同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分

第二篇 一元函数微积分
第二章 导数与微分
微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时,函数大体上变化了多少,即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．
第1节 导数的概念
1.1 导数概念的引入
1。

1。

1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题
现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为
()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少？
整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为
00()()
s t t s t s v t t
+∆-∆=
=
∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ,于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即
000
00()()()lim lim
lim t t t s t t s t s
v t v t t
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．
欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置,容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．
图2—1
如图2—1所示，取曲线C 上另外一点00(,)M x x y y +∆+∆，则割线0M M 的斜率为
000()()
tan M M f x x f x y k x x
+∆-∆==
=
∆∆ϕ． 当点M 沿曲线C 趋于0M 时,即当0x ∆→时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0
M 的切线0M T ，此时割线的倾斜角ϕ趋于切线的倾斜角α，故切线的斜率为
000
00()()lim tan lim
lim
x x x f x x f x y
k x x
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ϕ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题,虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际
背景,从数学角度看,却有着相同的数学形式,即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质—-导数．
1。

2 导数的概念
1.2。

1 函数在一点处的导数
定义1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0(,)U x δ内有定义,自变量x 在0x 处取得增量
x ∆，且00(,)x x U x δ+∆∈时，函数取得相应的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果极限
0000()()lim
lim
x x f x x f x y
x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在,那么称函数()y f x =在点0x 可导，并称此极限值为函数()y f x =在点0x 的导数,记作
0()
(),,
,
x x x x x x dy
df x f x y dx
dx ===''，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆．
注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式
000
()()
()lim
x x f x f x f x x x →-'=-；
0000
()()
()lim
h f x h f x f x h
→+-'=．
（2）若极限0lim
x y
x
∆→∆∆不存在，则称函数()y f x =在点0x 不可导．特别地，若
0lim
x y
x ∆→∆=∞∆，也可称函数()y f x =在点0x 的导数为无穷大，此时()y f x =在点0x 的切线
存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =．
例1 设1
()f x x
=
，求(3)f '． 解 根据导数的等价定义,可得
3
33
()(3)11111
(3)lim
lim lim 33339x x x f x f f x x x x →→→--⎛⎫'==-==- ⎪--⎝⎭
． 例2 设0()2f x '=-，求下列极限： （1）000
(3)()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆； （2）000()()lim h f x h f x h h
→+--．
解
（1)0000000(3)()(3)()
lim
3lim 3()63x x f x x f x f x x f x f x x x
∆→∆→+∆-+∆-'===-∆∆．
（2）00000000()()()()()()
lim lim
h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h
→→+--+-+--= 0000000()()()()lim lim 2()4h h f x h f x f x h f x f x h h
→→+---'=+==--． 1.2.2 单侧导数
导数是由函数的极限来定义的,因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．
定义2 (1)设函数()y f x =在点0x 的某左邻域内有定义，当自变量x 在点0x 左侧取得增量x ∆时,如果极限000
()()
lim x f x x f x x
-
∆→+∆-∆或000()()lim x x f x f x x x -
→--存在，则称此极限值为()y f x =在点0x 的左导数，记为0()f x -'，即
0000000
()()()()
()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--'==∆-．
（2）设函数()y f x =在点0x 的某右邻域内有定义,当自变量x 在点0x 右侧取得增量
x ∆时,如果极限000
()()
lim x f x x f x x
+
∆→+∆-∆或000()()lim x x f x f x x x +
→--存在，则称此极限值为()y f x =在点0x 的右导数，记为0()f x +'，即
000000
()()()()
()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +
+
+∆→→+∆--'==∆-． 由极限存在的充要条件可得函数()y f x =在点0x 可导的充要条件如下:
定理1 函数()y f x =在点0x 可导⇔0()f x -'和0()f x +'存在且相等．
例3 研究函数()f x x =在点0x =的可导性．
解 因为,0
(),0
x x f x x x -<⎧=⎨
≥⎩,所以
00()(0)(0)lim lim 10
x x f x f x
f x x ---→→--'===--，
00()(0)(0)lim lim 10
x x f x f x
f x x +++→→-'===-，
从而(0)(0)f f -+''≠,因此()f x x =在点0x =不可导．
1。

2.3 导函数
定义3 （1）若函数()y f x =在区间(,)a b 内每一点均可导，则称()y f x =在区间(,)a b 内可导；
(2）若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，在区间左端点a 的右导数()f a +'和区间右端点b 的左导数()f b -'均存在,则称()y f x =在闭区间[,]a b 上可导．
定义4 若函数()y f x =在区间I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的x I ∈,都对应着一个导数值()f x '，其是自变量x 的新函数，则称()f x '为
()y f x =在区间I 上的导函数，记作()(),,
,df x dy
f x y dx dx
''，即 0()()()lim
x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆或0()()
()lim h f x h f x f x h
→+-'=． 注：(1）在导函数的定义式中，虽然x 可以取区间I 上的任意值，但在求极限的过程中，x 是常数,x ∆和h 是变量．
（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x 处的函数值,即
0()()x x f x f x =''=．
下面利用导数的定义求一些简单函数的导数． 例4 求常值函数()f x C =（C 为常数）的导数． 解 0
0()()()lim
lim 0x x f x x f x C C
f x x x
∆→∆→+∆--'===∆∆． 即得常值函数的导数公式：
()0C '=．
例5求正弦函数()sin f x x =的导数．
解 0
0()()sin()sin ()lim
lim
x x f x x f x x x x
f x x x
∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ 0
02sin cos sin 222lim
lim cos cos 22
x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆∆⎛⎫∆+ ⎪
∆⎛⎫⎝⎭==+= ⎪∆∆⎝
⎭． 即得正弦函数的导数公式:
()sin cos x x '=．
类似可得余弦函数的导数公式:
()cos sin x x '=-．
例6求指数函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的导数．
解 000()()1()lim lim lim x h x h x
h h h f x h f x a a a f x a h h h
+→→→+---'===．
由于当0h →时,1
ln h
a h a -，所以
()0ln lim
ln x x h h a
f x a a a h
→'==．
即得指数函数的导数公式:
()ln x
x
a a
a '=．
特别地，
()x
x
e e
'=．
例7 求对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的导数． 解 0
00log ()log ()()1()lim
lim lim log a a a
h h h x h x f x h f x x h
f x h h h x
→→→+-+-+'=== 001111lim log 1lim log 1log ln x
h
a a a h h x h h e x h x x x x x a →→⎛⎫⎛⎫
=⋅+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 即得对数函数的导数公式：
(
)1
log ln a x x a '=
． 特别地，
()1ln x x
'=
． 例8 求幂函数()f x x μ
=的导数．
解 00()()()()lim lim h h f x h f x x h x f x h h
μμ→→+-+-'==()011lim 0h h x x x h μ
μ→⎛⎫+- ⎪⎝⎭
=≠， 因为当0h →时，0h x →，从而11h h x x μ
μ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
，故
()10lim h h
x f x x x h
μμμ
μ-→'=⋅=．
即得幂函数的导数公式：
()1
x x
-'=μ
μμ．
1.3 导数的几何意义
函数()f x 在0x 点可导时，导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率（图2—1）．
由此可得，曲线()y f x =在00(,())x f x 处的切线方程为
000()()()y f x f x x x '-=-．
若0()f x '=∞，可得切线的倾斜角为
2
π
或2-π,此时切线方程为0x x =．
当0()0f x '≠时，曲线()y f x =在00(,())x f x 处的法线方程为
0001
()()()
y f x x x f x -=-
-'． 若0()0f x '=，则法线方程为0x x =．
例9 求函数2
y x =在点(1,1)处的切线的斜率,并写出在该点的切线方程和法线方程． 解 根据导数的几何意义，函数2
y x =在点(1,1)处的切线的斜率为
11()22x x k f x x =='===．
从而所求的切线方程为
12(1)y x -=-，
即
210x y --=．
所求法线的斜率为
1112
k k =-
=-， 从而所求的法线的方程为
1
1(1)2
y x -=--,
即
230x y +-=．
1。

4 函数可导性与连续性的关系
定理2 如果函数()y f x =在点0x 处可导，那么()y f x =在点0x 处连续． 证明 因为()y f x =在点0x 处可导,即
00()lim
x y f x x
∆→∆'=∆，
其中00()()y f x x f x ∆=+∆-，所以
00000
lim lim lim lim ()00x x x x y y y x x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆⎛⎫
'∆=⋅∆=⋅∆=⋅= ⎪∆∆⎝⎭
． 根据连续的定义可知()y f x =在点0x 处连续．
注：(1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．
(2)如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．
例10 讨论函数1sin ,0
()0,
0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处的连续性与可导性． 解 因为
1
lim ()lim sin
0(0)x x f x x f x
→→=⋅==, 所以()f x 在点0x =处连续．
又因为
001
sin
()(0)
1(0)lim
lim lim sin 0
x x x x f x f x f x x x
→∆→∆→-'===-
不存在，所以()f x 在点0x =处不可导．
例11 讨论函数2,1
()2,1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩
在点1x =处的连续性与可导性．
解 因为
11
lim ()1,lim ()2x x f x f x -
+
→→==，
所以()f x 在点1x =处不连续，从而()f x 在点1x =处不可导．
例12 设函数2,0
(),0
x e x f x x ax b x ⎧≤=⎨++>⎩在点0x =处可导，求,a b ．
解 由于()f x 在点0x =处可导,所以()f x 在点0x =处必连续,即
00
lim ()lim ()(0)x x f x f x f -
+
→→==． 因为
lim ()lim 1x x x f x e --
→→==， 20
lim ()lim()x x f x x ax b b ++
→→=++=, (0)1f =，
所以可得1b =．
又因为
00()(0)1
(0)lim lim 10x
x x f x f e f x x --
-→→--'===-， 200()(0)11
(0)lim lim 0x x f x f x ax f a x x
+++→→-++-'===-．
要使()f x 在点0x =处可导，则应有(0)(0)f f -+''=，即1a =．所以,如果()f x 在点0x =处可导，则有1,1a b ==．
习题2-1
1。

已知物体的运动规律为2
(m)s t t =+,求: (1）物体在1s 到2s 这一时间段的平均速度； （2）物体在2s 时的瞬时速度．
2. 设()f x 按定义求()4f '。

3。

设()0f x '存在，指出下列极限各表示什么？ (1）()()000
lim
x f x x f x x ∆→-∆-∆； （2)()()
000lim h f x f x h h
→-+；
（3）()
0lim x f x x
→（设()00f =且()0f '存在）。

4. 设函数()f x 在点1x =处连续，且()
1
lim
21
x f x x →=-，求()1f '. 5。

已知函数()1,010,
0x x
x f x e x ⎧≠⎪
=⎨+⎪
=⎩，求()0f +'和()0f -',判定()0f '是否存在？
6。

求曲线x
y e =在点()0,1处的切线方程和法线方程.
7. 试讨论函数()2
1sin ,0
0,
0x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性。

8. 设函数()2,1
,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求,a b 的值.
第2节 函数的求导法则
在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导数．但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解,难度比较大．因此本节将介绍几种常用的求导法则,利用这些法则和基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数．
2。

1 导数的四则运算法则
定理1 如果函数()u x 和()v x 都在点x 处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零)都在点x 处可导，且
(1）[()()]()()u x v x u x v x '''±=±．
（2）[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=⋅+⋅． 特别地,
[()]()C u x C u x ''⋅=⋅（C 为常数）
． （3)2
()()()()()
(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦
． 特别地，
2
1()
(()0)()()v x v x v x v x ''⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦
． 证明
（1)0[()()][()()]
[()()]lim
h u x h v x h u x v x u x v x h
→+±+-±'±=
00()()()()lim lim ()()h h u x h u x v x h v x u x v x h h
→→+-+-''=±=±． （2)0()()()()
[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h
→+⋅+-⋅'⋅=
0()()
()()lim ()()h u x h u x v x h v x v x h u x h h →+-+-⎡⎤=⋅++⋅⎢⎥⎣⎦
0000()()()()
lim
lim ()lim ()lim
h h h h u x h u x v x h v x v x h u x h h
→→→→+-+-=⋅++⋅， 由于()v x 在点x 处可导，从而其在点x 处连续，故
[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=⋅+⋅．
(3）先考虑特殊情况．当()0v x ≠时，
111()()()()
lim lim ()()z x z x v z v x v z v x z x v z v x z x
→→-
--=⋅-⋅-， 由于()v z 在点x 处可导，从而其在点x 处连续，故
21()()()
lim
()()()
z x v z v x v x v z v x z x v x →'--⋅=-⋅-．
因此，函数1
()v x 在点x 处可导，且2
1()(()0)()()v x v x v x v x ''⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦
．于是 2
()1111()
()()()()()()()()()()()u x v x u x u x u x u x u x v x v x v x v x v x v x ''''⎡⎤⎡⎤⎡⎤-''=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2()()()()
(()0)()
u x v x u x v x v x v x ''⋅-⋅=
≠．
注：(1）法则（1)可以推广到有限个可导函数的和与差的求导．如
[]()()()()()()u x v x w x u x v x w x ''''±±=±±．
（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导．如
[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅．
例1 设2()3x
f x x e =+-,求()f x '．
解 (
)()()()22
()332x x
x
f x x e x
e x e
'''''=+-=+-=+．
例2 设52
1
()f x x x x
=+-
，求()f x '． 解 ()()52524
2111()52f x x x x x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'''=+-=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
例3 设()sin x
f x e x =,求()f x '．
解 (
)()()()()sin sin sin sin cos x
x
x
x
f x e x
e x e x e x x ''''==+=+．
例4 设()ln x
f x xe x =，求()f x '．
解 (
)()()()()ln ln ln ln x
x
x x f x xe x
x e
x x e x xe x '''''==++
()1
ln ln 1ln ln x x x
x e x xe x xe e x x x x
=++=++． 例5 设()tan f x x =,求()f x '．
解 ()()()2sin cos sin cos sin ()tan cos cos x x x x x f x x x x '''-⎛⎫''=== ⎪⎝⎭
222
22cos sin 1sec cos cos x x x x x
+===．
即得正切函数的导数公式：
()2tan sec x x '=．
类似可得余切函数的导数公式：
()2cot csc x x '=-．
例6 设()sec f x x =，求()f x '．
解 ()()22
cos 1sin ()sec sec tan cos cos cos x x f x x x x x x x ''⎛⎫''===-== ⎪⎝⎭
． 即得正割函数的导数公式:
()sec sec tan x x x '=．
类似可得余割函数的导数公式:
()csc csc cot x x x '=-．
2.2 反函数的求导法则
定理2 如果函数()x f y =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠，那么它的反函数
1()y f x -=在区间{}
(),x y I x x f y y I ==∈内也可导，且
1
1()()f x f y -'⎡⎤=⎣⎦' 或 1dy dx
dx dy
=． 换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数．
证明 由于()x f y =在区间y I 内单调、可导（必连续），从而可知()x f y =的反函数
1()y f x -=存在，且1()f x -在区间x I 内也单调、连续．
取x x I ∀∈，给x 以增量()0,x x x x x I ∆∆≠+∆∈，由1
()y f
x -=的单调性可知
()()110y f x x f x --∆=+∆-≠，
于是有
1
y x x
y
∆=∆∆∆， 由于1
()y f
x -=连续，所以
lim 0x y ∆→∆=,
从而
1
0011()lim lim ()
x y y f x x x f y y
-∆→∆→∆'⎡⎤===⎣⎦∆'∆∆． 例7 设arcsin (11)y x x =-<<，求y '．
解 因为arcsin (11)y x x =-<<的反函数sin x y =在区间,22y I ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
ππ内单调可导，且()sin cos 0y y '=≠．又因为在,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
ππ
内有cos y =间()1,1x I =-内有
()(
)1
1arcsin cos sin x y y '=
=
==
'
． 即得到反正弦函数的导数公式：
(
)()arcsin 11x x '=
-<<．
类似可得反余弦函数的导数公式：
(
)()arccos 11x x '=-<<．
例8 设arctan ((,))y x x =∈-∞+∞，求y '．
解 因为arctan ()y x x =-∞<<+∞的反函数tan x y =在区间,22y I ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭ππ内单调可导,且()2
tan sec 0y y '=≠，所以在对应区间(),x I =-∞+∞内有
()()222
1
111
arctan sec 1tan 1tan x y y x y '=
=
==++'
．
即得反正切函数的导数公式:
()()21arctan (,)1x x x '=
∈-∞+∞+． 类似可得反余切函数的导数公式：
()()2
1arccot (,)1x x x '=-
∈-∞+∞+．
2。

3 复合函数的求导法则
定理3 如果函数()u g x =在点x 可导，函数()y f u =在相应点()u g x =可导，那么复合函数[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为
()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx
=⋅． 证明 因为()y f u =在点u 可导，所以
0lim
()u y
f u u ∆→∆'=∆
存在，于是根据极限与无穷小的关系可得
()y
f u u
α∆'=+∆， 其中α是0u ∆→时的无穷小．由于上式中0u ∆≠，在其两边同乘u ∆，可得
()y f u u u α'∆=⋅∆+⋅∆，
用0x ∆≠除上式两边，可得
()y u u
f u x x x
α∆∆∆'=⋅+⋅
∆∆∆， 于是
00lim lim ()x x dy y u u f u dx x x x α∆→∆→∆∆∆⎡⎤'==⋅+⋅⎢⎥∆∆∆⎣⎦
． 根据函数在某点可导必在该点连续可知,当0x ∆→时，0u ∆→,从而可得
lim lim 0x u αα∆→∆→==．
又因为()u g x =在点x 可导，所以
0lim
()x u
g x x ∆→∆'=∆,
故
0lim ()()()x dy u u f u f u g x dx x x α∆→∆∆⎡
⎤'''=⋅+⋅=⋅⎢⎥∆∆⎣⎦
． 如果0u ∆=，规定0α=，那么0y ∆=，此时()y f u u u α'∆=⋅∆+⋅∆仍成立，从而仍有
()()dy
f u
g x dx
''=⋅． 注：(1）[](())f g x '表示复合函数对自变量x 求导，而[]()f g x '则表示函数()y f u =对中间变量u 求导．
（2）定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数．例如，设可导函数
()()(),,y f u u g v v x ϕ===构成复合函数()()y f g x ϕ⎡⎤=⎣⎦，则
()()()dy dy du dv
f u
g v x dx du dv dx ϕ'''=⋅⋅=⋅⋅． 例9 设2
sin y x =,求dy dx
．
解 因为2
sin y x =由2
sin ,y u u x ==复合而成,所以
()()22sin cos 22cos dy dy du u x u x x x dx du dx
''=⋅=⋅=⋅=． 例10 设()ln cos x y e =，求dy
dx
．
解 因为()
ln cos x y e =由ln ,cos ,x
y u u v v e ===复合而成，所以
()()()()()1ln cos sin tan x x x x dy dy du dv u v e v e e e dx du dv dx u
''=⋅⋅=⋅⋅=⋅-⋅=-． 从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象
地称其为链式法则．当对复合函数求导过程较熟练后,可以不用写出中间变量,而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可．
例11 设lnsin y x =，求y '． 解 ()11sin cos cot sin sin y x x x x x
''=
⋅=⋅=． 例12 设(
)
5
2
43y x x =-+，求y '．
解 ()()()()442225434310243y x x x x x x x ''=-+⋅-+=--+．
例13 设sin sin n
y nx x =（n 为常数),求y '．
解 ()(
)sin sin sin sin n n
y nx x nx x '
''=+
()()11cos sin sin sin cos sin sin 1n n n n nx x nx n x x n x n x --=⋅+⋅=⋅+．
例14 设ln y x =，求y '． 解 因为
()
ln ,
0ln ln ,0x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，
所以,当0x >时,
()()1ln ln x x x
''==； 当0x <时,
()()()()11ln ln x x x x
x
'''=-=-=-． 综上可得
()1
ln y x x
''==．
例15 设()f x 可导，求()
2sin y f x =的导数．
解 (
)()()()
()2222sin sin sin sin 2sin sin y f x f x x f x x x '''⎡⎤'''==⋅=⋅⋅⎣
⎦
()()22sin 2sin cos sin 2sin f x x x x f x ''=⋅=⋅．
2。

4 高阶导数
变速直线运动的质点的路程函数为()s s t =，则速度
()()()()
0lim
t s t t s t v t s t t
∆→+∆-'==∆,
加速度
()()()00lim lim t t v t t v t v
a t t t
∆→∆→+∆-∆==∆∆，
从而
()()()a t v t s t '''==⎡⎤⎣⎦．
这种导数的导数称为二阶导数,依次类推就产生了高阶导数的概念．一般地，可给出如
下定义:
定义1 若函数()y f x =的导数()f x '在点x 可导，则称()f x '在点x 的导数为函数
()y f x =在点x 的二阶导数，记作
()()()2222
,,,d f x df x d d y d dy f x y dx dx dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫
''''== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭, 即
()()()
lim
x f x x f x f x x
∆→''+∆-''=∆．
这时也称()f x 在点x 二阶可导．
若函数()y f x =在区间I 上每一点都二阶可导，则称它在区间I 上二阶可导,并称
()f x ''为()f x 在区间I 上的二阶导函数，简称为二阶导数．
如果函数()y f x =的二阶导数()f x ''仍可导，那么可定义三阶导数：
()()
lim
x f x x f x x
∆→''''+∆-∆,
记作
()()3333
,,,d f x d y
f x y dx dx ''''''．
以此类推，如果函数()y f x =的1n -阶导数仍可导，那么可定义n 阶导数：
()()
(1)(1)0lim n n x f x x f x x
--∆→+∆-∆， 记作
()()()()
,,,n
n n n n n
d f x d y f x y dx dx ．
习惯上,称()f x '为()f x 的一阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．有时也把函数()f x 本身称为()f x 的零阶导数，即()()(0)
f
x f x =．
注:由高阶导数的定义可知,求高阶导数就是多次接连地求导数,所以前面学到的求导方
法对于计算高阶导数同样适用．
定理4 如果函数()u u x =和()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么 (1）()()
()()n n n u v u v ±=±．
（2)()()
()()0
n
n k n k k n k u v C u v -=⋅=⋅∑，其中()
()()11!
!
!!
k
n n n n k n C k k n k --+==
⋅-．
特别地，()
()
()n n Cu Cu =（C 为常数）
． 定理4中的(2）式称为莱布尼兹(Leibniz)公式． 例16 设3
2
2537y x x x =-+-,求(4)
y
．
解 2
6103y x x '=-+，1210y x ''=-,12y '''=,(4)
0y =． 一般地，设1
110n n n n y a x a x a x a --=++
++，则()(1)!,0n n n y n a y +=⋅=．
例17 设()0,1x
y a
a a =>≠，求()n y ．
解 ln x y a a '=，2ln x y a a ''=，3
ln x y a a '''=，()
44ln x y a a =，…，
由归纳法可得
()
()
ln n x
x n a a a =．
特别地，当a e =时,()
()
n x
x e
e =．
例18 设sin y x =，求()
n y ．
解 sin y x =，
cos sin 2y x x π⎛
⎫'==+ ⎪⎝
⎭，
cos sin sin 22222y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫''=+=++=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
cos 2sin 322y x x ππ⎛⎫⎛
⎫'''=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
(4)cos 3sin 422y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，…，
由归纳法可得
()
()
()sin sin 2n n y x x n π⎛
⎫==+⋅ ⎪⎝
⎭．
类似地，可得
()
()
cos cos 2n x x n π⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭．
例19 设()ln 1y x =+，求()
n y ．
解 11y x '=
+，()211y x ''=-+，()3121y x ⋅'''=+，()
(4)
4
1231y x ⋅⋅=-+,…, 由归纳法可得
()()
()()
()
1
()1!ln 111n n n n
n y x x --=+=-⎡⎤⎣⎦
+．
例20 设y x μ
=(μ为任意常数），求()
n y ．
解 1
y x
μμ-'=，()2
1y x
μμμ-''=-,()()3
12y x
μμμμ-'''=--，
()()()(4)4123y x μμμμμ-=---,…,
由归纳法可得
()
()()()()
()121n n n y x n x μμμμμμ-==---+．
特别地,当n μ=时，可得
()
()()
()
1221!n n x n n n n =--⋅=．
而
()
(1)
0n n x +=．
例21 设4
2
534x
y x x e =+-+，求()()4n y n >． 解 ()
()
()
()
()
()
()
425425534345n n n n x x n x y
x x e x x e e =+-+=+-+=．
例22 设22
x
y e x =,求(4)
y
．
解 设22
,x
u e v x ==，则
22232(4)422,2,2,2x x x x u e u e u e u e ''''''====,
(4)2,2,0v x v v v ''''''====．
由莱布尼兹公式，可得
(4)0(4)12
444y C u v C u v C u v ''''''''=++4223222432422222!
x x x
e x e x e ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅ ()422243x e x x =⋅++．
2.5 导数公式与基本求导法则
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起着重要的作用．为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：
2。

5.1 基本初等函数的导数公式
（1）()0C '=（C 为常数)； (2)()1
x x
μ
μμ-'=；
（3）()ln x
x
a
a
a '=； （4）()x x e e '=；
(5）()1log ln a x x a '=
； （6)()1
ln x x
'=; （7)()sin cos x x '=； (8)()cos sin x x '=-； （9）()2
tan sec x x '=; （10)()2
cot csc x x '=-;
（11)()sec sec tan x x x '=； （12）()csc csc cot x x x '=-； (13）(
)arcsin x '=； （14）(
)arccos x '=（15）()21arctan 1x x '=
+; （16)()2
1arccot 1x x '=-+． 2.5.2 导数的四则运算法则
设函数()u u x =和()v v x =都可导,则
（1）()u v u v '''±=±； （2)()u v u v u v '''⋅=⋅+⋅；
（3）()C u C u ''⋅=⋅(C 为常数）； （4）2
(0)u u v u v v v v '''⋅-⋅⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭; (5）()2
10v v v v '
'⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭
．
2.5。

3 反函数的求导法则
如果函数()x f y =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠，那么它的反函数1
()
y f x -=在区间{}
(),x y I x x f y y I ==∈内也可导，且
1
1()()f x f y -'⎡⎤=⎣⎦' 或 1dy dx
dx dy
=． 2。

5.4 复合函数的求导法则
如果函数()u g x =在点x 可导，函数()y f u =在相应点()u g x =可导，那么复合函数
[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为
()()()f x f u g x '''=⋅ 或
dy dy du dx du dx
=⋅． 2.5。

5 高阶导数的运算法则
如果函数()u u x =和()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么 （1）()()
()()n n n u v u v ±=±．
(2）()()
()()0
n
n k n k k n k u v C u v -=⋅=⋅∑,其中()
()()11!
!
!!
k
n n n n k n C k k n k --+==
⋅-．
特别地，()
()
()n n Cu Cu =(C 为常数）
．
习题2—2
1。

求下列函数的导数。

(1）2
3420y x x =-+； (2）3
451
10y x x x
=+
-+； （3)3523x x
y x e =-+； （4）2tan sec y x x =-; （5）
1y x =
+ （6）sin cos y x x =； (7)()sin cos x y e x x =+； （8）2
ln cos y x x x =； （9）ln x y x =
; （10)1sin 1sin x
y x
+=-. 2。

求曲线2
2sin y x x =+上横坐标为0x =的点处的切线方程和法线方程。

3. 求下列函数的导数.
(1）()cos 52y x =-; (2）()
2tan y x =；
（3)y = （4）ln tan
2
x
y =; （5）()ln ln ln y x =⎡⎤⎣⎦; （6）()ln cos tan y x x =+； （7）2
231
x x y e -+-=; （8）sin cos n
y x nx =；
（9）()223x
y e
x x -=-+; （10）2
sin x y =；
(11）y = （12）arcsin x y e e =.
4. 设()f x 为可导函数，求下列函数的导数
dy
dx。

（1）()
3y f x =； (2）1arcsin y f x ⎛⎫= ⎪⎝
⎭
； (3）()
()
f x x y f e e
=+; （4）()2
ln y x f x =。

5。

求下列函数的二阶导数。

（1）2
2cos y x x =+； （2）23
x y e -=；
(3)sin y x x =； (4）tan y x =; （5）2
11
y x =
+； （6）2
cos ln y x x =. 6. 求下列函数所指定阶的导数。

（1）cos x
y e x =，求()
4y
； （2)2
sin y x =，求()
n y。

第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3。

1 隐函数的导数
以解析式()y f x =的形式确定的函数称为显函数．例如
cos x y e x =，ln y x x =．
以二元方程(),0F x y =的形式确定的函数称为隐函数．例如
310x y +-=，()sin 32x y x y +=-+．
把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化．例如从方程3
10x y +-=解出
y =的．例如方程()sin 32x y x y +=-+所确定的隐函数就难以化成显函数．
但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法,不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数．
隐函数求导的基本思想是：把方程(),0F x y =中的y 看成自变量x 的函数()y x ，结合复合函数求导法，在方程两端同时对x 求导数，然后整理变形解出y '即可．y '的结果中可同时含有x 和y ．若将y 看成自变量，同理可求出x '．
例1 求由方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数y '． 解 方程两端对x 求导，得
()()
11
1y x y y x y x y
'''=
+=
+++， 从而
1
1
y x y '=
+-．
例2 求由方程0y
e xy e +-=所确定的隐函数的导数y '． 解 方程两端对x 求导，得
0y e y y x y ''⋅++⋅=，
从而
()0y
y
y y x e
x e '=-
+≠+．
例3 求椭圆曲线22
124
x y +=
上点(1,处的切线方程和法线方程． 解 方程两端对x 求导,得1
02
x y y '+
⋅=,故2x y y '=-．从而,切线斜率1k 和法线斜率2k 分别为
(
1k y '==
2112
k k =-=
所求切线方程为
)1y x =-，
即
y =+
法线方程为
)12
y x =
-， 即
y x =
+ 例4 求由方程1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d y dx ．
解 方程两端对x 求导，得
11cos 02dy dy
y dx dx
-
+=， 从而
2
2cos dy dx y
=-． 上式两端再对x 求导，得
()()
2
2322sin 4sin 2cos 2cos dy
y
d y y dx dx y y -==---． 3.2 对数求导法
对于以下两类函数:
（1）幂指函数，即形如()
()
()()0v x y u x u x =>的函数．
（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的． 要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简,然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为对数求导法．
例5 设()
()cos ln 1x
y x x =>，求y '．
解 函数两端取自然对数,得
()ln cos ln ln y x x =⋅，
两端分别对x 求导,得
()11sin ln ln cos ln y x x x y x x
'=-⋅+⋅⋅, 所以
()()()cos 11cos sin ln ln cos ln sin ln ln ln ln x x y y x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
'=-⋅+⋅⋅=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
．
例6 设(
()214x
x y x e
+=+，求y '． 解 先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得
1
ln ln 1ln 12ln 43
y x x x x =++--+-，
两端分别对x 求导，得
()11211314
y y x x x '=+--+-+， 即
(
()()21112
113144x x y x x x x e ⎡⎤+'=+--⎢
⎥+-++⎣⎦
． 容易验证，例6中的解法,若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此,在使用对数求导法时,常省略取绝对值的步骤．
3。

3 由参数方程所确定的函数的导数 一般地，若参数方程
()()
x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 确定了y 与x 之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．
定理1 设参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩
,其中()(),t t ϕψ均可导，且函数()x t ϕ=严格单调，
()0t ϕ'≠，则有
()()t dy dx t ψϕ'=' 或 dy
dy dt
dx dx
dt
=
． 证明 因为函数()x t ϕ=严格单调，所以其存在反函数()t t x =．又因为()t ϕ可导且
()0t ϕ'≠,故()t t x =也可导，且有
()
1dt dx t ϕ='．对于复合函数()()y t t x ψψ==⎡⎤⎣⎦求导，可得
()()
dy
t dy dy dt dt dx dx dt dx t dt
ψϕ'=⋅==
'． 如果()(),x t y t ϕψ==还是二阶可导的,那么由定理1可得到函数的二阶导数公式：
()()()()()()()()2221
t t t t t d y d dy d dt dx dx dx dt t dx t t ψψϕψϕϕϕϕ⎛⎫'''''''-⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭'⎡⎤⎝⎭⎣⎦
， 即
()()()()()23
2t t t t d y dx t ψϕψϕϕ''''''-='⎡⎤⎣⎦
． 例7 设cos sin t t
x e t y e t
⎧=⎨=⎩，求dy
dx ． 解 因为
()()sin cos ,cos sin ,t t dy dx e t t e t t dt dt
=+=- 所以
()()sin cos sin cos cos sin cos sin t
t e t t dy t t dx e t t t t
++==--． 例8 求星形线()33
cos 0sin x a t a y a t
⎧=>⎨=⎩在4t π
=的相应点()00,M x y 处的切线方程和法线方程（图2-2）．
图2-2
解 由4
t π=
可得
3
30022cos ,sin 4
444
x a a y a a π
π==
==， 星形线在点M 处的切线斜率1k 和法线斜率2k 分别为
()()32123
4
4
4
4
sin 3sin cos tan 13cos sin cos t t t t a t dy
a t t k t dx a t t
a t ππ
π
π
===
=
'=
=
=
=-=--'
,21
1
1k k =-
=． 从而，所求切线方程为
22y x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 即
2
02
x y a +-
=． 所求法线方程为
22y x =-, 即
y x =．
例9 设cos sin x t t y t =-⎧⎨=⎩
，求22d y
dx ．
解 （方法一)因为
()()sin 1cos 1sin cos t dy dy t
y dx dx dt t
t t dt
''==⋅==
+'-，
所以
()()()
2
2222
sin 1sin cos cos 111
1sin 1sin 1sin 1sin t t t d y dy d t dx dx dx dt t t t t dt
-+-'⎛⎫==⋅=⋅=- ⎪++⎝⎭++． （方法二）由于1sin ,cos ,cos ,sin t t t t x t x t y t y t ''''''=+===-,代入公式可得
()
()()()2
2332
2sin 1sin cos 1
1sin 1sin t t t t t
t t t y x y x d y dx t t x ''''''-+--===-++'
． 3。

4 由极坐标方程所确定的函数的导数
研究函数y 与x 的关系通常是在直角坐标系下进行的,但在某些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单．
如图2-3所示，从平面上一固定点O ，引一条带有长度单位的射线Ox ，这样在该平面内建立了极坐标系，称O 为极点，Ox 为极轴．设P 为平面内一点，线段OP 的长度称为极径，记为()0r r ≥,极轴Ox 到线段OP 的转角（逆时针）称为极角，记为()02θθπ≤≤，称有序数组(),r θ为点P 的极坐标．
图2-3
若一平面曲线C 上所有点的极坐标(),r θ都满足方程()r r θ=，且坐标,r θ满足方程
()r r θ=的所有点都在平面曲线C 上，则称()r r θ=为曲线C 的极坐标方程．
将极轴与直角坐标系的正半轴Ox 重合，极点与坐标原点O 重合,若设点M 的直角坐标为(),x y ，极坐标为(),r θ，则两者有如下关系：
cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩或222
tan x y r y x θ⎧+=⎪
⎨=
⎪⎩
．
设曲线的极坐标方程为()r r θ=,利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程为
()()cos sin x r y r θθθθ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩，
其中θ为参数．由参数方程的求导公式,可得
()()()()sin cos cos sin r r dy dx r r θθθθ
θθθθ
'+=
'-． 例10 求心形线1sin r θ=+在3
πθ=
处的切线方程（图2-4）．
图2-4
解 由极坐标的求导公式得
()()cos sin 1sin cos sin 2cos cos cos 1sin sin cos 2sin dy dx θθθθθθ
θθθθθθ
+++==
-+-． 当3
πθ=
时，
0131sin cos 1332x ππ⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，0331sin sin 133y ππ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 3
2sin
cos 3312cos sin
33dy
dx π
θππππ=+=
=--， 所以，所求切线方程为
33131112y x ⎛⎫
⎛+=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 即
445330x y +--=．
习题2-3
1。

求由下列方程所确定的隐函数的导数dy
dx。

（1）2
290y xy -+=； （2)3
3
20x y xy +-=；
（3）x y
xy e
+=; （4）()cos sin 0y x x y +-=；
(5）2
2
xy
x y e +=； （6
）arctan
y
x
=. 2。

求曲线ln 1xy y +=在点()1,1处的切线方程和法线方程.
3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d y
dx
.
（1）1y
y xe =+； (2）()tan y x y =+.
4。

利用对数求导法求下列函数的导数。

（1）x
y x =； （2）()
tan 2
1x
y x
=+；
（3）(
)
sin 21x
y x
=+; （4）31x
x y x ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
;
（5）
y =
（6))
()
4
5
31x y x -=
+。

5。

求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数。

（1）2
3
x at y bt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求dy dx ； （2）()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，求dy dx ；
(3)cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩,求22d y dx ； （4）22t
t
x e
y te
-⎧=⎪⎨=⎪⎩，求22d y dx . 6。

求四叶玫瑰线cos2r a θ=(a 为常数)在4
πθ=对应点处的切线方程。

第4节 函数的微分
4。

1 微分的概念 在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变． 例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到0x x +∆（图2—5)，问此薄片的面积改变了多少？当x ∆很微小时,正方形的面积改变的近似值是多少？
图2-5
设此正方形的边长为x ，面积为A ，则A 与x 存在函数关系2
A x =．当边长由0x 变到
0x x +∆,正方形金属薄片的面积改变量为
()()2
2
2
0002.A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆
从上式可以看出，A ∆分为两部分，第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分()2
x ∆是图中右上角的小正方形的面积,当0x ∆→时,第二部分()2
x ∆是比x ∆高阶的无穷小量，即()()2
x o x ∆=∆．因此，当x ∆很微小时，我们用02x x ∆近似地表示A ∆，即02A x x ∆≈∆．故02x x ∆是正方形的面积改变的近似值．
定义1 设函数()y f x =在某区间内有定义，0x 及0x x +∆在此区间内，如果函数的增量
()()00y f x x f x ∆=+∆-
可表示为
()y A x o x ∆=∆+∆，
其中A 是不依赖于x ∆的常数，那么称函数()y f x =在点0x 是可微的,而A x ∆叫做函数
()y f x =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分,记为
x x dy A x ==∆或()0df x A x =∆．
4。

2 微分与导数的关系
定理1 函数()y f x =在点0x 可微的充要条件是函数()y f x =在点0x 可导，且当
()y f x =在点0x 可微时，其微分一定是()0
0x x dy f x x ='=∆．
证明 （必要性）设函数()y f x =在点0x 可微，即()y A x o x ∆=∆+∆,其中A 是不依赖于x ∆的常数．上式两边用x ∆除之，得
()o x y
A x x
∆∆=+∆∆， 当0x ∆→时,对上式两边取极限就得到
()00lim lim x x o x y A A x x
∆→∆→∆∆=+=∆∆． 即()0A f x '=．因此，若函数()y f x =在点0x 可微,则()y f x =在点0x 一定可导，且
()0
0x x dy f x x ='=∆．
（充分性）函数()y f x =在点0x 可导，即
()00lim
x y
f x x ∆→∆'=∆
存在，根据极限与无穷小的关系,上式可写成
()0y
f x x
α∆'=+∆, 其中0α→（当0x ∆→时）,从而
()()()00y f x x x f x x o x α''∆=∆+∆=∆+∆,
其中()0f x '是与x ∆无关的常数,()o x ∆比x ∆是高阶无穷小，所以()y f x =在点0x 也是可微的．
根据微分的定义和定理1可得以下结论：
（1)函数()y f x =在点0x 处的微分就是当自变量x 产生增量x ∆时，函数y 的增量
y ∆的主要部分（此时()00A f x '=≠）．由于dy A x =∆是x ∆的线性函数，故称微分dy 是y ∆的线性主部．当x ∆很微小时，()o x ∆更加微小，从而有近似等式y dy ∆≈．
（2）函数()y f x =的可导性与可微性是等价的，故求导法又称微分法．但导数与微。