高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修20222522

1.3.2 球的体积和表面积
【选题明细表】
1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,
由题可知4πR2-4πr2=48π, ①
又2πR+2πr=12π, ②
得R-r=2.
2.长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3, AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )
(A)25π (B)200π
(C)100π(D)50π
解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,
设球半径为r,则2r==5,
则r=,4πr2=4×()2π=50π.
3.(2018·湖南师大附中高一测试)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )
(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,
所以其体积V=×π×33+×π×32×=18π+12π=30π.
4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1∶S2等于( C )
(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1
解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.
5.将一钢球放入底面半径为 3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是.
解析:圆柱形玻璃容器中水面升高了4 cm,
则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有πR3=36π,
所以R=3.
答案:3 cm
6.(2018·黑龙江伊春高一测试)边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O-ABCD的体积是.
解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,
又因为球的半径为5,
所以球心O到平面ABCD的距离d==3,
所以=×(4)2×3=32.
答案:32
7.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:S球=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).
能力提升
8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( C )
(A)4∶3 (B)3∶1 (C)3∶2 (D)9∶4
解析:作轴截面如图,
则PO=2OD,∠CPB=30°,
CB=PC=r,PB=2r,
圆锥侧面积S1=6πr2,
球的面积S2=4πr2,S1∶S2=3∶2.
故选C.
9.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )
(A) cm
(B)2 cm
(C)3 cm
(D)4 cm
解析:设球的半径为r,
则V水=8πr2,V球=4πr3,
加入小球后,液面高度为6r,
所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.
10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.
解:如图,AE⊥平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,
则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体A BCD的棱长为,
在等边△BCD中,BE=,
所以AE==.
由OB2=OE2+BE2,
得R2=(-R)2+,解得R=,
所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,
所以内切球的体积为π×()3=π.
探究创新
11.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.
名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.
解:由题意,如图所示,在正四面体S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体M-NEF,且两个正四面体
的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.
精美句子
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4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

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笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

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7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。