3.1.1 函数的概念课件 高一上学期 数学人教A版(2019)必修第一册

=
5
.
2
1
f(a+1)=a+1+ .
+1
规律方法
求函数值
基本思想是整体思想的运用,且变量范围要在定义域内.
【例8】 求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
解已知x∈{1,2,3,4,5},y=x+1,将x的值分别代入函数解析式中,可得函数的
值域为{2,3,4,5,6}.
选项能表示函数y=f(x)的图象.
【例3】 从市场中了解到,装饰用的K金的含金量如表:
K数
含金量%
K数
含金量%
24 K
99.9
12 K
50.0
22 K
91.6
10 K
41.7
21 K
87.5
9K
37.5
18 K
75.0
8K
33.3
14 K
58.3
6K
25.0
函数
装饰用的K金的K数与含金量之间是
越高 (填“越高”“越低”或“不变”).
故选D.
规律方法 函数的判断方法
结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y
值与之对应.
【例2】 下列图形能表示函数y=f(x)的图象的是(
B)
解析 由函数的定义:对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的
数f(x)和它对应,那么就称A→B为从集合A到集合B的一个函数可知,只有B
一致,如“集合”,大致的框架是“事实—概念(定义、表示)—性质—应用”,这
也是整个大单元学习的知识明线.最终目标是学会用函数解决数学问题,特
别是用函数解决实际问题:一是根据情境能用函数构建数学模型;二是能运
用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题,这也正是本单元的素养暗
线.在掌握函数的过程中,逐渐熟悉函数的抽象性,积累数学抽象的经验,体
1 2 3 4 5 6 7 8
2.(例2对点题) 设集合M= |0 ≤ ≤ 2 , N={y|0≤y≤3}.下列四个图象中
(+1)2
(1)y=
+1
− 1-;
+ 1 ≠ 0,
解要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
解得 x≤1 且 x≠-1,即
1- ≥ 0,
函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,1].
(2)y= - 2 + 2 + 8;
解 要使函数有意义,需使-x2+2x+8≥0,
解得-2≤x≤4,因此函数的定义域为[-2,4].
于或等于零的实数组成的集合;
(3)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成
的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式
子自变量取值集合的交集).
探究点五
函数值及值域
问题7函数值与自变量是对应的,如何求函数值?
问题8值域是函数值的集合,函数的三要素之一.一般情况下,如何求函数值
和“中括号”的区别.
(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再
用区间的函数可以有不同的表现形式,如何判断两个函数是否是同一
函数?
【例5】 (多选题)下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是( BD)
2 -1
A.f(x)=x+1,g(x)= -1
2 =1
( )2
f(x)=
=1,定义域为

的定义域为(0,+∞),两函数定义域相同,对应关系也相同,
是同一个函数.故选 BD.
规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个要素
探究点四
求函数的定义域
问题6对于一个未知函数的研究,都必须在其定义范围之内才有意义.如何
确定一个函数的定义域呢?
【例6】 求下列函数的定义域,并用区间表示.
与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数;
(2) y=f(x)仅仅是函数关系的符号表示,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也
不一定就是解析式;
(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.
微思考
(1)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域是集合B吗?
为 (-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] .
解析 ∵A={x|5-x≥0},
∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或
3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
规律方法
用区间表示集合的注意点
(1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”
函数的概念
数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有____________
唯一确定
的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个
函数
函数的记法 y=f(x),x∈A
定义域
值域
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域
自变量对应
名师点睛
会数形结合的思想,提升数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、数
学模型素养.
本学习单元要在初中的基础上,通过具体实例学习用集合语言和对应
关系刻画函数概念,通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识,完成从
事实到概念的学习,构建函数的一般概念,并能用函数模型来表达实际问题.
具体结构图如图.
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体
解设 t= -1,则 t≥0,x=t2+1.
y=2x- -1=2(t2+1)-t=2t2-t+2,t≥0.
由函数 y=2t -t+2,t≥0
2
15
的图象(图略)可知其值域是[ 8 ,+∞).
规律方法 求函数值域的基本方法是根据解析式特征,做好代数变形,从而
转化为熟悉的函数类型.
+
(1)分离常数法:此方法主要是针对形如 y= + (ac≠0)的有理分式(无根式
或有根式,但根号里不含自变量x),将有理分式变形转化为“反比例函数类”
的形式,根据函数图象求出值域;
(2)换元法:对于一些无理函数(含根号下有自变量x的根式,如
y=ax±b± ± ),通过换元把它们转化为二次函数类,然后利用二次函
数的图象求解函数的值域.
学以致用·随堂检测促达标
1.(例1对点题)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数
关系,K数越大,含金量
解析 通过表格可知饰用K金的含金量随着K数的减小而减小,对于K数的
每一个取值,都有唯一的含金量与之对应,所以饰用K金的K数与含金量之
间是函数关系,且K数越大含金量越高.
探究点二
区间
问题4对于数集,可否用更简单的方式来记忆?
【例4】 已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示
人教A版 数学 必修第一册
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
学习单元1
函数的概念及其表示
函数是现代数学最基本的概念,是刻画现实世界中变量关系和规律的
最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥着重要作用.
“函数”作为一类数学研究对象,与其他数学研究对象的研究方法基本
问题1初中函数的定义,如果有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定值,y都
有一个唯一确定的值与之对应,则y=0是函数吗?
问题2函数的要素是什么?可否用集合的语言更为精确地描述函数概念?
探究点一
函数的定义
问题3如何判断函数关系?
【例1】 已知集合M={1,2,3},N={1,2,3},给出下列四个对应法则,请由函数
会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)
学习目标 2.了解构成函数的要素,并能正确使用区间表示数集.(数学抽象)
3.能求简单函数的定义域及函数值.(数学运算)
4.会判断两个函数是否为同一个函数.(逻辑推理)
基础落实·必备知识一遍过
知识点一:函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个
1- 2 ,定义
域为[-1,1],g(x)= 1- 2 的定义域为[-1,1],两函数定义域相同,对应关系也相同,
是同一个函数;C 中,函数 f(x)=(x-1)0,定义域为{x|x≠1},g(x)=1 的定义域为 R,
两函数定义域不同,不是同一个函数;D 中,函数
(0,+∞),g(x)=

( )
提示 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域C是集合B的子
集,即C⊆B.
(2)在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的
值域确定吗?
提示 确定.
知识点二:区间的概念与表示
设a,b∈R,且a<b,规定如下:
微思考
区间是数集的一种简单表示方法.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间
表示?
提示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x<a}
符号
(-∞,+∞)
[a,+∞)
(a,+∞)
(-∞,a]
(-∞,a)
知识点三:同一个函数
如果两个函数的 定义域
相同,并且
对应关系
完全一致,即相
同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
三要素相同
名师点睛
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相
的是( C )

A.x→y=2
B.x→x=y2
2
C.x→y=
3
D.x→y=
解析

2
x→y=2,{x|0≤x≤4},代入表达式得到 y∈[0,2],故 A 成立;B 成立;x→y= 3 ,x
8
∈[0,4]⇒y∈[0,3],故
C 不成立;x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故 D 成立.故选 C.
同,譬如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一个函数.
微思考
若两个函数定义域和值域相同,这两个函数是否为同一函数?若不是,请举
反例说明.
提示 不一定,函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.如
y=x,y=-x,定义域和值域都相同,但不是同一函数.
重难探究·能力素养速提升
域?
1
【例7】 已知函数f(x)=x+ .

(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
1
1
(2)f(-1)=-1+ =-2,f(2)=2+
2
-1
(3)当 a≠-1 时,a+1≠0,故
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
解y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(图略),可得函数的值
域为[2,6).
2+1
(3)y=
;
-3
解由
2+1
y=
-3
=
2(-3)+7
7
=2+ ,易得函数的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
-3
-3
(4)y=2x- -1.
1.函数有三要素:定义域、值域、对应关系.
2.函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以当函数的定义域和
对应关系相同时,值域也必定相同.
3.理解函数的概念应关注三点:
(1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中
的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y
3
3-2 > 0,
< ,
2
3
解得-3≤x< 且
2
3
x≠- .
2
3
3 3
所以函数的定义域为 -3,-2 ∪ - 2 , 2 .
规律方法
常见函数定义域的求法
(1)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成
的集合;
(2)如果函数f(x)是开偶次方根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大
(3)y= 2 -1 + 1- 2 ;
2 -1 ≥ 0,
2 ≥ 1,
解要使函数有意义,需
即 2
2
≤ 1.
1- ≥ 0,
所以 x2=1,从而函数的定义域为{1,-1}.
(4)y= + 3 +
(2+3)0
.
3-2
≥ -3,
+ 3 ≥ 0,
3
解 要使函数有意义,则 2 + 3 ≠ 0, 即 ≠ - 2 ,
B.f(x)= + 1 · 1-,g(x)= 1- 2
C.f(x)=(x-1)0,g(x)=1

( )2
,g(x)= 2
D.f(x)=

( )
解析
2 -1
A 中,函数 f(x)=x+1,定义域为 R,g(x)= =x+1 的定义域为{x|x≠1},两函
-1
数定义域不同,不是同一个函数;B 中,函数 f(x)= + 1 · 1- =
定义判断,其中能构成从M到N的函数的是( D )
解析 根据函数的定义,集合M中任意一个数在集合N中有且只有一个与之
对应,选项A,集合M中2对应的数有两个,故错误;选项B,集合M中3没有对应
的数,故错误;选项C,题目要求为从M到N的函数,箭头应从M指向N,故错误;
选项D,集合M中任意一个数在集合N中都有唯一的数与之对应,故D正确,