2017-2018学年高中数学 第一章 数列 1.1.1 数列的概念课件 北师大版必修5

答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一 对数列相关概念的理解
【例1】 给出以下说法:
①数列1,3,5,7,1的第5项是1;
②数列10,100,1 000与1 000,100,10是相同的两个数列;
③数列{n2+1}的第10项是100;
④数列5,4,3,2,1,…是有穷数列.
第一章 数列
§1 数列
1.1 数列的概念
学习目标
1.理解数列及其相关概念,明确数列的 分类. 2.掌握数列通项公式的概念,能根据通 项公式求出数列的项. 3.能根据数列的前几项写出数列的通 项公式.
思维脉络
1.数列的有关概念
一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫
作这个数列的项.数列一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,简记为
具体可参考以下几个思路: (1)统一项的结构,如都化成分数、根式等; (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规 律与对应序号间的函数解析式; (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(1)n+1处理符号; (4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或 者利用周期函数,如三角函数等.
数是连续的奇数,分子上的数均是偶数,且比被开方数小 1,由此可得 通项公式为 an=√22���������+��� 1.
(3)将数列的项变为-21 , 54,-190 , 1176,…,观察发现,符号是正负交替出 现的,分母是一组平方数,分子比分母大 1,因此 an=(-1)n·������2������+2 1.
答案:②④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二 根据数列的前几项写数列的一个通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,3,7,15,…
(2)√23
,
4 √5
,
6 √7
,
√89,…
(3)-2,54,-190 , 1176,…
(4)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…
(5)3,5,3,5,3,5,…
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟数列的通项公式给出了第n项an与它的项数n之间的关 系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n,即可求出 相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通 项公式建立以n为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中 的项,n的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数 不是数列中的项.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2.根据前几项写通项公式时,结果可能不唯一,如本例(5). 3.善于对所写的通项公式的正确性进行验证.令通项公式中的 n=1,2,3,得到数列的前三项,看是否与实际相符.若符合,则写出的通 项公式是正确的,否则是错误的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 写出下面各数列的一个通项公式.
.
错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4;
第二个图形有两个正方形,火柴棒的根数为4×2;
……
第n个图形有n个正方形,火柴棒的根数为4×n.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正解:因为每两个相邻的正方形均有1条公共边,
所以第二个图形的火柴棒根数为2×3+1. 第三个图形的火柴棒根数为3×3+1.
…… 第n个图形的火柴棒根数为3n+1. 答案:3n+1 纠错心得本题错误的根源是对图形认识不到位,实际上虽然第n 个图形中有n个正方形,但每相邻的两个正方形都有公共边,因此解 决此类问题需要看清图形间的内在联系,并找到相关规律再进行归 纳.
的一种表示方法为 an=
3(������为奇数),此数列还可以这样考虑,3 与 5 5(������为偶数).
的算术平均数为3+2 5=4,4+1=5,4-1=3,因此数列的通项公式又可以写 为 an=4+(-1)n.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.在根据数列的前几项求数列的一个通项公式时,要注 意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等方法,转化为一 些常见数列的通项公式来求解.
其中正确说法的序号是
.
解析:①正确;②所给两个数列中数的次序不同,不是同一数列,错
误;③该数列的第10项应该是102+1=101,错误;④数列后面有“…”,
表示无穷数列,错误.
答案:①
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟正确理解数列及相关概念,注意以下几点: (1)数列与数集不同,数集具有互异性和无序性,而数列中各项可 以相同,但与顺序有关; (2)数列a1,a2,…,an,…可以记为{an},但不能记作{a1,a2,…,an,…}.
式:1×3,3×5,5×7,7×9,…,为相邻奇数的乘积,即(2n-1)(2n+1),故原数
列的一个通项公式为 an=(2������-12)(���2��� ������+1).
(3)在所给数列的项中,有的是分数,有的是整数,可先将各项都
统一成分数,再观察,在数列12
,
4 2
,
9 2
,
16 2
,
225,…中,分母为
(1)0,2,4,6,8,…;
(2)1,2,4,8,…;
(3)1,4,9,16,…;
(4)-1,1,-1,1,…. 解:(1)an=2(n-1).(2)an=2n-1. (3)an=n2.(4)an=(-1)n.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)数列2,6,8,10,12可以表示成{2,6,8,10,12}. ( ) (2)1,1,1,2,2,2,3,3,3,…不能构成数列. ( ) (3)π,π2,π3,π4,…,πn是无穷数列. ( ) (4)数列的通项公式不同,该数列也可能相同. ( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3
(1)在数列 an=������2������-1中,第 7 项是
.
(2)数列{an}的通项公式是 an=������2-221������(n∈N+).
①0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?
②数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数 列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )
A.an=3n C.an=3n-2n 答案:B
B.an=3n-1 D.an=3n-1+2n-3
1 2 3 45
1.下列说法中错误的是( ) A.数列4,7,3,4的第一项是4 B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3 C.数列-1,0,1,2与数列0,1,2,-1不相同 D.-1,1,2,0,-3是有穷数列 解析:虽有a1=3,但数列中其他的项还可以等于3. 答案:B
②假设{an}中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得
m=10. 所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与思维辨析
忽略了相邻正方形的公共边而致误 【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方 形组成.
通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为
(1)3,5,9,17,33,…
(2)23
,
4 15
,
6 35
,
683,…
(3)12,2,92,8,225,…
解:(1)通过观察,发现各项分别减去1,变为2,4,8,16,32,…,其通项公
式为2n,故原数列的一个通项公式为an=2n+1. (2)通过观察,发现分子部分为正偶数数列{2n},分母各项分解因
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1
下列说法:①数列{2n+1}的第 5 项是 10;②数列 1,12 , 13,…,���1���,…可以记
为
1 ������
;③数列 3,5,7
与数列 5,7,3 是相同的数列;④数列
1,2,3,4,5,…,n,…是无穷数列.
其中正确说法的序号是
.
解析:①错误,当n=5时,a5=2×5+1=11;②正确;③错误,这是因为 数列是按一定次序排成的一列数;④正确.
(4)将数列中的项和 1 进行比较,就会发现 a1=0.9=1-110,a2=0.99=1-1100=1-1102,a3=0.999=1-1 0100=1-1103,……,因 此 an=1-110������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(5)数列给出前 6 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,所以通项公式
3.已知数列1,2,4,7,11,16,x,29,37,…,则x等于( ) A.20 B.21 C.22 D.23 答案:C
项?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)答案:478
(2)解:①若 0 是{an}中的第 n 项,则������2-221������=0,
因为 n∈N+,所以 n=21.所以 0 是{an}中的第 21 项. 若 1 是{an}中的第 n 项,则������2-221������=1,
所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项.
分析:根据给出数列的前几项,通过归纳、猜想写出它的一个通 项公式时,要分析各项与对应序号间的关系,得出一个合适的函数 解析式,再验证是否合适.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)数列中的各项都是数列{2n}中对应各项减去1得到的,因此
通项公式是an=2n-1. (2)数列中各项为分数的形式,分母上的数都是开方形式,被开方
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)a10=101+06 = 85. (2)令������+������6 = 5530,得 n=100. 故5530是这个数列中的项.
(3)∵an=1+���6���,又 an 是整数项, ∴n=1,2,3,6.故这个数列共有 4 项是整数项.
(4)令������+������6=n,得 n2-n-6=0, 解得 n=3 或 n=-2(舍去),故该数列中有等于序号的项,即 a3=3.
【做一做2】
下列说法中哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. (1){0,1,2,3,4}是有穷数列; (2)所有的自然数能构成数列; (3)同一个数在数列中可能重复出现; (4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. 解:(1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列. (2)正确.如将所有的自然数按从小到大的顺序排列. (3)正确.数列中的数可以重复出现. (4)错误.数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列.
2,分子为
n2,故
an=���2���2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三 数列通项公式的应用
【例 3】已知数列{an}的通项公式是 an=������+������6. (1)求 a10; (2)5530是否是这个数列中的项? (3)这个数列中有多少整数项? (4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由. 分析:(1)只需令 n=10 即可;(2)令 an=5530,解出 n,看 n 是不是正整 数;(3)由于 an=1+���6���,要使 an 为整数项,只需 n=1,2,3,6;(4)令������+������6=n,解出 相应的 n 值.
名师点拨有穷数列与无穷数列的表示方法:
(1)有穷数列一般表示为a1,a2,a3,…,am;无穷数列一般表示为 a1,a2,a3,…,am,….
(2)对于有穷数列,要把末项(即最后一项)写出来,对于无穷数列,
不存在最后一项,要用“…”结尾.
3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示 成 an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项 公式就是相应函数的解析式. 【做一做3】写出下列数列的通项公式:
1 2 3 45
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则下列结论正确的是( ) A.第2项a2=0 B.0不是数列中的一项 C.21是数列中的一项 D.42是数列中的一项 解析:令n2-n=42,解得n=7(n=-6舍去).故42是数列的第7项,其余选项 均错. 答案:D
1 2 3 45
数列{an},其中数列的第1项a1,也称首项;an是数列的第 n项,也叫数 列的通项.
【做一做1】
数列1
3
,
1 4
,
15,…,���1���,…中,第
10
项是
(
)
A.110
B.18
C.111
D.112
答案:D
2.数列的分类 按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数 列叫作有穷数列;项数无限的数列叫作无穷数列.