人教A版2019高中数学选择性必修第二册 数学归纳法【题型分类归纳】

4.4 数学归纳法
一、数学归纳法的定义和关键点 1、定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）（归纳奠基）证明当0n n =时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1n k =+命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于0n 的所有正整数n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法。

2、三个关键点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
（3）利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
二、归纳——猜想——证明”的一般环节：
1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；
2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值0n 并验证真假（必不可少）； 2、“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；
3、分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加
的项；
4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。

题型一 对数学归纳法的理解
【例1】欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有32n n >”，则验证不等式成立所取的第一个0n ，最小应当是（ ）．
A ．1
B ．大于1且小于6的某个正整数
C ．10
D ．大于5且小于10的某个正整数 【答案】C
【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n 取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证1n =时，左122==，右311==，32n n >成立，
2n =时，左224==，右328==，32n n >不成立， 3n =时，左328==，右3327==，32n n >不成立，
4n =时，左4216==，右3464==，32n n >不成立，
5n =时，左5232==，右35125==，32n n >不成立，
6n =时，左6264==，右36216==，32n n >不成立， 7n =时，左72128，右37343==，32n n >不成立，
8n =时，左82256==，右38512==，32n n >不成立，
9n =时，左92512==，右39729==，32n n >不成立，
10n =时，左1021024==，右3101000==，32n n >成立，
当10n ≥时，32n n >恒成立，所以010n =．故选：C
【变式1-1】如果命题()P n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立.设()P n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ）
A ．()P n 对所有的正整数n 成立；
B ．()P n 对所有的正奇数n 成立；
C ．()P n 对所有的正偶数n 成立；
D ．()P n 对所有大于1的正整数n 成立. 【答案】C
【解析】由于若命题P n （）对n k =成立，则它对2n k =+也成立．
又已知命题2P （）成立，可推出 4612P
P P P P （）、（）、（8）、（10）、（）均成立，
即P n （）对所有正偶数n 都成立，故选：C ．
【变式1-2】与正整数n 有关的数学命题，如果当n k =（k ∈N ，1k ）时该命题成立，则可推得当1n k =+时该命题成立．现得知11n =时命题不成立，那么可推得（ ） A ．当10n =时，该命题不成立 B ．当12n =时，该命题不成立 C ．当10n =时，该命题成立 D ．当12n =时，该命题成立 【答案】A
【解析】由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当10n =时命题成立，则可以推出当11n =时该命题也成立， 所以当11n =时命题不成立，则可以得到当10n =时命题不成立，故选：A
【变式1-3】用数学归纳法证明命题“若n 为奇数，则n n
x y +能被x y +整除”，在验证了1n =正确
后，归纳假设应写成（ ）
A ．n k =(),1k N k ∈≥时，n n x y +能被x y +整除；
B ．n k ≤(),1k N k ∈≥时，n n x y +能被x y +整除；
C ．21n k =-(),1k N k ∈≥时，n n x y +能被x y +整除；
D ．21n k =+(),1k N k ∈≥时，n n x y +能被x y +整除．
【答案】C
【解析】原命题中n 为奇数，
∴归纳假设应写为：21n k =-(),1k N k ∈≥时，n n x y +能被x y +整除.故选：C.
题型二 数学归纳法中的增项问题
【例2】用数学归纳法证明1111
"
1"12331
n n n n +++⋯>++++时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．
1
31k + B ．11311k k -++ C ．111323334
k k k +++++ D ．112323431k k k +-+++（） 【答案】D
【解析】当n k =时，不等式左边等于
1111
,N 12331k k k k k ++++⋅⋅⋅+∈++++， 当1n k =+时，不等式左边等于
11111
,2343334
k k k k k +++⋅⋅⋅+++++++ 当1n k =+时，不等式的左边比n k =时
增加()1111112
3233341323431k k k k k k k ++-=+-+++++++.故选：D
【变式2-1】用数学归纳法证明等式()()()()
31122
n n n n n n +++++++=
的过程中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于（ ）
A ．22k +
B ．43k +
C ．32k +
D ．1k + 【答案】C
【解析】当n k =时，等式左边()()()12k k k k =++++
++，
当1n k =+时，等式左边()()()()23111k k k k k k =++++
+++++++，
故当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差为
()()()111132k k k k k k ++++++-+=+.故选:C.
【变式2-2】用数学归纳法证明()251
1222N*n n -+++⋅⋅⋅+∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项
数共有（ ）项
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4 【答案】C
【解析】当n k =时，则2511222k -+++⋅⋅⋅+
当1n k =+时，则()()251551525354
122222222k k k k k k -+++++++⋅⋅⋅++++++
∴从k 到1k +添加的项数共有5项，故选：C.
【变式2-3】利用数学归纳法证明不等式()2111
12
3
21
n
f n +++⋅⋅⋅+
<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．k 项
B ．22k 项
C ．12k -项
D ．232k ⋅项 【答案】D
【解析】n k =时,左边为()2111
12
3
21
k f k +++⋅⋅⋅+
<-， 当1n k =+时，左边为()222221111111
1123212212221
k k k k k ++++⋅⋅⋅++++
+
-++-
左边增加了()22221111122122
21
k k k k +++++
++- ，
共有()
()21222
12132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦
.故选：D
题型三 用数学归纳法证明恒等式
【例3】用数学归纳法证明()2
1(1)11n n x x x x x --+++
+=-.
【答案】详见解析
【解析】证明：（1）当n =1时，左边=1-x ，右边=1-x =左边，等式成立；
（2）假设n =k ()*1,k k ≥∈N 时，等式成立，即()2
1(1)11k k x x x x x --++++=-，
当1n k =+时，()2
(1)1k x x x x -+++
+()21(1)1(1)k k x x x x x x -=-+++
++-，
1(1)k k x x x =-+-11k x +=-，
故当1n k =+时，等式成立，
由（1）（2）可知，原等式对于任意*n N ∈成立.
【变式3-1】用数学归纳法证明：()()2
1225311n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=+（n ∈N ,1n ≥）．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①当1n = 时，()12253112n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=⨯，()2
112n n +=⨯，等式成立；
②假设n k = 时，()()2
1225311k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=+，
则1n k =+时，()()2
122531(1)(32)1(1)(32)k k k k k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+++=++++
22(1)(32)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ ，
即1n k =+时，等式成立，
综合①②可知，()()2
1225311n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=+（n ∈N ，1n ≥）．
【变式3-2】用数学归纳法证明：11112446682(22)4(1)
+++
+
=⨯⨯⨯⨯++n
n n n
【答案】证明见解析.
【解析】（1）当1n =时，左边11248
=
=⨯，右边1
8=，等式成立．
（2）假设当n k =时，等式成立，
即124⨯＋146
⨯＋1
68⨯＋…＋12(22)k k ⨯+＝4(1)k k +成立． 当1n k =+时，
124⨯＋146
⨯＋1
68⨯＋…＋12(22)k k ⨯+＋(22)24)1(k k +⨯+
＝4(1)k k +＋14(1)(2)k k ++＝(2)14(1)(2)k k k k ++++＝2
(1)4(1)(2)
k k k +++＝14(2)k k ++＝[]14(1)1k k +++.
所以1n k =+时，等式也成立．
由（1）（2）可得，对一切n N +∈，等式1
1
124462(22)4(1)
n
n n n ++
+
=⨯⨯⨯++成立．
【变式3-3】观察下面三个等式： 第1个：1113211
=⨯⨯+， 第2个：1121335221
+=⨯⨯⨯+， 第3个：
1113
133557231
++=⨯⨯⨯⨯+
（1）按照以上各式的规律，写出第4个等式；
（2）按照以上各式的规律，猜想第n 个等式（n 为正整数）； （3）用数学归纳法证明你的猜想成立．
【答案】（1）1
1
1
1
4
133********+++=⨯⨯⨯⨯⨯+；（2）1111335(21)(21)21n
n n n ++⋯+=⨯⨯-++，*n N ∈
（3）证明见解析
【解析】（1）由第1个：
11
13211
=⨯⨯+， 第2个：1121335221
+=⨯⨯⨯+， 第3个：
1113133557231
++=⨯⨯⨯⨯+， 第4个：1
1
1
1
4
133********+++=⨯⨯⨯⨯⨯+，
（2）由（1）可猜想，第n 个等式：1111335(21)(21)21n
n n n ++⋯+=⨯⨯-++，*n N ∈； （3）数学归纳法证明：
当1n =时，
11133
=⨯，
1
213n n =+，等式成立； 假设(*)n k k N =∈时，
1111335(21)(21)21k
k k k ++⋯+=⨯⨯-++，
*k N ∈． 当1n k =+时，1
111
1335(21)(21)(21)(23)
k k k k ++⋯++⨯⨯-+++1
21(21)(23)
k k k k =
++++ (23)1(21)(23)k k k k ++=
++(21)(1)
(21)(23)k k k k ++=++12(1)1k k +=++， 可得1n k =+时，1
1
1
1335(21)(21)21n
n n n ++⋯+=⨯⨯-++，*n N ∈也成立， 综上可得，对一切的*n N ∈，1
1
1
1335(21)(21)21n
n n n ++⋯+=⨯⨯-++均成立．
题型四 用数学归纳法证明不等式
【例4】用数学归纳法证明：()222n n n *
+>∈N ．
【答案】证明见解析
【解析】（1）当1n =时，12221+>，不等式成立；
当2n =时，22222+>，不等式成立； 当3n =时，32223+>，不等式成立．
（2）假设当(),3n k k k *
=∈≥N 时不等式成立，即222k k +>．
则当1n k =+时，()()2
1
222
2222222123k k k k k k ++=+->-=++--．
因为3k ≥，所以()()2
23310k k k k --=-+≥，
从而()()2
2
12221231k k k k k ++>++--≥+，所以()2
1221k k ++>+．
即当1n k =+时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可以断定，222n n +>对任何n *∈N 都成立．
【变式4-1】用数学归纳法证明：()222
11
1111
11
113(21)234
212n n n n
++++
>-+-++
-∈--N ． 【答案】证明见解析
【解析】（1）当1n =时，左边1=，右边1
112
2
=-=，左边>右边，所以不等式成立．
（2）假设当()n k k +=∈N 时，不等式成立， 即2221
1
1111
11
113(21)234
212k k k ++
+
>-+-+
+
---． 则当1n k =+时，
22
22
111113(21)(21)k k +++
+-+2
111
111
1234
212(21)k k k >-+-++
-+-+ 1111111234212(21)(22)
k k k k >-+-++-+
-++111111112342122(1)12(1)
k k k k =-+-++-+--+-+， 即当1n k =+时，不等式也成立．
由（1）（2）知，不等式对任何n +∈N 都成立．
【变式4-2】设0x >，*n ∈N ，且2n ≥，求证：(1)1n
x nx +>+.
【答案】证明见解析
【解析】①当2n =时，不等式的左边2
2(1)
12x x x =+=++，右边12x =+，
由0x >，可得左边>右边，不等式成立；
②假设n k =，*k N ∈，且2k ，(1)1k x kx +>+成立， 当1n k =+时，1
2(1)
(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x kx x k x kx k x ++=++>++=+++>++，
即1n k =+时，不等式也成立． 综上由①②可得，0x >，*n N ∈，且2n
，不等式(1)1n x nx +>+成立．
【变式4-3】）已知n ∈N *，n ＞2，求证：1
1
n
+
>【答案】证明见解析 【解析】当3n =时，坐标1
=2==，左边>右边，不等式成立. 假设当()*
3N ,n k k k =∈≥时不等式成立，
即1
1
k
+
> 当1n k =+时，
1
1
k ++
+>===
所以当1n k =+时，不等式也成立.
综上所述，对一切*
,2N n n ∈>，不等式恒成立.
题型五 用数学归纳法证明整除问题
【例5】用数学归纳法证明：2311222n -++++可以被7整除.
【答案】证明见解析．
【解析】证明：（1）1n =时，21227++=，能被7整除，
（2）假设n k =时，命题成立，即2311222k -++++能被7整除，
设2311222k -+++
+（m 是正整数）
， 则1n k =+时，23(1)12313313212221222222k k k k k +--++++++=+++++++
323372(122)7727(2)k k k m m m =+++=+⋅=+，
32k m +是正整数，所以37(2)k
m +能被7整除，
所以1n k =+时，命题成立， 综上，原命题成立，2311222n -+++
+（n 是正整数）可以被7整除．
【变式5-1】证明：当*n N ∈时，()22
389n f n n +=--能被64整除．
【答案】证明见解析.
【解析】（1）当1n =时，()4
138964f =--=能被64整除．
（2）假设当()*1,n k k k N =≥∈时，()22
389k f k k +=--能被64整除，
则当1n k =+时，()()()()212
222213
8199381793896464k k k f k k k k k +++++=-+-=⨯--=⨯--++．
故()1f k +也能被64整除．
综合（1）（2）可知当*n N ∈时，()22
3
89n f n n +=--能被64整除．
【变式5-2】求证：对任意正整数n ，22n n
x y -都能被x y -整除．
【答案】证明见解析
【解析】证明：当1n =时，()()22x y x y x y -=-+，则22
x y -能被x y -整除，
假设当()n k k N *=∈时，22k k
x y -能被x y -整除，
则当1n k =+时，即22
2222222222k k k k k k x
y x x y x y y ++++-=-+-()()
222222k k k
x x y y x y =-+-,
因为22x y -、22k k
x y -都能被x y -整除，
故()()22
2222k
k k x x
y y x y -+-能被x y -整除，
即22
22k k x
y ++-能被x y -整除，
所以，当1n k =+时，命题也成立，
因此，对任意正整数n ，22n n
x y -都能被x y -整除.
【变式5-3】求证：()1
21*(1)n n a
a n N +-++∈能被21a a ++整除．
【答案】证明见解析. 【解析】当n =1时，1
212(1)1n n a
a a a +-++=++能被21a a ++整除，
假设当,1,*n k k k N =≥∈, 时1
21121(1)(1)n n k k a a a a +-+-++=++能被21a a ++整除，
则当1n k =+时，()2
21121221
(1)(1)1(1)k k k k k a a a a a a a a +++--⎡⎤++=++++++⎣⎦，
其中1
21(1)k k a
a +-++能被21a a ++整除，所以1
21(1)k k a a
a +-⎡⎤++⎣⎦能被2
1a a ++整除，
所以()1
21221
(1)1(1)k k k a a
a a a a +--⎡⎤++++++⎣⎦
能被21a a ++整除， 即当1n k =+时，()1
21*(1)n n a
a n N +-++∈能被21a a ++整除，
所以()1
21*(1)n n a
a n N +-++∈能被21a a ++整除.
题型六 用数学归纳法证明数列问题
【例6】设数列{}n a 满足()113,22161n n a na n a n +==-++． （1）求23,a a 的值并猜测通项公式n a ； （2）证明上述猜想的通项公式． 【答案】（1）25a =，
37a =，猜测(
)*
21N
n a n n =+∈；（2）见解析
【解析】（1）由题意得，1n =时，21261a a =++，得25a =，
2n =时，3243121a a =++，得37a =，
故1233,5,7a a a ===， 猜测()*
21N n a n n =+∈；
（2）证明：当1n =时，12113a =⨯+=，即猜测成立；
假设n k =时，猜测成立，即21k a k =+， 则1n k =+时，由12161
22n n n n a a n n
+-+=+， 得()()122321612161212322222k k k k k k k k a a k k k k k k k
++-+-+=
+=++
==+， 所以1n k =+时也成立，
综上可得，()*
21N n a n n =+∈成立．
【变式6-1】在数列{}n a ，
{}n b 中，111
2a b ==，且当2n ≥（n 为正整数）时，1n n n a a b -=，121
1n n n b b a --=-．
（1）计算2a ，2b ，3a ，3b ，4a ，4b 的值，并猜测数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
【答案】（1）213a =，223b =；31
4
a =，334
b =；415a =，445b =；猜测：数列{}n a 的通项公式为11
n a n =
+（n 为正整数）；数列{}n b 的通项公式为1
n n
b n =+（n 为正整数）；（2）证明见解析 【解析】（1）令2n =，则122
12122,131
3b b a a b a =
===- 令3n =，则23232
323,141
4
b b a a b a =
===-
令4n =，则3
434243
4,151
5b b a a b a ====-
猜想数列{}n a 的通项公式为1
1
n a n =+（n 为正整数）； 数列{}n b 的通项公式为1
n n
b n =+（n 为正整数） （2）当1n =时，1112
a b ==成立
假定当()1n k k =≥时，1,11
k k k a b k k ==++成立 当1n k =+时，则
()()()1112211111,11111111111k k k k k k k
b k k k b a a b a k k k k k ++++++====⨯=-+++++++⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
= 即()()1111
,1111k k k b a k k +++=
=
++++成立
∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：11
n a n =
+，1n n b n =+（n 为正整数）．
【变式6-2】已知数列{}n a 中，12
3
a =，其前n 项和为n S ，当2n ≥时，1
2n n n
a S S =+-.
（1）计算1S ，2S ，3S ，4S ；
（2）依据（1）的计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）2345
,,,3456；（2）+1
+2n n S n =
，证明见解析 【解析】（1）由题意得：1123
S a ==，
2n ≥时，1
2n n n a S S =+
-，得222
12a S S =+-，则22222132,34S a S S -==-=； 同理333333313142,2,45a S S a S S S =+--==-=， 同理444444414152,2,56
a S S a S S S =+
--==-=； 故1S ，2S ，3S ，4S 的值依次为2345
,,,3456； （2）由（1）的结果，可猜想+1
+2
n n S n =
； 证明：①当1n =时，12
=
3S ，故此时+1+2
n n S n =成立；
②假设,N n k k *=∈时，+1
+2k k S k =
成立， 则当1n k =+时，111
1
2k k k a S S
+++=+-，1111
2k k k S a S +++-=-
，
即11+112(1)1
2,+23(1)2k k k k k S k S k k +++++=-==+++，
故当1n k =+时，+1
+2
n n S n =
也成立， 综合①②，当N n *∈时,+1
+2
n n S n =
.
【变式6-3】已知数列1，1
12+，1123++，11234+++， (1123)
+++⋅⋅⋅+（n *∈N ）的前n 项和
为n S ．
（1）求2S ，3S ，4S ；
（2）猜想前n 项和n S ，并证明．
【答案】（1）24
3S =，332S =，485S =；（2）21
n n
S n =+；证明见解析． 【解析】（1）2141123S =+
=+，3213
1232S S =+=++，431812345
S S =+=+++；
（2）猜想前n 项，21
n n S n =
+ 证明：当1n =时，111S ==,成立，
当*
,n k k N =∈时，假设命题成立，即21
k k
S k =
+， 那么当1n k =+时，
1121
1123 (1)
k k k k S S a k k ++=+=
+++++++ ()()()()()()()()
2
2222122
1121212k k k k k k k k k k k +++=+==+++++++()()()2121211k k k k ++==+++， 即当1n k =+时，命题成立，
综上可知当*
n N ∈时，命题成立，即
21n n
S n =
+.。