人教版中考数学培优练习：第3章 微专题 利用二次函数性质求最值 综合训练

第三章函数
微专题利用二次函数性质求最值
1．某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),饲养场的两面靠墙(墙足够长),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个形状相同的场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)．建成后木栏总长45米．设饲养场(矩形ABCD)的一边(AB)长为x米,饲养场的占地面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)求y的最大值．
第1题图
2．如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为多少？
第2题图
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价
x(元)满足一次函数关系m＝162－3x.
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式；
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能,求出此时的销售价格；如果不能,说明理由．
4．(2019天水)天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？
第4题图
5.某市为了增加市民的幸福感,计划在人民公园修建一个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装一根
水管OA,O恰好在水面的中心,OA＝3米,在水管的顶端安装一个水龙头,使喷出的抛物线形水柱与水池中心的水平距离为1米时达到最高,高度为4米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当水池的半径为多少时,才能使喷出的水流不流出池外；
(3)若在距离水管OA 2.8米处设立一个警示牌,并使其不碰到水柱,则警示牌的高度应不超过多少米？
第5题图
参考答案
综合训练1．解：(1)由题意知AB＝x米,
则EH、FG所用围栏长均为(x－1)米,CD＝x米,
BC＝45－(x＋x－1＋x－1)＋1＝48－3x(米),
∴饲养场的占地面积y＝x(48－3x)＝－3x2＋48x(1<x<47
3
)；
(2)∵y＝－3x2＋48x＝－3(x－8)2＋192,－3<0,
∴当x＝8时,y取得最大值,最大值为192平方米．2．解：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm, ∴AC＝AB2－BC2＝6 cm.
设运动时间为t(0≤t≤4),则PC＝(6－t)cm,CQ＝2t cm, ∴S四边形PABQ＝S△ABC－S△CPQ
＝1
2
AC·BC－
1
2
PC·CQ
＝1
2
×6×8－
1
2
(6－t)×2t
＝t2－6t＋24
＝(t－3)2＋15,
∵1>0,
∴当t＝3时,四边形PABQ的面积取得最小值,最小值为15 cm2.
3．解：(1)由题意得,每件商品的销售利润为(x－30)元,那么m件商品的销售利润为y＝m(x－30), 又∵m＝162－3x,
∴y＝(x－30)(162－3x),
即y＝－3x2＋252x－4860,
∵x－30≥0,
∴x≥30.
又∵m≥0,
∴162－3x≥0,即x≤54.
∴30≤x≤54.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x2＋252x－4860(30≤x≤54)；
(2)不能．理由如下：
由(1)得y ＝－3x 2＋252x －4860＝－3(x －42)2
＋432,
∴销售价格定为42元时获得的利润最大,最大销售利润是432元．
∵500＞432,
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
4．解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0),代入点(10,30),(16,24),
得⎩
⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝3016k ＋b ＝24, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝40, ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)；
(2)根据题意得,W ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2＋50x －400＝－(x －25)2
＋225,
∵－1<0,
∴当x<25时,W 随x 的增大而增大,
∵10≤x ≤16,
∴当x ＝16时,W 取得最大值,最大值是－(16－25)2＋225＝144元．
答：每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元．
5．解：(1)由题可知,抛物线的顶点坐标为(1,4),故可设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋4, 将点A(0,3)代入解析式得3＝a ＋4,
解得a ＝－1,
∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3；
(2)当y ＝0时,0＝－(x －1)2＋4,
解得x 1＝－1(舍),x 2＝3.
故水池的半径至少为3米时,才能使喷出的水流不流出池外；
(3)当x ＝2.8时,y ＝－(2.8－1)2＋4＝0.76,
∴警示牌的高度应不超过0.76米．。