2,4λλλ===；
将1λ=代入特征方程得2323
20
20x x x x −−=⎧⎨−−=⎩，特征向量为1(1,0,0)X ′=；
将2λ=代入特征方程得1230
x x x =⎧⎨
−−=⎩，特征向量为2(0,1,1)X ′=−；
将4λ=代入特征方程得123
0x x x =⎧⎨−=⎩，特征向量为2(0,1,1)X ′=。

123,,X X X 是正交向量组，
标准化后得123(1,0,0),,,βββ′′′==−=令123(,,)C βββ=，则有1
1222
123
24X C Y X AX Y C ACY y y y −=−′′⎯⎯⎯⎯→=++。

五：1、AX β=∵有解，()()r A r A n β∴=<，又()A β∵为n n ×阶矩阵
()0
A β∴=但反过来不一定成立。

当
()0A β=时，可以得到()r A n β<，但不能得出
()()r A r A β=即方程组不一定有解。

2、A ∵
有n 个互异的特征值，∴A 有n 个线性无关的特征向量。

设12,,...,n X X X 为A 的n 个线性无关的特征向量，由题意知12,,...,n X X X 也为B 的特征向量，故A 、B 均可对角化，令12(,,...,)n P X X X =，P 可逆，则存在对角阵()112,,...,n diag a a a Λ=，()212,,...,n diag b b b Λ=，
使得11P AP −=Λ，12P BP −=Λ，
11111221P ABP P APP BP P BAP
−−−−∴
==ΛΛ=ΛΛ=。