山东省青岛三中2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

青岛三中2017-2018学年度第一学期第一学段模块考试
高二年级数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内。

）
1. 直线的倾斜角是
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
【答案】C
【解析】试题分析：由直线方程可知斜率
考点：直线斜率和倾斜角
2. 高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为
A. 13
B. 17
C. 19
D. 21
【答案】C
【解析】高三某班有学生56人,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,
所以样本组距为,则,
即样本中还有一个学生的编号为19,所以C选项是正确的.
3. 过点P（1，1）且倾斜角为45°的直线被圆所截的弦长是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点且倾斜角为的直线方程为，即，圆
的圆心，半径，圆心到直线的距离直线被圆所截的弦长：，故选D.
4. 圆与圆的公切线有
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
【答案】B
【解析】试题分析：圆心是（-1,-1）,半径是
圆心是（2,1）,半径是
所以圆心距为，，所以两圆相交
所以两圆的公切线有且仅有2条。

考点：圆与圆的位置关系.
5. 执行如右图所示的程序框图，则输出S的结果为
A. B. C. 2 D. -1
【答案】A
【解析】执行程序框图，，则；则；则
；则，不小于，输出，故选A.
6. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A. B. C. 4 D.
【答案】B
7. 若直线经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为
A. A，B，C同号
B. AB>0，AC<0
C. AC<0，BC>0
D. AC>0，BC<0
【答案】D
【解析】直线经过第一、二、三象限，斜率在轴上的截距，，故选D.
8. 直线和，若，则与之间的距离
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，解得（舍去），，因此两条直线方程分别化为，则与之间的距离，故选B.
9. 已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
A. 15，36
B. 22，6
C. 15，6
D. 22，36
【答案】B
【解析】的平均数为，，
，的方差为，
的方差是，数据的平均数和标准差分别为，故选B.
10. 点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是
A. 4
B. -4
C. 8
D. -8
【答案】D
【解析】点关于直线对称的点是，线段的中点坐标为，
，解得，所求直线方程为，令，解得，故直线在轴上的截距是，故选D.
11. 已知正数满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
作出表示的可行域为，解方程组，得，解方程组
，得，设表示点与连线的斜率；结合图象，
；的取值范围是，故选A.
12. 已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，
A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则的值是
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
圆的方程为圆心，半径，根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离最小时，切线长最小，切线长为，
，圆心到直线的距离为，直线方程为，即
，解得所求直线的斜率为，故选C.
【方法点晴】本题主要圆的方程与性质以及圆与直线的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效）
13. 过点（-3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是______________。

【答案】或
【解析】当直线过原点时，方程为，即，当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入直线的方程为，故直线方程是，综上，所求的直线方程为或，故答案为或.
14. 如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。

【答案】120
【解析】由频率分布直方图可得，低于分的频率为，而不低于分的频率为，故不低于分的频数为，故答案为.
15. 若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是
__________。

【答案】6
【解析】由程序框图知运算规则是对，执行程序框图，可得满足条件
，第次进入循环体，满足条件，第次进入循环体，满足条件，第次进入循环体，满足条件，第次进入循环体
，满足条件，第次进入循环体，由于的初值为，每进入次循环体其值增大，第次进入循环体后，所以判断框中的整数的值应为，这样可保证循环体只能运行次，故答案为.
16. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是___________。

【答案】-2
【解析】
作出不等式表示的可行域，如图所示：目标函数为，直线与的交点为，直线与的交点为，
直线与的交点为，平移直线，
在点处，目标函数能取得最小值，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。

17. 已知直线的方程为。

（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程。

【答案】（1）（2）直线的方程为：或
【解析】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为：
直线过点（1，-3），
解得
直线的方程为：。

(2)设直线的方程为：
令，得；令，得
则，得
直线的方程为：或。

18. 已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线上。

（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线过点D（2，4），且与圆C相切，求直线的方程。

【答案】（1）（2）直线的方程为或
【解析】试题分析：（1）两点式求得线段的垂直平分线方程，与直线联立可得圆心坐标，由两点间的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程；(2)验证斜率不存在时直线符合题意，设出斜率存在时的切线方程，各根据圆心到直线的距离等于半径求出，从而可得直线的方程为.
试题解析：（1）因为圆C与轴交于两点A（3，3），B（4，2），所以圆心在直线上由得即圆心C的坐标为（3，2）
半径
所以圆C的方程为
(2)①当直线的斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，即
因为直线与圆相切，
直线的方程为
②当直线的斜率不存在时，直线方程为
此时直线与圆心的距离为1（等于半径）
所以，符合题意。

综上所述，直线的方程为或。

【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、圆的切线方程，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或
一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.
19. 某企业生产甲乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨。

问该企业如何安排可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】生产甲产品3吨，生产乙产品4吨时，可获得最大利润为27万元
【解析】试题分析：生产甲产品吨，生产乙产品吨，根据两种原理的限量可得有关系：
，作出可行域，平移目标函数，找到最优解，即可求得大利润及如何获得最大利润.
试题解析：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
则目标函数，作出可行域（如图），
平移直线，过点B时取最大值。

由即B（3，4），
所以当时，，
故生产甲产品3吨，生产乙产品4吨时，可获得最大利润为27万元。

20. 某公司近年来科研费用支出万元与公司所获利润万元之间有如表的统计
数据：参考公式：用最小二乘法求出关于的线性回归方程为：，
其中：，，参考数值：。

（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）根据上表提供的数据可知公司所获利润万元与科研费用支出万元线性相关，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润。

【答案】（1）3.5，28（2）（3）64.4万元
【解析】试题分析：（1）利用平均值公式与所给参考数值求解即可；（2）利用公式求得
，将样本中心点的坐标代入回归方程，求得
，从而可得结果；（3）利用第二问的回归方程进行求值，预测即可
试题解析：（1）。

(2)，
，。

，
所以回归方程为。

(3)当时，（万元），
故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元。

【方法点晴】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，
，分组的频率分布直方图如图。

（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）0.0075（2）230，224（3）月平均用电量在的用户中应抽取户
【解析】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20
＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，-------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
22. 已知圆，直线。

（Ⅰ）求证：直线与圆C恒有两个交点；
（Ⅱ）求出直线被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值；
（Ⅲ）设直线与圆C的两个交点为M，N，且（点C为圆C的圆心），求直线的方程。

【答案】(1)见解析；(2) ， (3)
【解析】试题分析：（1）直线可化为，证明直线过圆
的内部定点，即可证明结论；(2)弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果；(3)设与的夹角为，由，可得，从而，可得点到直线的距离为，利用点到直线距离公式求出列方程求得，从而可得直线的方程.
试题解析：（1）直线可化为，因此直线过定点A（2，-1），显然该点A在圆的内部
所以直线与圆C恒有两个交点。

(2)圆心C（1，-2），半径
所以弦长
此时
所以。

(3)设与的夹角为，因为
所以，从而，所以点C到直线的距离为1 即，所以
所以直线的方程是。