湘教版解读-点拨第21章二次根式-复习

第二十二章 二次根式全章总结
一．知识结构图
二、专题总结
（一）知识技能专题
◆专题1：二次根式的运算与化简
专题概说：如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，就应在这个范围内化简,如果题目中没有明确的取值范围，就应挖掘条件,把隐含在题目中所限定的取值范围显现出来,必要时进行分类讨论并化简.化简的方法可借助二次根式相关性质及逆用二次根式的乘法法则和除法法则.
例1：化简：1x x
-
解法一：1x x -
=-∣x ∣1
x
-=21
x x x
--
=-- 解法二：11x x x x x x -
==--x x x x x x x x
--===-----
点拨：在运用2a a =中的字母a 为非负数，
只有非负数才能转移到根号内 如果字母a 为负数可化为2a a a =-
=-，此类二次根式的化简有两种：一种是将根号外的移到根号内，运
用2(0)a a a =
≥，另一种是先运用
a
(0,0)a a b b b
=≥>，再进行分母有理化，从而达到化简的目的.
专题1即时练习
1. 阅读下面的文字后，回答问题：
小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：2
21a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．
小明的解答是：原式＝1)1()1(2=-+=-+a a a a ；
小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2=-⨯=-=--=-+a a a a a ． (1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因． 2.把根式()1
3
1--x x 中根号外的因式适当改变后移到根号内______________. 过程与方法：
◆专题2：分母有理化
专题概说：分母有理化的关键是确定有理化因式，其基本形式有：（１）m a 的有理化因式是a ；（２）m a n b ±的有理化因式是m a n b ,分母有理化有时也可通过
约分的办法来解决．
例2：在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其
实我们还可以将其进一步化简：
＝；
（一） ＝（二） ＝ ＝ （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

还可以用以下方法化简： 2231(3)13131--==++(31)(31)3131
+-==-+（四） 35321
32+35
5535
553＝⨯⨯323
6
3332＝⨯⨯132+）
）（（）
－（1313132-+⨯131
313222---＝）（）
（1
32
+132
+
（1)请用不同的方法化简。

（2) ①参照（三）式得
＝___________；
②参照（四）式得
＝_________________。

（2）化简：
解：（1）
（2）=
＝
=．
点拨：分母有理化主要包括形如
1a b
和
1
a b c d
±这两类形式的有理化，它们的有理化
因式分别是b 和a b c d ，化简的理论依据分别是分式的基本性质和平方差公式.
专题2即时练习：
3.下列各数中,与25-的积是有理数的是( ) A. 5 B. 25- C. 25+ D. 25-+
4.若x a b =
+,y a b =-,则xy 的值为____；
5.已知2a =,化简代数式2a a
a a a
+--的值
（二）规律方法专题
◆专题3 活用公式 简化运算
3
52
+3
52
+3
52
+1
2121
...571351131-+++
++++++n n 22
22(53)2(53)5353(53)(53)(5)(3)
--===-++--222(5)(3)(53)(53)
53535353
-+-===-+++315375
(31)(31)(53)(53)(75)(75)
---++
+-+-+-21212121)(2121n n n n n n +--++
++-+--…()
3153752121
2222
n n ---+--++++
(2112)
n +-
专题概说：二次根式的混合运算，要注意先化简成最简二次根式，再进行加、减、乘、除运算，尤其要注意运算顺序和符号．在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式。

例3:计算 2010
2011(2313)(2313)-+
解：原式=2010
2010(2313)
(2313)(2313)-++
=2010
(2313)(2313)(2313)⎡⎤-++⎣⎦
=2010
(1)
(2313)-+
=1(2313)⨯+ =2313+
点拨:像本例中指数较大，难以计算出结果，常用幂的运算性质化简计算，这样可以使计算过程大大简化．乘法公式在二次根式的运算中仍然成立，在本题的解决过程中，应有数学整体的思想，先运用每个因式的乘方等于积的乘方，将运用平方差公式，从而使问题得以解决.
●专题3即时练习 6.计算: (
)()()()2
2
2
2
12
131213++--
（三）学科思想专题 ◆专题4：整体的思想
专题概说：所谓“整体思想”就是“整体代入法”，指在坚持从实际条件出发的前提下，将欲求值式或已知条件通过变形整理后，寻求它们共同的部分，然后再把已知条件的数值代入欲求值式计算，从而迅速得出答案。

例4:已知实数a 满足||2006-a +a-2007=a.求a-20062
的值.
解：由a-2007≥0，得a ≥2007.
所以||2006-a ＝a-2006. 所以a-2006+a-2007＝a,
a-2007=2006. 两边平方得 a-2007=20062
, 所以a-20062
＝2007.
点拨：a-2007本身有意义的条件就要满足a-2007≥0,因而可以找到a 的取值范围，进而去掉绝对值符号.
名师归纳：本例看似复杂，但是只要我们找到了切入点，就会迎刃而解.在解决本题的过程 中，没有直接去求a 的值，而是把a-20062
看做了一个整体. 专题4即时练习：
7. 已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( )
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．2002 （四）中考能力专题 ◆专题5：中考能力
专题概说：二次根式是代数式的一种，近两年的中考中对“二次根式”的要求是会辨析一些基本概念，如二次根式、最简二次根式、同类二次根式等概念，会根据二次根式的运算法解决有关计算，化简，求值等问题，会根据题目挖掘出题目的隐含条件，并运用该隐含条件求值，如二次根式的双重非负性，二次根式在中考考察的时候一般所占比重不会太大，难度为中等难度，以填空、选择、计算的形式为主。

例5：（2010江苏南京， 2分）计算28a a （a ≥0）的结果是_____．
答案：4a
点拨：据二次根式的乘法法则得22
22828164
a a a a a a =⨯===4·
|a | =4a ． 例6：（2010广西南宁， 3分）下列计算结果正确的是（ ） A ．2＋5＝7
B ．32－2＝3
C ．2×5＝10
D ．
2
5
＝510 答案：C
点拨：A 中2与5都是最简二次根式，不能再合并，B 中32与2的被开方数相同，可以按照合并同类项的方法合并，应该等于22，而D 属于二次根式除法运算，正确
化简得25
＝2555
⨯⨯＝
10
5
．熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算规定是解答的关键，本题主要考查了学生对基本算理的理解掌握程度以及准确计算的能力如何.对于加、减法，必须先化成最简二次根式，再把被开方数相同的项合并，而对于
25
这种除法运算，也
可这般化简：
25
＝
25＝25
55⨯⨯＝105
.各种运算的最终结果必须化成最简二次根式形式． 例7：（2010云南玉溪， 7分）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.
解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ，
在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°.
C
B
A
∵AB=4,
∴BD=2, ∴AD=23. 在Rt △ADC 中，AC=10，
∴CD=22AD AC -=12100-=222 . ∴BC=2+222
答：B 、C 两点间的距离为2+222.
点拨：作AD ⊥BC 于点D ，将△ABC 分成两个Rt △ABD 和Rt △ADC 是解本题的关键。

△ABC 是一个普通三角形，由于∠ABC=60°，考虑构造以∠ABC 为内角的直角三角形，过A 点作AD ⊥BC 于点D ，BC 被分成BD 、CD 两部分，分别解相应的三角形即可。

◆专题5即时训练：
8.（2010江苏常州， 2分）下列运算错误的是（ ） A ．532=
+ B ．632=⨯ C ．326=÷ D ．2)2(2=-
9. （2010湖北襄樊，10，3分）计算1
32252
⨯+⋅的结果估计在（ ） A ．6至7之间
B ．7至8之间
C ．8至9之间
D ．9至10之间
10.（2010本溪改编， 6分）计算：8＋3×(－13)－
2－(2010－π)0－422
⨯
第二十二章检测题
（100分，45分钟）
一、选择题(每题2分，共16分)
1. 若1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ( )
A ． x >1
B ．x ≥1
C ．x ＜1
D ．x ≤1 2. 化简2)21(- 的值是 ( )
A ．21-
B ．12-
C ．12--
D ．12+ 3. 已知012=-++b a ，那么()
2007
b a +的值为 ( )
A ．－1
B ．1
C ．32007
D ．－32007
4. 已知522+-+-=x x y ，求x
y
的值为 ( )
A ．52
B ．52-
C ．25
D ．2
5-
5. 在二次根式45， 22x ，11，5
4
，4x 中，最简二次根式的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6. （2010广东中山）下列式子运算正确的是（ ）
A.123=-
B.248=
C.
33
1= D.
1
3
213
21=-+
+
7. 估算728-的值在（ ）
A ．7和8之间
B ． 6和7之间
C ．3和4之间
D ． 2和3之间
8.已知2
31
+=a ，23-=b ，则a 与b 的关系是（ ）
A ．b a =
B ．b a -=
C ．b
a 1
= D ．1-=ab
二、填空题（每题2分，共20分） 9. 计算：( 1 )
()
23=_________;( 2 )2
212
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=_________． 10. 在实数范围内分解因式：x 2－2=_____________.
11.当m = 时，m --165有最大值为 ．
12. 已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，那么22)()(a b a ---的
结果是____________. 13.化简5x -2x =______. 14.计算
2335
523
÷=___________. 15.（2009·湘西）对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b =
b
a b
a -+，如3※2=
52
32
3=-+．那么12※4= 16.化简33(13)--的结果是__________
17. 已知a 为实数，那么2
a -=__________ 18. （2010静安区模拟）化简：=-+1
51
5 ． 三、解答题（共64分） 19.(6分)计算：427123
+-
．
20.（8分）计算：10
8362(2)(3)π--⋅+⨯+-．
21.（8分）阅读材料，解答下列问题．
例：当0a >时，如6a =则66a ==，故此时a 的绝对值是它本身
当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是零
当0a <时，如6a =-则66(6)a =-==--，故此时a 的绝对值是它的相反数
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
当当当
这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式2
a 的各种展开的情况． （2）猜想2
a 与a 的大小关系． 22.（6分）（2010湖南益阳）已知31=-x ，求代数式4)1(4)1(2++-+x x 的值．
23.（10分） 已知,x y 为实数，且16164y x x =---+，求x y +
24.（6分） 比较与的大小关系，并写出解答的过程.
25.（10分）（2010鄂尔多斯）先化简，再求值：)2(2
222a b ab a ab
a b a ++÷--，其中a=12-，
b=1
26.（10分）（2010湖北荆门）已知a =2+3，b =2－3，试求
a
b
b a -的值。

52+
32+。