高中数学北师大版选修1-1 第2章 单元综合检测2 含解析

第二章 单元综合检测(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知A (0，－5)，B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线
解析：当2a <|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时表示一条射线，故选D. 答案：D
2．以双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.x 216＋y 2
12＝1 B.x 212＋y 2
16＝1 C.x 216＋y 2
4
＝1 D.x 24＋y 2
16
＝1 解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4,0)，故选A. 答案：A
3．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为1
5，则椭圆的标准方程为
( )
A.x 220＋y 2
25＝1 B.x 225＋y 2
20＝1 C.x 225＋y 2
5
＝1 D.x 25＋y 2
25
＝1 解析：双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，则c 1＝a 21＋b 2
1＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝1
5，则a ＝5，
a 2
＝25，b 2
＝a 2
－c 2
＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2
20
＝1.
答案：B
4．若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝－32x 上一点，点F 为抛物线的焦点，则|PF |＝( ) A ．x 0＋8 B ．x 0－8 C ．8－x 0
D ．x 0＋16
解析：由题意可知抛物线开口向左，且p ＝32
2＝16，因此抛物线的准线方程为x ＝8，因
此|PF |＝8－x 0.
答案：C
5．[2014·贵州遵义一模]椭圆x 216＋y 2
9＝1中，以点M (－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为
( )
A. 916
B. 932
C. 964
D. －932
解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎨⎧
x 2116＋y 21
9
＝1， ①x 22
16＋y
22
9＝1， ②
①－②得
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
9＝0，
又∵弦中点为M (－1,2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， ∴
－2(x 1－x 2)16＋4(y 1－y 2)
9
＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.
答案：B
6．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2
－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角
形的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 24 3
D. 12 3
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2
||＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＝6，
|PF 2|＝8.
又|F 1F 2|＝10，
∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1||PF 2|＝1
2×6×8＝24.
答案：B
7．[2014·清华附中月考]如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东
2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2
3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )
A. (2＋3)a 万元
B. (23＋1)a 万元
C. 5a 万元
D. 6a 万元
解析：本题主要考查抛物线的实际应用．依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.
答案：C
8．[2014·湖北省黄冈中学月考]已知F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是双
曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A. (1,2)
B. (1，2)
C. (1,3)
D. (1，3)
解析：本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用．∵△ABE 为等腰三角形，可知只需∠AEF <45°即可，即|AF |<|EF |⇒b 2
a <a ＋c ，化简得e 2－e －2<0，又e >1，∴1<e <2，
∴该双曲线的离心率e 的取值范围为(1,2)，故选A.
答案：A
9．[2014·山东省济南一中月考]线段CD 的两端点分别在射线OA ，OB 上，若OA ，OB 的方程分别为y ＝3x (x ≥0)和y ＝－3x (x ≥0)且|CD |＝43，则CD 的中点P 的轨迹方程是( )
A. 3x 2
＋y 2
3
＝12
B. 3x 2
－y 2
3
＝12
C. 3x 2
＋y 2
3
＝12(3≤x ≤2)
D. 3x 2
－y 2
3
＝12(3≤x ≤2)
解析：本题主要考查由曲线求方程．设P (x ，y )，C (x －m ，y －n )，D (x ＋m ，y ＋n )，由C ，D 分别在OA ，OB 上，及|CD |＝43，得
⎩⎨⎧
y －n ＝3(x －m )
y ＋n ＝－3(x ＋m )2m 2
＋n 2
＝43
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝－3x m ＝－13
y
m 2
＋n 2
＝12
⇒3x 2
＋y 2
3＝12且3≤x ≤2，故选C.
答案：C
10．如右图所示，共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )
A ．e 1<e 2<e 3<e 4
B ．e 2<e 1<e 3<e 4
C ．e 1<e 2<e 4<e 3
D ．e 2<e 1<e 4<e 3
解析：由椭圆、双曲线的离心率范围知0<e 1，e 2<1<e 3，e 4.由椭圆①②的圆扁情况知e 1<e 2；由双曲线③④的开口大小情况知e 4<e 3.故选C.
答案：C
11．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，
则m 等于( )
A.32 B ．2 C.52
D ．3
解析：依题意k AB ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
＝－1， 而y 2－y 1＝2(x 22－x 2
1)，得
x 2＋x 1＝－1
2，且⎝⎛⎭⎫x 2＋x 12，y 2＋y 12
在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ，
y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，
∴2(x 22＋x 2
1)＝x 2＋x 1＋2m ，
2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ， 2m ＝3，m ＝3
2.
答案：A
12．[2014·陕西省西安铁一中月考]已知P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，
F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆C 的圆心的横坐标为( )
A. －a
B. －b
C. －c
D. a ＋b －c
解析：本题考查双曲线中基本量之间的关系和三角形内切圆的性质．设△PF 1F 2的内切圆C 与三边PF 1，PF 2，F 1F 2分别切于点A ，B ，D ，由双曲线定义有|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即|PB |＋|BF 2|－(|P A |＋|AF 1|)＝2a ，由圆的切线性质知|P A |＝|PB |，|AF 1|＝|DF 1|，|BF 2|＝|DF 2|，所以|DF 2|－|DF 1|＝2a ，又|DF 2|＋|DF 1|＝2c ，故|DF 2|＝a ＋c ，圆心C 的横坐标为x 0＝－a ，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
离心率等于__________．
解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝25
5
.
答案：25
5
14．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝__________. 解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p
2，0)，由两点间距离公式，得
(p
2＋2)2＋(－3)2＝5.解得p ＝4. 答案：4
15．[2014·福建省厦门一中期末考试]已知双曲线x 216－y 2
25＝1的左焦点为F ，点P 为双曲
线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.
解析：本题综合考查直线、双曲线与圆．设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝1
2|PF ′|，所以|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由
双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝－12|PF ′|＋|MF |－|FN |＝1
2
(|PF |－|PF ′|)－
|FN |＝1
2
×8－5＝－1.
答案：－1
16．[2014·辽宁高考]已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的
焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.
解析：设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.
答案：12
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)[2014·厦门高二检测]求与椭圆x 2144＋y 2
169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲
线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
解：椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)、(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2
a 2
－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)， 又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，
∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝5
2，
渐近线方程是y ＝±221
21
x .
18．(12分)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C ：x 2
－y 2
2
＝1交于不同的两点A ，B ，且线
段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．
解：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2
2＝1，x －y ＋m ＝0
得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)， ∴x 0＝x 1＋x 2
2＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，
∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， ∴m 2＋(2m )2＝5， ∴m ＝±1.
19．(12分)[2014·陕西省西工大附中月考]已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线y ＝kx ＋m 与曲线C 相切于点M ，且与直线x ＝－1相交于点N ，试问：在x 轴上是否存在一个定点E ，使得以MN 为直径的圆恒过此定点E ？若存在，求出定点E 的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →
，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得轨迹C ：y 2＝4x .
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，
由Δ＝0，得km ＝1，从而有M (m 2,2m )，N (－1，－1
m
＋m )，
设点E (x,0)，使得ME ⊥NE ，则ME →·NE →
＝0，即(x －m 2)(x ＋1)＋(－2m )(1m －m )＝0，即(1
－x )m 2＋x 2＋x －2＝0，得x ＝1，
所以存在一个定点E (1,0)符合题意．
20．(12分)[2014·安徽师大附中月考]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，
由直线l 与双曲线交于不同的两点得
⎩⎨
⎧
1－3k 2
≠0
Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，
即k 2≠1
3且k 2<1. ①
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则 x A ＋x B ＝
62k 1－3k 2，x A x B
＝－91－3k
2，由OA →·OB →
>2得x A x B ＋y A y B >2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2
＝(k 2
＋1)×－91－3k 2＋2k ×62k
1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1
，
于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得1
3<k 2<3. ②
由①、②得1
3<k 2<1.
故k 的取值范围为(－1，－
33)∪(3
3
，1)． 21．(12分)[2014·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，
b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .
(1)若点C 的坐标为(43，1
3)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；
(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.
因为点C (43，1
3)在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.
解得b 2＝1.
故所求椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y
b
＝1.
解方程组⎩⎨⎧
x c ＋y
b
＝1，x 2
a 2
＋y
2b 2
＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2a 2c a 2＋c
2，
y 1
＝b (c 2
－a 2
)
a 2
＋c 2
，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，y 2＝b .
所以点A 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2
)
a 2＋c
2)．
又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2
)
a 2＋c
2)．
因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)
a 2＋c 2－0
2a 2c a 2＋c 2
－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c
3，直线AB 的斜率为－b
c ，且F 1C ⊥AB ，
所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c
3·(－b c )＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.
因此e ＝
55
. 22．(12分)[2014·大纲全国卷]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8
p .
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.
所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4
m
y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2
m )，|MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2
. 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，从
而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2
m
2＋2)2 ＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4
.
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.。