湖北省武汉市龙阳中学2018年高三数学文月考试卷含解析

湖北省武汉市龙阳中学2018年高三数学文月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以下四个函数图像错误的是()
参考答案：
C
2. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案：
答案：B
解析：由，故选B.
3. 设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】先求出函数f（x）e x的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．
【解答】解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）?y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）
x+b+c]，
由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．
法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾，
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．
法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．
故选：D．
【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．
4. 给出下列函数:
①；②；③；
,使的函数是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
参考答案：
B
5. 已知函数是定义在R上的增函数，函数的图像关于点（1，0）对称，若对任意的恒成立，则当的取值范围是（）
A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）
参考答案：
C
略
6. 已知，表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（）．
A．若，且，则B．若且，则
C．若，且，则D．若，且，则
参考答案：
C
项，若，且，则或与相交，故选项错误；
项，若且，则或，故选项错误；
项，若，则存在且，因为，所以，所以，故选项正确；
项，若，且，则或，故选项错误．
故选．
7. 已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；
其中正确的命题个数为（）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案：
C
略
8. 设集合，则集合（）
参考答案：
B
略
9. 复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（）
A．在复平面内复数对应的点在第一象限
B．复数的共轭复数
C．若复数为纯虚数，则
D．复数的模
参考答案：
C
10. 等边△ABC的边长为1，过△ABC的中心O作OP⊥平面ABC，且，则点P到△ABC的边的距离为（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，点,,… ,分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面
内的四点组（）共
有个.
参考答案：
33
12. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则
= .
参考答案：
因为焦点在轴上。

所以，所以。

椭圆的离心率为，所以，解得。

13. 已知不等式组则z=的最大值为．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出z的最大值即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
的几何意义表示平面区域内的点与点A（﹣1，1）的直线的斜率，
结合图象直线过AB时，斜率最大，
此时z==3，
故答案为：3．
14. 已知，若恒成立，则实数的取值范围
是.
参考答案：
因为，所以.若恒成立，则,解得
15. 设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．
参考答案：
27,18.
【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．
【专题】集合；排列组合．
【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或
|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．
【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；
∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；
即集合A元素个数为27；
对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：
①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；
②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；
当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；
当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；
∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．
故答案为：27，18．
【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．
16. 对于实数,若，则的最大值为．参考答案：
3
17. 设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则
______.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为的中点.
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)在线段是是否存在点，使得//平面，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
参考答案：
证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接MO
ABCD为矩形，O为BD中点
又M为SD中点，
MO//SB ………………………………3分
MO平面ACM，SB平面AC………………4分
SB//平面ACM …………………………5分
(Ⅱ) SA平面ABCD，SA CD
ABCD为矩形，CD AD，且SA AD=A
CD平面SAD，CD AM…………………8分
SA=AD，M为SD的中点
AM SD，且CD SD=D AM平面SCD
AM SC ……………………………………………………………………10分又SC AN，且AN AM=A SC平面AMN
SC平面SAC，平面SAC平面AMN. …………………
略
19. （本小题满分12分）已知函数（）．
(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有
，求实数的取值范围．
参考答案：
∵（），
∴在上是减函数
又定义域和值域均为，
∴，即，解得．
(II) ∵在区间上是减函数，∴，
又，且
∴，．
∵对任意的，，总有，
∴，即，解得，
又，∴．
20. 已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F1A的延长线，F1F2的延长线以及线段AF2都相切，M （2，0）为一个切点．
（1）求椭圆方程；
（2）设，过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可知及椭圆的定义：|F1E|+|MF2|=2a，|MF1|+|MF2|=2a，即可求得a 的值，利用椭圆的离心率公式即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；
（2）设l方程为，代入椭圆方程，由题意可知（+）?=0，利用韦达定理即可求得+，的方向向量为（1，k），根据向量数量积的坐标运算，即可求得k，求得直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆C与F1A的延长线切于点E，与线段AF2切于点D，
则|AD|=|AE|，|F2D|=|F2M|，|F1E|=|F1M|，
∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|+|AD|+|DF2|=2a，
∴|F1E|+|MF2|=2a，|MF1|+|MF2|=2a，
∴（2﹣c）+（2+c）=2a，故a=2，由，可知，
椭圆方程为；
（2）由（1）可知F2（，0），设l方程为，
代入椭圆方程可得，
整理得：，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴（+）?=0， +=（x1﹣，y1）+（x2﹣，y2）
=，
的方向向量为（1，k），
∴﹣﹣=0，，
∴直线l的方程．
21. 某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：
（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？
参考答案：
考点：线性回归方程．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；
（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．
解答：解：（ I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，
9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，
10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．
其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．
所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．
（ II）∵，
．
又直线过点，
∴，
解得，
∴．
当x=1800时，，
所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．
点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．
22. 如图，已知是直角梯形，，，
，平面．
（Ⅰ）在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
参考答案：
（Ⅰ）存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：
取的中点为,连结．∵，，∴，且，
∴四边形是平行四边形，即．
∵ 平面，∴ 平面.
∵分别是的中点，∴ ．
∵平面，∴ 平面．∵，∴平面平面．
∵平面，∴平面．·········6分
（Ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，
由题意知，平面，所以是平面的法向量．
设是平面的法向量，
则，即．
所以可设．所以．
结合图象可知，二面角的余弦值为．·········14分。