江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题11 函数与方程学案 理 苏科版

学案11 函数与方程
【导学引领】
（一）考点梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义
一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系
方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．
2．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)零点的分布
根的分布(m ＜n ＜p 为常数)
图象
满足条件
x 1＜x 2＜m
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0
－b 2a ＜m f m ＞0
m ＜x 1＜x 2
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0－b 2a ＞m f m ＞0
x 1＜m ＜x 2
f (m )＜0 m ＜x 1＜x 2＜n
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0
m ＜－b 2a ＜n f m ＞0f n ＞0
m ＜x 1＜n ＜x 2＜p
⎩⎪⎨⎪
⎧
f m ＞0f n ＜0f p ＞0
只有一根在(m ，n )
之间
⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝0m ＜－b 2a ＜n 或
f (m )·f (n ) ＜0
3.二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
零点存在性定理是函数y ＝f (x )存在零点的充分不必要条件
若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 就是方程f (x )＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．
如图，f (a )·f (b )＞0，f (x )在区间(a ，b )上存在零点，并且有两个．
【自学检测】
1．函数f (x )＝x ＋log 2 x 的零点个数为_______．
2．若函数f (x )＝x 2
＋2a |x |＋4a 2
－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________. 3．已知函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间(－1,1)内存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________． 4若函数f (x )＝log 3
x ＋2
x
－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________． 【合作释疑】判断函数在给定区间上零点的存在性
【训练1】 (1)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数
f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.
(2)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.
【训练2】 (1)函数f (x )＝2x
＋3x 的零点所在的一个区间是________(填序号)． ①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
(2)设函数f (x )＝1
3
x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )满足________(填序号)．
①在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点； ②在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点； ③在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 函数零点个数的判断
【训练1】 (1)已知函数y ＝x 3
－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.
(2)已知2＜a ＜2，则函数f (x )＝a 2
－x 2
＋|x |－2的零点个数为________．
【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x ＞0，
则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是
________．
(2)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
－ab ，a ≤b ，
b 2
－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x
－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．
二次函数的零点分布问题
【训练1】 已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围
【训练2】 (1)m 为何值时，f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2
|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
【当堂达标】
1．已知方程x 3
＝3－x 的解在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2，
n ＋12内，n ∈Z ，则n 的值是________． 2．已知方程2x
＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.
3．已知a 是函数f (x )＝2x
－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足________(与零
的关系)．
4．设函数f (x )＝1
3x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别
为________．
5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x －4，x ≤1，
x 2
－4x ＋3，x ＞1，
则函数g (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数为________．
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x ＞0，
－x 2
－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取
值范围是________．
7．若关于x 的方程mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．。