北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

2
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）


顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
我们已经学习过二次函数y＝ax2＋k的图象可以由函数y＝ax2的图象经过上
下平移得到.那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会
议一议：类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图象有什么
y=2x2x=-1y x=1
关系吗？
y=2(x–1)2
二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图
2
y=2(x+1)
象都是抛物线，并且形状相同，只是
位置不同．
结论：
将y=2x2 的图象向
左 平移 1 个
单位就得到y=2(x+1)²的图象.
当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；
二、自主合作，探究新知
典型例题
例3：对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；
③ 顶点坐标为（-1，3）；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小.
其中正确结论有（ C ）
A. 1 个 B. 2 个
当x ＞-2 时，y随x的增大而减小.
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数 y=a(x-h)2的性质
y ax h 开口 对称轴 顶点
2
a>0
向上
x=h
(h,0)
a<0
向下
x=h
(h,0)
最值
当x=h时，
y min 0
当x=h时，
y max 0
增减性
x>h
y随x的增大而
增大
y随x的增大而
y x=1
2
二次函数y=2(x-1)²的图象与y=2x 的图
2
2
y=2(x–1)
y=2x
象都是抛物线，并且形状相同，只是位
5
置不同．
4
结论：
将函数y=2x2的图象向 右 平移 1_个
单位就得到y=2(x-1)²的图象.
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
二、自主合作，探究新知
三、即学即练，应用知识
3.对于抛物线y=- (x−2)2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴
为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减
小．其中正确的结论有（
A．1个
B．2个
D
）
C．3个
D．4个
1
4.将抛物线 y ( x 3)2 向左平移2个单位后，其顶点坐标为（
y=2x²
1个单位
顶点(0，0）
y=2(x-1)²
顶点(1，0）
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为(h，0）.
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
当向右平移 ︱h︱ 时
得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？
y＝2x2
我们已经认识了二次函数y＝2x2的图象，那
8
么二次函数y＝2（x-1）2的图象与y＝2x2的图
6
象有什么关系呢？本节课我们将继续研究有
4
关问题．
2
－4
－2
2
4
二、自主合作，探究新知
探究一：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
做一做：画二次函数y＝2(x－1)2的图象．
C. 3 个
D. 4 个
分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④ x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C.
三、即学即练，应用知识
1
1．对于抛物线 y ( x 1)2 的说法错误的是（ D ）．
增大
7
最大
当x=______时，函数有_____值，其值为_______．
2
6.抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，其顶点
y=-2(x+1)2+3
坐标为（-1，3）此抛物线的解析式为__________________．
三、即学即练，应用知识
7.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y= -（x-1）2+1的图象上，
（1）完成下表：
x
－4
32
y＝2x2
y＝2(x－1)2 50
－3
18
32
－2
8
18
－1
2
8
0
0
2
1
2
0
2
8
2
观察上表，你能发现2(x－1)2与2x2的值有什么关系？
3
18
8
4
32
18
二、自主合作，探究新知
（2）在图中画出y=2(x－1)2的图象.
你是怎么画的，与同伴进行交流.
可以用描点法画图.
x=1
y=a (x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
向上
直线x=h
（h，k）
a<0
向下
直线x=h
（h，k）
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数y=ax2 （a≠0）与y=a（x-h)2+k（a≠0）的关系
y = ax2（a≠0）
顶点(0，0)
上下平移k 个单位
左右平移 h 个单位
顶点式
y = a( x - h )2 + k（a≠0）
y=2(x+3)2

向下平移 个单位



向下平移 个单位
顶点(-3,0）

= ( + ) −


顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
平移方法2
y=2x2


向下平移 个单位

向左平移3个单位
��

= ( + ) −
y=2x2−




向下平移 个单位
顶点(0,0）
向左平移3个单位
抛物线
y=2x²
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y=2(x-1)² 当x＜1时，y随x的增大而减小；
当x＞1时，y随x的增大而增大.
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
二、自主合作，探究新知
（3）二次函数y=2(x-1)2 的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？
五、当堂达标检测
4 2
1.将抛物线 y x 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单
3
位得到抛物线（ B ）．
4
A． y ( x 2)2 3
3
C． y 4 ( x 2)2 3
3
4
B．y ( x 2)2 3
3
D．y 4 ( x 2)2 3
顶点(h，k)
平移规律简记为：
上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.
二次项系数a不变.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例2:若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
那么所得抛物线的函数关系式是（ B ）．
A．y=(x+2)2+2
B．y=(x+2)2-2
C．y=(x-2)2+2
2
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，0）
C．抛物线的对称轴是直线x=1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的
图象，平移的方法是(
C
)
A．向上平移1个单位
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位
D．向右平移1个单位
＞ 2（填“＞”、“＜”或“=”）．
若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y
8.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线
与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐
(5，0)
标是________．
三、即学即练，应用知识
9.已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上

∴原二次函数的表达式为y＝－ (x－1)2－1，


∴a＝－ ，h＝1，k＝－1.


2
(2)∵y＝a(x－h) ＋k＝－ (x－1)2－1，

∴ 图象的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．
四、课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k
开口方向
y
y=2(x–1)2
y=2x2
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
二、自主合作，探究新知
议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分
别是什么？
x=1
y
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x²
y轴
( 0, 0)
向上
（直线x=0）
y=2(x-1)²
减小
x<h
y随x的增大而
减小
y随x的增大而
增大
二、自主合作，探究新知
探究二：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
想一想：由二次函数y=2x²的图象，你能得到二次函数 = ( +
)
−


的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
平移方法1
y=2x2
向左平移3个单位
向左平移3个单位
顶点(0,0）

平移4个单位长度，得到抛物线y＝－ (x＋1)2＋3.(1)试确定a、h、k的值；

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解：(1)抛物线y＝－ (x＋1)2＋3的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先

向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点(1，－1)，
D．y=(x-2)2-2
二、自主合作，探究新知
知识要点
y=a(x-h)2+k
开口方向
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
最值
增减性
当x=h时，ymin=k
当x=h时，ymax=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＜h时，y随x的增大而增大.
向上
直线x=1
( 1, 0)
y=2(x–1)2
y=2x2
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
二、自主合作，探究新知
（2）二次函数y=2(x-1)2中，x取哪些值时，y值随x的值增大而增大？当x
取哪些值时，y值随x的值增大而减小？
y x=1
y=2(x–1)2
y=2x2
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
二、自主合作，探究新知
二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x+1)²的图象的关系
它们的图象都是 抛物线 ，并且形状 相同 ，开
口方向 相同 ，只是位置不同.
向左平移
y=2(x+1)²
1个单位
顶点(-1，0）
向右平移
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
最值
增减性
平移规律
当x=h时，ymin=k
当x=h时，ymax=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＜h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移
规律．（难点）
复习回顾
问题：说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
a,k的符号
a>0,k>0
a>0,k<0
a<0,k>0
a<0,k<0
点坐标
向上
y轴（直线x=0）
（0,k）
函数的增减性
当x<0时，y随x增大
y=ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)
2
y=a(x+h)
2
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：抛物线y=-3(x+2)2可以由抛物线y=-3x2向 左 平移 2