辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第05

"辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第05章 数列B 精炼
试题 新人教A 版 " 第3课 数列的求和
【考点导读】
对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：
（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式
（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用
公式法求和（如：通项中含n
(-1)因式，周期数列等等）
（3）倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

特征：
a n +a 1=a n-1+a 2
（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和。

【基础练习】
1．已知公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga 2、lga 4成等差数列，若a 5=10, 则S 5 = 30 。

2．已知数列｛a n ｝是等差数列,且a 2=8,a 8=26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n
项,按
原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝, 则bn=__3n+1
+2___
3．若数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ2121n
-.
【范例导析】
例1.已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a 2
1
101322=
=⇒=+-∴q q q q 或
211=
∴≠q q Θ 1)21(64-⨯=n n a 故
（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])
2
1(64[log 721
2 ⎩⎨
⎧>-≤-=∴7
7
77||n n n n
b n
2)
13(2)76(,6||,71n n n n T b n n -=
-+=
=≤∴时当 2
)
7)(6(212)7)(71(,1||,778--+
=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2
)
13(n n n n n n T n
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例2．数列}{n a 前n 项之和n S 满足：*
1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +⋅+=+∈≠
（1） 求证：数列}{n a 是等比数列(2)n ≥；
（2） 若数列}{n a 的公比为()f t ,数列}{n b 满足：111
1,(
)n n
b b f b +==，求数列}{n b 的通项公式； （3） 定义数列}{n
c 为1
1
n n n c b b +=
，
，求数列}{n c 的前n 项之和n T 。

解：（1）由*
1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +⋅+=+∈≠得：1(1)(21)(2)n n t S t S n -⋅+=+≥
两式相减得：1(21),(2)n n t a t a n +⋅=+≥ 即1211
2,(2)n n a t n a t t
++==+≥, ∴数列}{n a 是等比数列(2)n ≥。

（2）11
(
)2n n n
b f b b +==+，则有12n n b b +-= ∴21n b n =-。

（3）111111
()(21)(21)22121
n n n c b b n n n n +===⋅-+--+， ∴1111111111(1)(1)2335572121221
n T n n n =
⋅-+-+-++-=--++L 点评：本题考查了n a 与n S 之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。

例3．已知数列{}n a 满足41
1=
a ，()),2(2
111N n n a a a n n
n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21
n
n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2)12(sin
π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*
∈N n ，7
4<n T ．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a Θ
，])1(1
)[2()1(111
---+-=-+∴n n n n a a ， 又3)1(11
=-+a Θ
，∴数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列． 1
)2(3)1(1--=-+n n n a ， 即1
23)1(11+⋅-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1
121+⋅+⋅=+⋅=---n n n n b ．
926432
1)
21(1641)41(19-+⋅+⋅=+--⋅⋅+--⋅⋅=n n S n n n n n ．
（Ⅲ）1
)1(2)12(sin --=-n n πΘ， 1
231)1()2(3)1(1
11+⋅=----=∴---n n n n n c ． 当3≥n 时，则1
231
123112311311
2+⋅+++⋅++⋅++=
-n n T Λ <2
12
2
112
1
1321])(1[28
11
2312312317141--+=⋅+⋅+⋅++--n n
7
484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=
-n ． 321T T T <<Θ， ∴对任意的*∈N n ，7
4
<n T ．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。

【反馈演练】
1．已知数列}{n a 的通项公式*
21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{
n
S n
的前10项的和为 75 。

2．已知数列}{n a 的通项公式1
2(21)*
21(2){()n n k n n n k a k N -=--==∈，其前n 项和为n S ，则9S = 377 。

3．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则数列}{n a 的通项公式为1
2n n a -=-。

4．已知数列}{n a 中，11,a =且有*
1(21)(23)(,2)n n n a n a n N n -+=-∈≥，则数列}{n a 的通项公式为
311()22121n a n n =--+，前n 项和为
321
n
n +。

5．数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *
都有a n ＞0, 且(n +1)a n 2
+a n ·a n +1－na n +12
=0，
又知数列{b n }的通项为b n =2n －1
+1.
(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ； 解：(1）可解得
n
n a a n n 11+=+，从而a n =2n ，有S n =n 2
+n ， (2)T n =2n
+n －1.
6．数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *
).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;
(3)设b n =
)
12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *
均有
T n ＞
32
m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，
d =1
414--a a =－2,∴a n =10－2n .
(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2
－9n +40，
故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-5
40951 922n n n n n n
第4课 数列的应用
【考点导读】
1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】
1．若数列{}n a 中，311=
a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a 1
3
n . 2．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为 2- 。

3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = 6- 。

【范例导析】
例1．已知正数组成的两个数列}{},{n n b a ，若1,+n n a a 是关于x 的方程0212
2=+-+n n n n b b a x b x 的两根
（1）求证：}{n b 为等差数列；
（2）已知,6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式； （3）求数n n
n
s n b 项和的前}2{。

（1）证明：由02,12
21=++++n n n n n n b b a x b x x a a 的方程是关于的两根得：
1121,2+++==+n n n n n n n n b b a a a b a a ,2112
+-+=∴n n n n n b b b b b 0>n b Θ )1(2112
>+=∴+-n b b b n n n
}{n b ∴是等差数列 （2）由（1）知,82212
1=+=a a b ,21=∴b
n b n b b b b a n =∴+=∴=∴=12212,1,3,Θ
∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n 又21=a 也符合该式，
)1(+=∴n n a n
（3）n n n s 2
124232232+++++=
Λ ① 1322
1
242321+++++=n n n s Λ ② ①—②得
14322121212121121++-+++++=n n n n s Λ11212
11)
211(411++----+=n n n 1121)211(211+----+=n n n
n n n s 2
3
3+-=∴.
点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

例2．设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列{}()
+
+∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()
+
∈-N n b n 2是等比数列。

（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）是否存在*N k ∈，使⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-21,0k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。

解：由题意得：)()()(113121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ)4(0)1()2(6-+++-+-+=n Λ
[]2
)1()4()2(6--+-+=n n ＝2
1872+-n n ；
由已知22,4221=-=-b b 得公比21=q ()1
1
12142122--⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-∴n n n b b
n
n b ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+=∴2182
（2）k k b a k f -=)(k
2171928222k k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2k
17491872242k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=---⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，所以当4≥k 时，)(k f 是增函数。

又21)4(=f Θ， 所以当4≥k 时2
1
)(≥k f ，
又0)3()2()1(===f f f Θ， 所以不存在k ，使⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈21,0)(k f 。

【反馈演练】
1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本 20% 。

2．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，5102,6S S ==，则1617181920a a a a a ++++= 54 。

3．设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列｛
n
S n
｝的前n 项
和，则n T =294
n n
-．
4.已知数列.4,3,,}{422S S a n S a n n ==且项和为其前为等差数列 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证数列}2{n a
是等比数列； （3）求使得n S S n n 的成立的22>+的集合.
解：（1）设数列d a a n 公差为的首项为,}{1，由题意得：⎩⎨⎧+=+⨯=+d
a d a d a 64)2(43
111
解得：122
,11-=∴==n a d a n
（2）由题意知：42222321
21==---n n a a n n ，
}2{n a 数列∴为首项为2，公比为4的等比数列
（3）由2
1,12,2,1n S n a d a n n =-===得
}
4,3,2,1{:4
,3,2,18)2(2)2(22222的集合为故n n n n n S S n n =∴<-⇒>+⇒>∴+
∵*)( 2,
01
N n a a a n
n n ∈=∴
≠+ 故:数列{a n }是等比数列。