广西届高三上学期教育质量诊断性联合考试理数试题含答案

2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试
数学试卷理科
第Ⅰ卷共60分
一、选择题：本大题共12个小题;每小题5分;共60分.在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的.
1.下列集合中;是集合{}
2|5A x x x =<的真子集的是 A ．{}2,5 B ．(6,)+∞
C ．(0,5)
D ．(1,5)
2.复数37i
z i
+=
的实部与虚部分别为 A ．7;3- B ．7;3i -
C ．7-;3
D ．7-;3i
3.设2log 5a =;2log 6b =;12
9c =;则 A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
4.设向量(1,2)a =;(3,5)b =-;(4,)c x =;若a b c λ+=R λ∈;则x λ+的值为
A ．11
2-
B ．
112 C ．292
- D ．
292
5.已知tan 3α=;则2sin cos sin 3cos αα
αα
-+等于
A ．13
B ．56
C ．23
D ．2
6.设x ;y 满足约束条件270,
20,20,
x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
则y x 的最大值为
A ．
32
B ．2
C ．
13
D ．0
7.将函数cos(2)3
y x π
=+的图象向左平移
6
π
个单位后;得到()f x 的图象;则 A ．()sin 2f x x =- B ．()f x 的图象关于3
x π
=-对称
C ．71(
)32
f π=
D ．()f x 的图象关于(
,0)12
π
对称
8.执行如图所示的程序框图;若输入的2x =;4n =;则输出的s 等于 A ．94
B ．99
C ．45
D ．203
9.直线2y b =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左支、右支分别交于B 、C 两点;A 为
右顶点;O 为坐标原点;若AOC BOC ∠=∠;则该双曲线的离心率为
A B C D 10.2015年年岁史诗大剧芈月传风靡大江南北;影响力不亚于以前的甄嬛传．某记者调查了大量芈月传的观众;发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系;年龄在
[]10,14;[]15,19;[]20,24;[]25,29;[]30,34的爱看比例分别为
10%;18%;20%;30%;%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段;如12代表
[]10,14;17代表[]15,19;根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为
( 4.68)%y kx =-;由此可推测t 的值为
A ．33
B ．35
C ．37
D ．39
11.某几何体是组合体;其三视图如图所示;则该几何体的体积为 A ．
16
83
π+ B ．
32
83
π+ C ．168π+
D ．
16
163
π+ 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减;若不等式
(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立;则实数a 的取值范围为
A ．(2,)e
B ．1[,)e
+∞
C ．1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．12ln 3,
3e
+⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷共90分
二、填空题每题5分;满分20分;将答案填在答题纸上
13.7
(1)x -的展开式中2x 的系数为 ．
14.已知曲线C 由抛物线2
8y x =及其准线组成;则曲线C 与圆2
2
(3)16x y ++=的交点的个数为 ．
15.若体积为4的长方体的一个面的面积为1;且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上;则球O 表面积的最小值为 ．
16.我国南宋着名数学家秦九昭在他的着作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段;有三斜．其小斜一十三里;中斜一十四里;大斜一十五里．里法三百步;欲知为田几
何．”这道题讲的是有一个三角形沙田;三边分别为13里;14里;15里;假设1里按500米计算;则该沙田的面积为 平方千米．
三、解答题 本大题共6小题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 本小题满分12分
某体育场一角的看台共有20排;且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位;从第二排起每一排比前一排多1个座位;记n a 表示第n 排的座位数． 1确定此看台共有多少个座位；
2求数列{}
2n n a ⋅的前20项和20S ;求2202log log 20S -的值． 18. 本小题满分12分
已知某智能制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序;第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为
2532;45;4
5
;每道程序是相互独立的;且一旦审核不通过就停止审核;每部只有三道程序都通过才能出厂销售． 1求审核过程中只通过两道程序的概率；
2现有3部该智能进入审核;记这3部可以出厂销售的部数为X ;求X 的分布列及数学期望． 19. 本小题满分12分
如图;在三棱柱111ABC A B C -中;侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱
形;11160ACC CC B ∠=∠=︒;AC = 1求证：11AB CC ⊥；
2若1AB =11A C 的中点为1D ;求二面角11C AB D --的余弦值． 20. 本小题满分12分
如图;1F ;2F 为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点;D ;E 是椭圆的两个顶
点;12||F F =;||DE =
;若点00(,)M x y 在椭圆C 上;则点00
(
,)x y N a b
称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ;B 两点;A ;B 两点的“椭点”分别为P ;Q ;已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． 1求椭圆C 的标准方程；
2试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值 若为定值;求出该定值；若不为定值;请说明理由． 21. 本小题满分12分 已知函数21
()4f x x a x
=+
-;()()g x f x b =+;其中a ;b 为常数． 1若1x =是函数()y xf x =的一个极值点;求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 2若函数()f x 有2个零点;(())f g x 有6个零点;求a b +的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答;如果多做;则按所做的第一题记分.
22. 本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中;圆C 的方程为22((1)9x y -++=;以O 为极点;x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 1求圆C 的极坐标方程； 2直线OP ：6
π
θ=
R ρ∈与圆C 交于点M 、N ;求线段MN 的长．
23. 本小题满分10分选修4-5：不等式选讲
已知()|2||21|f x x x =+--;M 为不等式()0f x >的解集． 1求M ；
2求证：当x ;y M ∈时;||15x y xy ++<．
2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷文科答案 一、选择题
1-5:DAACB 6-10:ABADB 11、12：AD
二、填空题
13.21- 14.4 15.18π 16.21
三、解答题
17.解：1由题可知数列{}n a 是首项为2;公差为1的等差数列; ∴211n a n n =+-=+120n ≤≤． ∴此看台的座位数为
(221)20
2302
+⨯=．
2∵1220202232212S =⨯+⨯++⨯…; ∴23212022232212S =⨯+⨯++⨯…;
∴2320212121204222212424212S -=++++-⨯=+--⨯…; ∴2120202S =⨯;
∴2122022log log 20log 221S -==．
18.解：1设“审核过程中只通过两道程序”为事件A ; 则25441()(1)32558
P A =
⨯⨯-=． 2每部该智能可以出厂销售的概率为
25441
32552
⨯⨯=． 由题意可得X 可取0;1;2;3;则有
311(0)(1)28P X ==-=;1
23113(1)(1)228P X C ==⨯⨯-=;
223113(2)()(1)228P X C ==⨯⨯-=;311
(3)()28
P X ===;
所以X 的分布列为：
故13313()012388882E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=或13322
⨯=． 19.1证明：连接1AC ;1CB ;则1ACC ∆和11B C C ∆
皆为正三角形． 取1CC 中点O ;连接OA ;1OB ;则1CC OA ⊥;11CC OB ⊥;从而1CC ⊥平面
1OAB ;11CC AB ⊥．
2解：由1知;13OA OB
==;又1AB =满足222
11OA OB AB +=; 所以1
OA OB ⊥;OA ⊥平面11B C
C ．
如图所示;分别以1OB ;1OC ;OA 为正方向建立空间直角坐标系;
则(0,C ;1(3,0,0)B ;(0,0,3)A ;1
C ;1(0,A
;13
)2
D ; 设平面1CAB 的法向量为(,,)m x
y z =;因为1(3,0,3)AB =-;(0,3)AC =-;
所以330,30,
x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩取(1,m =-．
设平面11AB D 的法向量为n ;
因为13)2AD =-
;113
()2
B D =-;
同理可取(3,1,n =．
则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>=
==⋅
⨯;因为二面角11C AB D --为钝角; 所以二面角
11C AB D
--
的余弦值为 20.解：1由题可知2222,c a b c ==⎨⎪-=⎪⎩
解得22
4,1,
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为22
14x y +=．
2设11(,)A x y ;22(,)B x y ;则11(,)2x P y ;22(,)2
x
Q y ． 由OP OQ ⊥;即
12
1204
x x y y +=． ①当直线AB 的斜率不存在时;1121
||||12
S x y y =⨯-=；
②当直线AB 的斜率存在时;设其直线为y kx m =+0m ≠;
联立22
,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222
(41)8440k x kmx m +++-=; 则2
2
16(41)k m ∆=+-;212244
41
m x x k -=+;
同理22
122
441
m k y y k -=+;
代入;整理得22
412k m +=． 此时2
160m ∆=>;
12||||AB x x =-=;h =;∴1S =．
综上;ABC ∆的面积为定值1．
21.解：1∵()y xf x =341x ax =+-;∴2
'12y x a =-;∴120a -=;即12a =． 又2
1
'()8f x x x =-
;∴'(1)7f =;∵(1)57f a =-=-; ∴所求切线方程为77(1)y x +=-;即714y x =-．
2若函数()f x 存在2个零点;则方程21
4a x x
=+
有2个不同的实根; 设2
1()4h x x x =+;则21'()8h x x x =-3281x x -=;令'()0
h x >;得1
2
x >； 令'()0h x <;得0x <;102x <<
;∴()h x 的极小值为1
()2
h ． ∵1
()32
h =;∴由()h x 的图象可知3a =． ∵1(1)()32h h -==;∴令(())0f g x =;得1()2g x =
或()1g x =-;即1
()2
f x b =-或()1f x b =--;
而(())f g x 有6个零点;故方程1
()2
f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解; ∴
1
02
b ->且10b -->;∴1b <-;∴2a b +<． 22.解：
122((1)9x y -++=
可化为22250x y y +-+-=;
故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=． 2将6
π
θ=
代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=;得2
250ρρ--=;
∴122ρρ+=;125ρρ=-;
∴12||||MN ρρ=-=
=．
23.解：13,2,1()31,2,213,.2
x x f x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=+-≤≤⎨⎪
⎪
-+>⎪⎩
当2x <-时;由30x ->;得3x >;舍去；
当1122x -
≤≤时;由310x +>;得13x >-;即11
32x -<≤； 当12x >时;由30x -+>;得3x <;即1
32
x <<．
综上;1
(,3)3
M =-．
2因为x ;y M ∈;∴||3x <;||3y <; 所以
<++⨯=．++≤++≤++=++⋅333315 x y xy x y xy x y xy x y x y
||||||||||||||||||||。