山东省临沂市2016-2017学年高二下学期期末考试文数试题(含精品解析)

高二教学质量抽测考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵,,
∴
故选：D
2.已知复数满足（为虚数单位），则（）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
∵，∴=
∴.
故选：C
点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：
（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．
（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
（3）利用复数相等求参数．．
3.已知与之间的一组数据如下表：
1234
2235
则与的线性回归方程过点（）
A. (2.5,2)
B. (2.5,3)
C. (2,2)
D. (2,3)
【答案】B
【解析】
由题意得：，
线性回归方程必过样本中心点
即线性回归方程过点
故选：B
4.“∵四边形是矩形，∴四边形的对角线相等”，以上推理的大前提是（）
A. 四边形的对角线相等
B. 矩形的对角线相等
C. 矩形是四边形
D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
请根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，
∴大前提一定是矩形的对角线相等，
故选：B．
5.下列结论正确的是（）
A. “若，则”的否命题是“若，则”
B. 对于定义在上的可导函数，“”是“为极值点”的充要条件
C. “若，则”是真命题
D. ，使得成立
【答案】C
“若，则”的否命题是“若，则”故A错误；
对于定义在上的可导函数，“”是“为极值点”的必要不充分条件，故C错误；
“若，则”是真命题等价于“若，则”是真命题，显然C正确；
，恒成立，故D错误.
故选：C
6.若角的终边经过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵角的终边经过点，∴
又
故选：A
点睛：1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
7.已知函数，则（）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
∵，
∴f(−1)=f(−2)==.
8.如果执行如图的程序框图，输入，那么输出的等于（）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
【答案】A
【解析】
输入m=4，s=1，i=1<4，
s=4，i=2<4，
s=6，i=3<4，
s=7，i=4⩽4，
输出s=7，
故选：A.
9.已知函数的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
根据函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象，
可得A=1,⋅T=⋅=−，∴ω=2.
再根据五点法作图可得2⋅+φ=π,∴φ=,故函数的解析式为f(x)=sin(2x+).
故g(x)=A sin(ωx+)=sin(2x+),故把f(x)的图象向右平移个单位长度，
可得g(x)=sin(2x+)的图象，
故选：D.
点睛：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
10.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据题意,函数在R上单调递增,且f(1)=−(−1)2+2x=1，
则有，解可得−1⩽a<0；
故选：C.
11.函数的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意，函数满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C，
又由且，排除B、D，故选A．
12.给出下列结论：
①若扇形的中心角为2，半径为1，则该扇形的面积为1；②函数是偶函数；③点
是函数图象的一个对称中心；④函数在上是减函数.其中正确结论的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
解答：
对于①，扇形的中心角为2，半径为1，
则该扇形的面积为S=αR2=×2×12=1，①正确；
对于②,函数=cos2x(x∈R)，它是偶函数，②正确；
对于③,当x=时,y=sin(2×+)=−1，
点(,0)不是函数y=sin(2x+)图象的一个对称中心，③错误；
对于④,函数y=cos x−sin x=cos(x+)，
当x∈时,x+∈[,]，∴y是减函数，④正确，
综上，正确的命题序号是①②④，共3个。

故选：C.
点睛：(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若是纯虚数，则实数的值为________．
【答案】1
【解析】
若是纯虚数，则,∴m=1
故答案为：1
点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0
14.曲线在点处的切线方程为________.
【答案】（或）
【解析】
∵，∴
当x=0时，
则曲线在点处的切线方程为
故答案为：
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：
（1）已知切点求切线方程；
（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；
（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可测，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中，“…”即代表无数次重复，但该表达式却是个定值，它可以通过方程，求得，类比上述过程，则__________．
【答案】9
【解析】
由，易得：.
故答案为:9
16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，又知的导函数的图象如下图所示：
045
1221
则下列关于的命题：
①函数的极大值点为2；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当，函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________．
【答案】②
【解析】
由导函数的图象可知：当x∈(−1,0),(2,4)时,f′(x)>0，
函数f(x)增区间为(−1,0),(2,4)；
当x∈(0,2),(4,5)时,f′(x)<0，
函数f(x)减区间为(0,2),(4,5).
由此可知函数f(x)的极大值点为0，4，命题①错误；
∵函数在x=0,2处有意义,∴函数f(x)在[0,2]上是减函数，命题②正确；
当x∈[−1,t]时,f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；
2是函数的极小值点,若f(2)>1,则函数y=f(x)−a不一定有4个零点，命题④不正确。

∴正确命题的序号是②。

故答案为：②。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某校计划面向高一年级1240名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，按性别进行分层抽样，现抽取124名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有65人.在这124名学生中选修社会科学类的男生有22人、女生有40人.
（1）根据以上数据完成下列列联表；
（2）判断能否有99.9%的把握认为科类的选修与性别有关？
附：，其中
0.100.050.0100.0050.001
2.706
3.841 6.6357.87910.828
【答案】（1）如解析中表格所示；（2）有99.9%的把握认为科类的选修与性别有关【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意计算男、女生选修社会科学类与自然科学类的人数，填写列联表即可；（Ⅱ）计算K 2，对照临界值得出结论．试题解析：（1）
（2）计算，因此有99.9%的把握认为科类的选修与性别有关.
18.已知函数.
（1）当时，求
的值域；
（2）若
是偶函数，求的值.
【答案】(1) 的值域为；(2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将m=0代入f （x ），结合指数函数以及对数函数的性质求出函数的值域即可；（Ⅱ）根据偶函数的定义计算f （﹣x）=f （x ），由系数对应相等求出m 的值即可．试题解析：(1)当时，
.
∵，∴
，
∴
，∴的值域为
.
(2)法一：∵
.
∴是偶函数，
∴，
∴，
∴，
∴.
法二：∵是偶函数，∴，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴.
19.已知函数的图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1），；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求出ω和φ的值．（Ⅱ）利用三角恒等
变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得当时，函数
的值域．
试题解析：
（1）∵图象上相邻两个最高点的距离为，
∴，∴，
∵图象关于直线对称，∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）由（1）知.
∴
∵，
∴，
∴，
∴.
因此所求函数的值域为.
点睛：　三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，
把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
20.为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系
，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值.
【答案】（1）；（2）当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】
试题分析：（I）根据c（0）=8计算k，从而得出f（x）的解析式；
（II）利用基本不等式得出f（x）的最小值及等号成立的条件．
试题解析：
（1）当时，，∴.
由题意知，，即.
（2）∵
∴，令，即，
∴.
当时，，当时，，
当时，取得最小值.
.
所以，当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）
【解析】
试题分析：（1）求出，讨论a，明确函数的单调区间；（2）当时，恒成立转
化为恒成立，研究新函数的最值.
试题解析：
（1）∵，
①当时，恒成立，∴在上为增函数.
②当时，由，得；由，得，
∴在上为减函数，在上为增函数.
（2）∵恒成立，即恒成立.
即恒成立，令，
∴，令，，
当时，恒成立，∴在上单调递增.
又，∴在上恒成立，
即在上恒成立，∴在上单调递增.
又，∴在上恒成立，要使恒成立，须.
故所求实数的取值范围为.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.直线的方程为.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求圆和直线的极坐标方程；
（2）若射线：与圆交于点，与直线的交于点，求线段的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（I）把cos2φ+sin2φ=1代入圆C的参数方程，消去参数化为普通方程，把代入可得圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）联立方程组，求出交点坐标，从而求出线段PQ的长即可．
试题解析：
（1）圆的直角坐标方程为.
由得圆的极坐标方程为，
即.
直线的极坐标方程为，即.
（2）由得，
∴.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于任意的实数恒有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取
并集，即得所求
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值，再根据此最小值大于或等于|a﹣1|，解绝对值不等式，求得实数a的取值范围．
试题解析：
（1）不等式，即为，
等价于，或，或.
解得,
∴原不等式的解集为.
（2），要使对任意实数成立，
须使，解得.点睛：。