辽宁省沈阳四校2013届高三上学期期中联考数学(文)试题

数学（文科）试题
一．选择题。

（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1. 已知A={|3},{|15},x x B x x <=-<<则A B 等于 （ ）
A ． {|13}x x x ≤-≥或
B ． {|5}x x <
C ．{|13}x x x <-≥或
D ．{|5}x x ≤
2、下列说法中错误．．
的个数是 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②命题“2,0x x x ∀∈-≤R ”的否定是“2,0x x x ∃∈-≥R ”； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题； ④“x ≠3”是“|x |≠3”成立的充分条件． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
3、若实数x ，y 满足条件0,
30,03,x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
则2x y -的最大值为（ ）
（A ）9
（B ）3
（C ）0
（D ）3-
4、设函数f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）=2x （1-x ），则f （-2
5
）=（ ） A -21 B -41 C 41 D 2
1
5、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量(,),m b c c a =--(,)n b c a =+，
若m n ⊥，则角A 的大小为 （ ）
A ．
6
π B ．
2π C ．
3
π D ．
23
π
6、在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2=1－a 1，a 4=9－a 3，则a 4+a 5= （ ） A ．16 B ．27 C36 D ．81
7、下列四个命题： ①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行．那么另一条直线也与这个平面平行； ②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面； ③如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．
则真命题是 （ ） A ．②④ B ．①②
C ．①③ I ）．②③
8、函数()sin()(0,||)2
f x A wx A π
ϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图
象，则只需将()f x 的图象
A ．向右平移
6π
个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6π
个单位长度
D ．向左平移12
π
个单位长度
9、若函数3
21(02)3
x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6
π C ．56π D ．34π
10、在各项均不为零的等差数列｛a n ｝中，若a 1n +- a n
2
+ a 1-n =0（n ≥2），则S 1-n 2-4n=（ ）
A -2
B 0
C 1
D 2
11、已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘
（x ）+ f （x ）≤0.。

对任意正数a 、b ，若a<b ，则必有（ ）
A ．af （b ）≤bf （a ） B. bf （a ）≤af （b ） C. af （a ）≤f （b ） D. bf （b ）≤f （a ）
12、已知24(0)
()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩
，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值
范围是
（ ）
A ．[)8,-+∞
B ．[)4,-+∞
C ．[-4，0]
D ．(0,)+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．如图所示是一个几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的表面积 cm 2.
14、已知向量a =（1，2），b =（x,4）,且a ⊥b ，则x=
15、若函数2tan y x ω=的最小正周期为2π，则函数y=sin x x ωω+的最小正周期为 ．
16、在ABC ∆中，30,A BC D =︒=是AB 边上的一点，CD=2，BCD ∆的面积为4，则AC 的
长为 。

三、解答题：(本大题共6小题，共70分)
17、（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量
2
(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2
B
m B n B =-=-且//m n （1）求锐角B 的大小，
（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值
18、（本小题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.
19、已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=
x x x f ，其图象过点).2
1
,6(π （Ⅰ）求ϕ的值；
P A B
C
D
E
F
（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
2
1
，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]4
,
0[π
上的最大值和最小值。

（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，
∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中
点，P A ＝2AB ＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；
（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；
21、（本小题满分12分）设函数f （x ）=x （e x
-1）-ax 2
（Ⅰ）若a=
1
2
，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围。

22、（本小题满分12分）已知函数f （x ）=（1+x ）lnx
（Ⅰ）求f （x ）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）设g （x ）=）
（x -1a 1
f （x ），对任意x ∈（0,1），
g （x ）＜-2，求实数a 的范围。

考试题答案
一． 选择题。

BC AAC BAD DA AB
二、填空题：
13、162+16 14、-8 15、4π 16、22或4
三、解答题：
17、解：（1）n m // B B B 2cos 3)12
cos
2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32t a n -=B ……………3分
又B 为锐角 ()π,02∈∴B 3
22π
=
∴B 3π=∴B ………6分
（2）,23B b π
==， 由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=
即042
2=--+ac c a ----------------------------------------------------9
又ac c a 22
2≥+ 代入上式得4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立）…10分
34
3
sin 21≤==
∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。

）………12分 18、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以11
26
50a d a d +=-⎧⎨
+=⎩ 解得110,2a d =-=所以 10(1)2212n a n n =-+-⋅=- …6分
（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为2123124,8=++=-=-b a a a b
824q -=-，q =3， {}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=-- ……12分
19、解：（Ⅰ）因为211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
ϕϕϕϕπ=+-+<< 所以11cos 21
()sin 2sin 2cos cos 222
x f x x ϕϕϕ+=+
-
11
sin 2sin cos 2cos 22
x x ϕϕ=+
M
F E
D
A
P
1
(sin 2sin cos 2cos )2x x ϕϕ=
+ 1
cos(2).2
x ϕ=- 又函数图象过点1
(,)62
π
所以11cos(2)226π
ϕ=⨯-
即cos(
)1,3
π
ϕ-=
又0ϕπ<<
所以.3
π
ϕ=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()cos(2)22
f x x π
=
-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知 1()(2)cos(4),23
g x f x x π
==-
因为[0,
]4
x π
∈
所以4[0,]x π∈ 因此24[,]3
33
x π
ππ
-∈-
故1cos(4)123
x π
-
≤-≤
所以()[0,
]4
y g x π
=在上的最大值和最小值分别为
12和1
.4
-
20、（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，
∠BAC ＝60°，∴BC
AC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝
AD ＝4．
∴S ABCD ＝11
22
AB BC AC CD ⋅+⋅
111222=⨯⨯⨯……………… 3分 则V
＝123= ……………… 5分
（Ⅱ）∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，
∴AF ⊥PC ． ……………… 7分
∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，
∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，
∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 11分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 12分
21、解： （I ）,2
1)1()(,212x e x x f a x --==
时
).
1)(1(1)(+-=-+-='x e x
xe e x f x
x x
.
)0,1(,),0(),1,()(.0)(,),0(;0)(,)0,1(;0)(,)1,(单调减少在单调增加在故时当时当时当-+∞--∞>'+∞∈<'-∈>'--∞∈x f x f x x f x x f x
（II ）).1()(ax e x x f x --= 令.)(,1)(a e x g ax e x g x x -='--=则
若时从而当而为增函数时则当0,0)0(,)(,0)(,),0(,1≥=>'+∞∈≤x g x g x g x a
.0)(,0)(≥≥x f x g 即
若a >1，则当)(,0)(,)ln ,0(x g x g a x <'∈时为减函数，而,0)0(=g 从而当.0)(,0)()ln ,0(<<∈x f x g a x 即时
综合得a 的取值范围为].1,(-∞
22、[解析]：解：（Ⅰ）定义域为()+∞,0 ……………………1分
x
x
x x f ++
=1ln )(/ 2)1(/=∴f 且切点为（1,0） ........................ 4分 故)(x f 在1=x 处的切线方程.22-=x y (6)
（Ⅱ）由已知0≠a ，因为)1,0(∈x ，所以
0ln 11<-+x x
x
． （1）当0<a 时，0)(>x g ，不合题意． ……………………8分
（2）当0>a 时，)1,0(∈x ，由2)(-<x g ，可得01)
1(2ln <+-+
x
x a x ． 设x x a x x h +-+=1)1(2ln )(，则)1,0(∈x ，0)(<x h ．2
2)1(1
)42()(x x x a x x h ++-+='．
设1)42()(2+-+=x a x x m ，方程0)(=x m 的判别式)1(16-=∆a a ．
若]1,0(∈a ，0≤∆，0)(≥x m ，0)(≥'x h ，)(x h 在)1,0(上是增函数，又0)1(=h ，所以)1,0(∈x ，0)(<x h ． ……………………10分
若),1(+∞∈a ，0>∆， 01)0(>=m ，0)1(4)1(<-=a m ，所以存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x m ，对任意)1,(0x x ∈，0)(<x m ，0)(<'x h ，)(x h 在)1,(0x 上是减函数，又0)1(=h ，所以)1,(0x x ∈，
0)(>x h ．
综上，实数a 的取值范围是]1,0(． ……………………12分。