新人教版高中数学《对数的运算性质与换底公式》导学案

第6课时对数的运算性质与换底公式
1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关运算.
2.理解换底公式,能运用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,并进行化简或计算.
人民网北京11月23日电:23日白天,华北、黄淮和江淮等地连续第三天出现雾霾天气.其中,霾主要出现在河北中南部和东部、北京南部、天津、辽宁中东部及黄淮、江淮等地.中央气象台23日18时继续发布霾黄色预警.雾霾天气已经严重影响了人们的正常生活,为治理雾霾天气,政府采取了多种强有力的措施,其中有的城市着重强化增加城市的绿地面积.假设从2014年起逐年增加城市绿化面积,若每年新增绿地亩数比上一年增加10%,从而力争逐步将城市的绿地面积翻两番.
问题1:如何计算该城市在哪一年要实现绿地面积翻两番?
若设该市2013年年底有绿地面积a,则经过1年,即2014年的绿地面积是a+a·10%=a(1+10%);再经过一年,即2015年的绿地面积是a(1+10%)2;经过3年,即2016年的绿地面积是a(1+10%)3,…,经过x年的绿地面积是a(1+10%)x,依题意,a(1+10%)x=4a,即(1+10%)x=4,∴x=log1.14=≈15.
∴大约经过15年,也就是到2028年该市的绿地面积将翻两番.
问题2:对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么:
①log
(M·N)= ;
a
= ;
②log
a
M n= (n∈R).
③log
a
问题3:对数运算性质log a(MN)=log a M+log a N能否推广?
可以推广到n个数的情形,即:
log a(M1M2M3…M n)= (其中a>0,a≠1,M1,M2,M3,…,M n均大于0).
问题4:(1)换底公式:①已知a>0,b>0,且a≠1,c≠1,把对数log a b化成底数为c的对数表示,即log a b= .
②已知a>0,b>0,且a≠1,m,n∈N*,把对数lo b n化成底数为a的对数表示,即lo b n= .
(2)换底公式的意义与作用:
在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.
在使用换底公式时,应根据实际情况选择底数,一般将对数化为常用对数或自然对数,然后化简求值.
1.已知a>0且a≠1,则log a2+log a等于().
A.0
B.
C.1
D.2
2.若a>0且a≠1,M>0,N>0,且M>N,给出下列式子:
①log
a M·log
a
N=log
a
(M+N);
②log
a M·log
a
N=log
a
(M·N);
③log
a
=;
④log
a M-log
a
N=log
a
(M-N).
其中不正确的有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.若lg a与lg b互为相反数,则a与b的关系是.
4.若a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,则由换底公式可知log a b=,log b a=,所以log a b=,试利用此结论计算+的值.
对数运算性质的应用
计算下列各式的值:
(1)log
5
35-2log5+log57-log51.8;
(2)2(lg )2+lg·lg 5+;
(3);
(4)(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5.
换底公式的应用
(1)化简:log
56·log
6
7·log
7
8·log
8
9·log
9
10.
(2)已知lg 2=a,lg 3=b,用a、b表示log312.
对数的实际应用
里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.
计算下列各式的值:
(1)(lg -lg 25)÷10= ;
(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2= .
(1)化简:+.
(2)已知a、b、c均为正数,3a=4b=6c,求证:+=.
一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)?(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)
1.已知f(x)=log2x,则f(8)等于().
A. B.8 C.3 D.-3
2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,给出下列各式:
①(log
a x)n=n log
a
x;②(log
a
x)n=log
a
x n;
③log
a x=-log
a
;④=log a x;
⑤=log
a
;⑥log a=-log a.
其中正确的有().
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.若log34·log48·log8m=log416,则m等于.
4.已知log53=a,log52=b,试用a、b表示log2512.
(2013年·浙江卷)已知x,y为正实数,则().
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y
B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
考题变式(我来改编):
答案
第6课时对数的运算性质与换底公式
知识体系梳理
问题2:①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M 问题3:log a M1+log a M2+log a M3+…+log a M n
问题4:(1)①②log a b
基础学习交流
1.A log a2+log a=log a(2×)=log a1=0.
2.D本题考查对数运算性质的掌握情况,与运算性质对照,4个选项都是错误的.选D.
3.ab=1由题意lg a+lg b=0,∴lg(ab)=0,∴ab=1.
4.解:(法一)+=+=+==1.
(法二)+=log213+log277=log2121=1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)原式=log5(5×
7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55= 2log
5
5=2;
(2)原式=lg(2lg+lg 5)+=lg(lg 2+lg
5)+1-lg=lg+1-lg=1;
(3)原式===;
(4)原式=lg 2+lg 5(lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1.
【小结】1.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到.
2.对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;
(2)将积(商)的对数化成对数的和(差).
探究二:【解析】(1)原式=····=.
(2)∵log312===,
又lg 2=a,lg 3=b,
∴log
3
12==1+.
【小结】换底公式的作用是化为同底,在解题时常化为常用对数或自然对数.利用换底公式可以得到如下结
论:(1)lo b m=log a b;(2)log a b·log b a=1;(3)log a b·log b c·log c d=log a d.
探究三:【解析】由M=lg A-lg A0知,M=lg 1000-lg 0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为6级.
设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lg A1-lg
A 2=(lg A
1
-lg A
)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.
∴=104=10000,
∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.
【答案】610000
【小结】本题体现了对数的实际应用,在高考中为中低档难度的题目;需注意的是这个高考题其实就是我们教材上例题的改编,这就启示我们,在平时的学习中一定要抓好教材,落实好双基.
思维拓展应用
应用一:(1)-20(2)3(1)(lg -lg 25)÷10=lg ÷=lg 10-2÷=-2
÷=-20;
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
应用二:(1)原式=lo+lo=log32+log34=log38.
(2)(法一)设3a=4b=6c=k,则k>0,由对数定义得:a=log3k,b=log4k,c=log6k,
则左边=+=+=2log k3+log k4=log k36,
右边===2log k6=log k36,
∴+=.
(法二)对3a=4b=6c,两边同时取常用对数得:
lg 3a=lg 4b=lg 6c,∴a lg 3=b lg 4=c lg 6,
∴==log
3,==log64,
6
∵+=log
(9×4)=2,∴+=.
6
应用三:设这种放射性物质最初的质量是1,经过x年后,剩余量是y,则有
y=0.75x,
依题意,得=0.75x,
即x===
=≈4.
答:估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的.
基础智能检测
1.C∵f(x)=log2x,则f(8)=log28=log223=3.
2.B由对数的运算性质知①②④不正确,而③⑤⑥正确,故选B.
3.9∵log34·log48·log8m=log416,∴··=log442,化简得lg m=2lg 3,即lg m=lg 9,∴m=9.
4.解:log2512=log253+log254=log53+log52=a+b.
全新视角拓展
D2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y.
思维导图构建
log a M+log a N log a M-log a N n log a M log a M。