竞赛中复数相关知识点

复数的概念与运算
1. 疑数的捉念
复散有四种衷示形式：
代数形式*工=卫+扫，q.占
几何晤式：复数==私+再i", 与逻平面内的点Z(s小或由似点发出的向It
o2—对应&
三角陋式：丄■ r(cGaO+ isin^> f r O t 6 R i
指数形式」甲空O.BWIG
其中.* = cos^+istrt? Jfi #为塑数工昶報嘔这就屆茗名的欧擅(Euhr)公式.
通过这四料形式来点达fitt.ffiaft的槪盒更加淸期・立观、形象、深刻.这四种晤式所甄含的实标意文，沟通f代数、三帝、几何帶学科剛的联系.曲它们所建立起来的塑数的运审法则+标只右各貞的特点•通过它们之闸的彼此转化.我fj能灵活地分析间SftW 决问團.
2. 址数的运算法刚
加、滅法；G + 用)± <c + tf/i> 匸<o 士『)+ ⑴士£)* t
期法：也+ £i〉Q + 山)=(m —加)+ (撿+ M )i*
fi Crr>s(?i + Xin" ) • ^(cras^j —isir^ > = nrjfcosCf?十0 ) + isin(tf5+ ft )1;
「厶* a + 6i uc H- W L U ~~ ad. j* , rtS
除法：冲»君孑+产市&+山融°儿
=—[cestui tf2) + >3in<^i —)J*
乘方；[『(co諮+ i«ntf>J" — r*(cOR曲 + isinrttf)(« € 2 ) «
开方:震数HcoM+ istiM)的n次方楸是皓(tx "二；飯+ isin j t k =
11 *"・用一I *
3. X£数的模与共耗复数^
共枫复数的性质：
(1 > 5i ±«r = ti ±Xj I
(2) z t z2= zi * £z« (孑)=吐0) * .
(3) Rets) = 4■“ + i)« Im(上)=丄(髦一*
£Zi
(4) 需是实数的充赛条件是巧=I, I是纯虎數的充要条件是文=-!且雷HQ *
(5) 龙・£ = | I I1=[?[*.
复数的模的性曉；
(1)max { | Re(^> I * | Im(z) I } W 丨疋！W 丨尺貞爼》1 + 1 lm( t) | ;
(2)I Z)• I = I zi I • I zi I »J — = ! - ] 0) »
(3)II !-| z t f |<l割+殆KI z. 14仍h当鬲或抚中有一个为零时•上述不等式零号嵐毛当詬
却尹0时•当且仅肖I arg^( - arg^ |=托时，左边取畔号*当且仅当argii = argtj时，右边取等号.
危似地.还有I丨引I 一I為I I瑤I =：—拓r I £1航I + 1刘h 这两个不等式称为三猜不等式.
4. 團个复数相尊的充爽条伸是它们的实部、虚部对应相等，或丹它的的模与轴角主備对应相導f非零«»).利用复数相等的充妥条件，可以把复散问懸转化为实数问赵•从而获得解决间题的一种途径.
复数的模也足将梵数问题实数化的冇效方法之齊于利用模的性质.足模运算中的一个突出方面. ^
复数的几何意义
复数的几何形式，使训址数本身及其运算农了几何意义.
复数的加法可以按嗨佝址加法的平行四边形祛则来进行；两个复数的差引一引纭连结两个向献终点井揃向發减数的向fit对应.
设ti = ri (cos^i 4-isin^! = r z (co瞰+ isin^；人则M个烫数的乘积⑺引对应的向磧就览把間#6^7按逆时針方向旋转一个角解若ft <o,!IM]eoz7按JK时甜方向旋转一个角I 0.再把它的模变为原来的心fit两个复数相除亦冇类似的几何性质.
设在4(平面内的对应点分别为乙・Z_Zj,由复數及It运算的几何意文，我们容豺得到以F结论】
(B Ut - z?|丧示两点Z| Z间的距离.
(2) 满足| Z—引1 = 1 t-Zr |的复数上对应的点的轨迹是线段乙乙的垂直平分线.
(3) 満足I Z —G |=r(r>0)的g»r对应的点的轨迹是以点乙为圆心*为半泾的虬
(4) 滿圮| z —Zi|+| I —z：|・2a(0 < I Zi Zt I < 2a)的塑数工对应的点的轨迹是以点n 为焦点.长轴长为加的椎圆.
(5) 満足I I z-t! 1-1墨一引||=2a(|Z l Z I|>2a>0)的复数玄对应的点的轨迹堆以点乙*乙为焦点，宴轴长:为站的双曲纵
(6) 満足argz«tf(d6[0, 2電))的簸数r对应的点的轨if是以原点为端点的一条射线(以丁正半軸为始边，此射线为终边的最小非负角为㈤.
利用®數的几何意义•给某些数诫关系以几何解释•适当将数竝关系问题转化成图形件质问趣•通过图形求解.这种数形站合的思想方法■不仅增强了问題的2L观性*而11
复数与方程
由于塑数的引人•代数方程的右关何题出现了新的内容•在复数范阁内，対于一元” 次方程“以・+ 4_才1 +・・・+如=0(6护0),我们不加证明地给岀下述一些結论，
(1) 代数基本定理；牡糸数的一元"次方程有且仅有”个根(&审根按女个根计算)；
(2) 韦达定理；设厂，/,・・•，孔咼该方程的”个复根•則它们与方程的系数之何成立如下关系
xi + x： + ••• 4- x,
lilt +1*,工9 + •*• + Xe-1 J.
S n…刊=〈一i”严
工心…几=(—1)R—
a.
(3) 实系数方稈成根成对定理：若珈・尙•…，a.都是实数，则对方程的任；&复根a 其共也复数匚也是该方程的根.
这些便找们能够更深人地研究代数方程的解以及相关问题. 复数方桎类割繁多•解复数方程的方法也很名.
对F复系数的一元二次方程or' +Zir+c = 0(aHO)・我们可将斥来的实数范用内
的一元二次方程的求根公式工="土纟丫「叫沪一仏0)中的— W改为 &：-4“的平方根•则求根公式依然成立.
对F二项方稈h-a = 0・可令a = r(cos^+isin^)(r>0,^e R)，利用复数开方，即得该方程的"个根为折(83心齊十isin牛严卜这里& = 0,1,…，” 1.
一般地，对于低次方程，可以利用复数相等的充耍条件，转化为实数问题求解.有时. 也可以采用以模为突破口•先求模畑■再求复数£・
1的每一个n(n€N-)次方根，帐为力次冷位棋成简隊为車位根•记这”个单位根为c»«€| >••• »Cr-i ■其中e? = 1 >€a = cos + isin — (cos — + isin — ] — et ■这里A" n n \ n n /
1,2严・，”一1,于堆•全部”次单位根又可表示为1心血,・・・*「•待别地•把3次单位根记作bWtU/，其中W =—夕+爭・
当n为奇数时，除】以外•其余的71次单位粮郁是席数：当71为偶数时•除士】外・只余的銀位根都A虚数.井且”个草位根住更平面上对应于一个内接于敏位圆的正”边形的頂点•由于X-- I - "一1》(才1十4<7 +••• +工+】八所以
JT*~1+ JT*~Z + ・•• + jr + I ™ (or — Ci )(x — c： )e,»(jr —c«-i)
«<X —<| Xar — Cl) —<X —cr1) •
一般地•对任意的“Z.我门记“ -cos如+ isin如•缈由三角旳数的周期性可知n n
G=O・这里r^{0.1....,n-l}^=r(m(xi ”).这样.易知”次炉位軸冇如下性质，
<1)两个”次单位根5，引的乘积仍是-个”次腋位根•且这樂妃任意整数；
<2)对任«»»«.*€；=£-»
<3)设机是整数•且n€N* “Al•則】+・；4c；4・・・ + Q l = ("J 1 "1特别地.
(0(n> m)
1 + 6 十"+ ••• + —5=1 0 •
复数与几何
父敷胳几何慮义沟建r 代数与儿何之间的郴m 联系.利用赶数研究几何间融的关键 T E 样选戢恰当的世林系•进而建立儿何兀落的复数衷示•并借助复数的运®柴探究 千面几何问題的解决方案.
L 两点间的距离
圮平ifif 上.任壷两点Z.. Zz 间的距离为I 味一“L
2.定比分点公式
设Z 分右向线段ZN 成定比橋即三=ACA^-l)*则早=罕学腿定比分点Z 的 zzj !十人 复牧我示•特别地“当人=1时即得中点公式.
嵌熙定比分点公式•舅得平面上三点S 厶其线啊充要条杵垦’存広三个不全
茁+取+鬲=0 AiZi +A1Z2 十 A ( Zj 則 A ( = A? = A J - th
乱点到直线的即离
设点2］到由点Z*决定的Hi&l 的距离为* ■则j —跺|・|扣护|・这里护 为花到无艺所成的角.注意到
为零的实数入*人宀使得
推论*若Z,,乙.乙不共线■且存在实数;h ・h* A,満足
Ai +A, +山=0 Atri + A?Zi 4- hZi
于是d = --------- ------ I m<2|Z2 +N® +云引)的绝对值.
I — «i I
由此可知，由Z】，乙，Z)构成的三角形的面积
S“2?形 o +z2z t + Z3«1)的绝对值.
4. 购直线的夹角
设Zo. 21-乙为震平面上的三点•则ZZiZoZ： =arg(空二乞).由此可知•四边形\Z\— Zo
r
ZyZ.Z,乙为圆内接四边形的充姜条件是空二：包二 =AQ > 0).
2. — 2] 老4 1 *2
5. 相似
设厶乙以乙与△ W.W t W,为复平面上的两个三角形•则这两个三角形直接相似的充要条件是空二=3巴①
引—尙Wj — W|
M Zs — Z1 | = | Ws — W I
“宀一 c 4* 4 十 I I 习—N] I I W：— W| I
寧实上•①式等价于〈■
闲而①蘊含AZ1Z2Z3与Z\W| 直接相似.
6. 平行与垂直
ZiZ2 //Z I Z I的充要条件是空二- 2 e R).
— Z1
乙Z丄乙乙的充要条件是竺二丸=如"€ R).
— Zi
7. 向墩旋转
将向SZX绕Z按逆时针方向旋转0,再伸缩r倍(r>0),得向量无？=石N・摩°. 特别地，当0=寺，兮时•表明向蛆京与无茗所夹的角分别足手•贪当一1对•表示线段丨Z,Z|与| Z,Z2 I 相等.。